元素替换法 --行列式按行(列)展开(推论)新版6演示课件.ppt
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用-2、-3、4替换原行列式中的第一列元素直接计算， 而无需分别求出代数余子式。
精选课件
5
结论
元素替换法求解代数余子式的代数和
（1）首先观察要求的表达式的代数余子式位于行列式的哪一 行（列）？ （2）用表达式中的系数去替换该行（列）元素，通过一个行 列式去直接计算，而不需要分别计算。——合并成一个行列 式
元素替换法 ——行列式按行(列)展开（推论）
淮海工学院 理学院 孙岚
精选课件
1
定理（行列式按行(列)展开法则）
n 阶行列式D det(aij ) 等于它的任一行（列）的
各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain(i 1, 2, , n), 或
7 8( ) 9
56
46 45
23
13 12
a b( ) c
56
46 45
aA31 bA32 cA33
精选课件
3
反过来看
123 D1 4 5 6
789
123 aA31 bA32 cA33 4 5 6 D2
abc
第三行元素代数余子式的代数和可以“合并”成一个行列式计算！
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n).
精选课件
2
123 D1 4 5 6
789
123 按第3行展开 D2 4 5 6
abc
7 A31 8A32 9 A33
aB31 bB32 cB33
23
13 12
M
和
ij
Aij，求
（1） 3 A11 A12 2 A13;
第一行元素与第一行对应元 素的代数余子式乘积之和
（2） 2 A11 +A21 4 A31;
第三列元素与第一列对应元 素的代数余子式乘积之和
（3）4 A21 2 A22 3 A23;
代数余子式在第二行，用4、 -2、3替换第二行元素
精选课件
6
特别地：
123
D1 4 5 6
789
1 2 3 第二行元素与第三行对应
4 A31 5A32 6 A33= 4 5 6 =0 元素的代数余子式乘积之 4 5 6 和为0.
1
A31 2 A32 3A33 = 4
1
23 5 6 =0 23
第一行元素与第三行对应 元素的代数余子式乘积之 和为0.
精选课件
7
行列式按行（列）展开的推论：
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0 i j,
或
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 (i j ).
精选课件
1 23
例如
2A31 3A32 4 A33 4 5 6
2 3 4
用-2、-3、4替换原行列式中的第三行元素
精选课件
4
同理
123 D1 4 5 6 ,
789
1 23
2A21 3A22 4A23 2 3 4
7 89
用-2、-3、4替换原行列式中的第二行元素
又如 要计算 2A11 3A21 4A31
ai1Aj1 ai2 Aj2
an1
ann
ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
精选课件
10
例
3 1 2
设 D 2 3 1 中 (i, j) 元的余子式
0 1 4
和代数余子式分别为
（4） 2M12 3M22 4M32; （5） A11 A22 3 A33 .
转换成代数余子式，替换计算
代数余子式不在一行，也不 在一列，只能分别计算
精选课件
11
精选课件
12
3 1 2
例 设 D 2 3 1 中 (i, j)元的余子式和
0 1 4
和代数余子式分别为M ij 和 Aij ，求
代数余子式在第二行，用4、 -2、3替换第二行元素
转换成代数余子式，替换计算
代数余子式不在一行，也不 在一列，只能分别计算
精选课件
13
8
证 把行列式按照第 j 行展开
a11
a j1 Aj1
ai 1 a jn Ajn
aj1
a1n
ain ,
a jn
an1
ann
精选课件
9
把 a jk 换成 aik (k 1, , n),可得
a11
a1n
ai1 Aj1
ain Ajn
ai1 ai1
ain ,
ain
当 i j 时,
（1） 3 A11 A12 2 A13;
（2） 2 A11 +A21 4 A31; （3）4 A21 2 A22 3 A23; （4） 2M12 3M22 4M32; （5） A11 A22 3 A33 .
第一行元素与第一行对应元 素的代数余子式乘积之和
第三列元素与第一列对应元 素的代数余子式乘积之和
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5
结论
元素替换法求解代数余子式的代数和
（1）首先观察要求的表达式的代数余子式位于行列式的哪一 行（列）？ （2）用表达式中的系数去替换该行（列）元素，通过一个行 列式去直接计算，而不需要分别计算。——合并成一个行列 式
元素替换法 ——行列式按行(列)展开（推论）
淮海工学院 理学院 孙岚
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1
定理（行列式按行(列)展开法则）
n 阶行列式D det(aij ) 等于它的任一行（列）的
各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain(i 1, 2, , n), 或
7 8( ) 9
56
46 45
23
13 12
a b( ) c
56
46 45
aA31 bA32 cA33
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反过来看
123 D1 4 5 6
789
123 aA31 bA32 cA33 4 5 6 D2
abc
第三行元素代数余子式的代数和可以“合并”成一个行列式计算！
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ( j 1, 2, , n).
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2
123 D1 4 5 6
789
123 按第3行展开 D2 4 5 6
abc
7 A31 8A32 9 A33
aB31 bB32 cB33
23
13 12
M
和
ij
Aij，求
（1） 3 A11 A12 2 A13;
第一行元素与第一行对应元 素的代数余子式乘积之和
（2） 2 A11 +A21 4 A31;
第三列元素与第一列对应元 素的代数余子式乘积之和
（3）4 A21 2 A22 3 A23;
代数余子式在第二行，用4、 -2、3替换第二行元素
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特别地：
123
D1 4 5 6
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1 2 3 第二行元素与第三行对应
4 A31 5A32 6 A33= 4 5 6 =0 元素的代数余子式乘积之 4 5 6 和为0.
1
A31 2 A32 3A33 = 4
1
23 5 6 =0 23
第一行元素与第三行对应 元素的代数余子式乘积之 和为0.
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行列式按行（列）展开的推论：
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应 元素的代数余子式乘积之和等于零，即
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0 i j,
或
a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0 (i j ).
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例如
2A31 3A32 4 A33 4 5 6
2 3 4
用-2、-3、4替换原行列式中的第三行元素
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4
同理
123 D1 4 5 6 ,
789
1 23
2A21 3A22 4A23 2 3 4
7 89
用-2、-3、4替换原行列式中的第二行元素
又如 要计算 2A11 3A21 4A31
ai1Aj1 ai2 Aj2
an1
ann
ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
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例
3 1 2
设 D 2 3 1 中 (i, j) 元的余子式
0 1 4
和代数余子式分别为
（4） 2M12 3M22 4M32; （5） A11 A22 3 A33 .
转换成代数余子式，替换计算
代数余子式不在一行，也不 在一列，只能分别计算
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12
3 1 2
例 设 D 2 3 1 中 (i, j)元的余子式和
0 1 4
和代数余子式分别为M ij 和 Aij ，求
代数余子式在第二行，用4、 -2、3替换第二行元素
转换成代数余子式，替换计算
代数余子式不在一行，也不 在一列，只能分别计算
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13
8
证 把行列式按照第 j 行展开
a11
a j1 Aj1
ai 1 a jn Ajn
aj1
a1n
ain ,
a jn
an1
ann
精选课件
9
把 a jk 换成 aik (k 1, , n),可得
a11
a1n
ai1 Aj1
ain Ajn
ai1 ai1
ain ,
ain
当 i j 时,
（1） 3 A11 A12 2 A13;
（2） 2 A11 +A21 4 A31; （3）4 A21 2 A22 3 A23; （4） 2M12 3M22 4M32; （5） A11 A22 3 A33 .
第一行元素与第一行对应元 素的代数余子式乘积之和
第三列元素与第一列对应元 素的代数余子式乘积之和