控制系统的频率法分析

A( ) K , 1 T 2 2
G(s) K Ts 1
( ) tg 1T
G( j ) K Tj 1
①对数幅频特性：L( ) 20log A( ) 20log K 20log 1 T 2 2 ，为
了图示简单，采用分段直线近似表示。方法如下：
低频段：当T 1时，L() 20log K，称为低频渐近线。
⒉ 积分环节的频率特性：G(s) K
s
频率特性：
G( j )
K
j
K
K
e2
j
A( ) K
L() / dB
( ) tg1( K 0)
L(
)
20
2 log
A(
)
20
log
K
40
K 10
20log K 20log,
20
当K 1时， 1, L( ) 0;
20 40
( )
表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，
可以很容易的写出它的频率特性表达式。
19
第19页，共127页。
3、 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图） 尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲
线。横坐标为相角特性，单位度或弧度。纵坐标为对数幅频特性，单 位为分贝。横、纵坐标都是线性分度。
-1
-3
-7
-14.2
-20.04
o
1 T
处，为
渐近线,dB 0 0 0 0 -6 -14 -20
误差,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -1 -0.2 -0.04 max 20log 1 T 202
/
(
2 n
2
s
/
n
1)
二阶微分环节
s2 / n2 2 s / n 1
( 0 , 0 1)22
n
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5.2.2 典型环节的频率特性
一、典型环节的对数频率特性曲线
⒈ 比例环节： G(s) K ;
G( j ) K
比例环节的bode图
幅频特性：A( ) K；相频特性：() 0
曲线表示 由 0 时的频率特性。即用矢量 G( j的)端点轨迹 形成的图形。 是 参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、
虚频、幅频和相频特性。
Q( )
A( ) ()
P( )
s 1 G(s) s2 s 1
0
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2、对数频率特性曲线（又称波德图）
组成：对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线。
T
1,o
1 T
，称为转折频率或交换频率。
可以用这两个渐近线近似的表示惯性环节的对数幅频特性。
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第26页，共127页。
惯性环节的Bode图
10 渐近线
0
-10
-20
0°
-45°
-90°
1
1
1
1
1
2
5
10
20T 10T 5T
2T
T
T
T
T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
20 T
(s
Rm j )(s
j )
则：C(s)
N (s)R(s)
N (s)
Rm
(s p1)(s p2 )...(s pn ) (s p1)(s p2 )...(s pn ) (s j)(s j)
k1 k2 ... kn kc1 kc2
s p1 s p2
s pn s j s j
不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 A( ) | G( j ) | 倍， 相位移动了 ( ) G( j ) 。 A( ) 和 ( )都是频率的函数。
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第9页，共127页。
定义：
幅频特性：稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 Cm A() | G( j) |
Rm
为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的 放大特性；
cs (t) kc1e jt
kc2e jt
Rm 2j
A()e j ()e jt
Rm 2j
A()e j ()e jt
A()Rm
e j(t ( ))
e j(t ( )) 2j
A()Rm sin(t ()) Cm sin(t ())
式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。
上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号， 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应与输入
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5-2 典型环节分解和频率特性曲线绘制
5.2.1 典型环节 对任一传递函数，可分解为以下形式：
最小相位环节 非最小相位环节
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开环系统典型环节分解
最小相位系统 比例环节 K K 0 惯性环节 1 /(Ts 1) (T 0)
一阶微分环节 Ts 1 (T 0)
而对数幅频特性L(ω)为
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L() 20 lg G( j) 20 lg A1 () A2 () An ()
20 lg A1 () 20 lg A2 () 20 lg An ()
L1 () L2 () Ln ()
（5-14）
对数相频特性 (为)
横坐标按 lg分度，单位为弧度/秒（rad/s)
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0
0.01 0.1
01
2
1 10 100
log
对数幅频曲线的纵坐标按下式分度：
L() 20 lg G( j) 20 lg A() 单位为分贝(dB)
对数相频特性曲线的纵坐标：按 ()线性分度，单位为度
在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，常用的 频率特性曲线有以下三种：
幅相频率特性曲线（又称极坐标图、奈魁斯特曲线） 对数频率特性曲线（又称波德图）
对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）
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第14页，共127页。
1、幅相频率特性曲线（极坐标图、奈魁斯特曲线）
以横轴为实轴、纵轴为虚轴构成复平面，在复平面上用一条
对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统 的传递函数为G(s)。
G(s) C(s)
N (s)
R(s) (s p1)(s p2 )...(s pn )
式中， p j , j 1,2,..., n 为极点。
若： r(t)
Rm sint,则R(s)
Rm s2 2
6
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拉氏反变换为：
c(t) k1e p1t k2e p2t ... kne pnt kc1e jt kc2e jt
若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 t ，即稳态时：
e p1t 0, e p2t 0,..., e pnt 0
cs (t) kc1e jt kc2e jt
G(
j)
a()
jb()
G(
j) e
j G ( j )
A()e
j ( )
c() jd ()
G( j)
a()
jb()
j
G( j) e G( j)
A()e j ()
c() jd ()
kc1
Rm 2j
G(
j)
Rm 2j
A()e j ()
kc2
Rm 2j
G( j)
Rm 2j
A()e j ()
8
第8页，共127页。
1 10 100 K 1
当 10时，L( ) 20
可见斜率为－20dB/dec
当K 0时， 1, L( ) 20log K;
1 10 100
当 K时，L( ) 0
90
当有两个积分环节时可见斜率为－
40dB/dec
24
第24页，共127页。
惯性环节的Bode图
⒊ 惯性环节的频率特性：
27
第27页，共127页。
惯性环节的Bode图
波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：
当 o时，误差为：1 20 log 1 T 2 2
当 o时，误差为：2 20 log 1 T 2 2 20 logT
T
0.1 0.2 0.5 1 2 5
10 最大误差发生在
L(),dB
-0.04 -0.2
() G( j) 1 () 2 () n ()
（5-15）
18
第18页，共127页。
使用对数坐标图的优点：
可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表 示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。
可以将乘法运算转化为加法运算。 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似
式中，kc1, kc2 分别为：
kc1
C(s)(s
j ) |s j
G(s) Rm(s j ) (s j )(s j )
s j
RmG( 2j
j )
kc2
C(s)(s
j ) |s j
G(s) Rm(s (s j )(s
j ) j )
s j
RmG( j )
2j
7
第7页，共127页。
令：
（4）控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法和 试验方法获得，并可以用多种形式的曲线表示，因此系统分 析和控制器设计可以用图解法进行。
3
第3页，共127页。
一、频率特性的基本概念
例如： G(s)
1
R
Ts 1
r(t) Asin t
R(s)
A s2 2
UI
C
U0
C(s)
R(s)G(s)
1 Ts
控制系统的频率法分 析
1
第1页，共127页。
5-1 频率特性
考察一个系统的好坏，通常通过阶跃响应来分析系统的动态性能和稳 态性能。
控制系统中的信号可表示为不同频率正弦信号的合成。控制系统的频 率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。通过分析不同频率正弦波输
入时系统的响应，来考察系统性能，这种方法称为频域分析法。
1
s2
A
2
c(t) A sin(t arctgT ) AT et /T
1 T 22
1 T 22
4
第4页，共127页。
css
(t
)
lim
t
c(t
)
A sin(t arctgT ) 1 T 2 2
可见输出幅值是输入的 1 ，输出相位比输入滞
后 arctg。T
1 T 2 2
5
第5页，共127页。
（°）
16
第16页，共127页。
n个环节串联
G( j) G1 ( j)G2 ( j) Gn ( j)
A1 ( ) A2 ( )
A ( )e j[1 ( )2 ( )...n ( )] n
A1 ( )e j1( ) A2 ( )e j2 ( ) An ( )e jn ( )
（5-13）
高频段：当T 1时，L() 20log K 20logT，称为高频渐近线。
这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示 每增加10倍频程下降
20分贝）。
当 0时，对数幅频曲线趋近于低频渐近线，当 时，趋近于高频渐近线。
25
第25页，共127页。
低频高频渐近线的交点为：20log K 20log K 20logT ，得：
非最小相位系统 比例环节
K K0
惯性环节
1 /(Ts 1) (T 0)
振荡环节 1 /(s2 / n2 2 s / n 1) (n 0 , 0 1)
一阶微分环节
Ts 1 (T 0)
振荡环节
二阶微分环节
积分环节1/s； 微分环节s；
s2 / n2 2 s / n 1
1 /(s2
为频率特性。反之亦然。
11
第11页，共127页。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种： 微分方程、传递函数和频率特性。它们递函数
系统
s j
频率特性
j p
12
第12页，共127页。
[例]：设传递函数为：
G(s)
y(s) x(s)
s2
1 3s
4
L() / dB
20log K 20log K
20log K
K 1
K 1 log
K 1
对数幅频特性：
0
L( ) 20lg K 常数 0
0
相频特性：
K 1 K 1 K 1
( )
180
K 0 log
( )
K
0 180
K 0 K 0
180
K 0
23
第23页，共127页。
积分环节的Bode图
相频特性：稳态响应与正弦输入信号的相位差 ( ) G( j为)
系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的 相位移特性；
10
第10页，共127页。
幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G( j) :
G( j ) A( )e j ()
称为频率特性。
注： 当传递函数中的复变量s用 j代替时，传递函数就转变
2
第2页，共127页。
特点
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方 法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说， 具有重要的实际意义。
（2）控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑 制两方面的要求。
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，还可推广 应用于部分非线性系统的分析。
解：频率特性为
G( j) y( j)
1
x( j) ( j)2 3( j) 4
1
42
j3
13
第13页，共127页。
5.1.2 频率特性的几何表示法
频率特性表达式：
极坐标形式G( j) | G( j) | exp( jG( j))
幅频特性，相频特性
复数形式 G( j) P() jQ()
实频特性，虚频特性