江苏省苏州市第五中学高中数学苏教版学案必修四1.2任意角的三角函数

1．2 任意角的三角函数一、学习内容、要求及建议
知识、方法要求建议
任意角的三角函数值的定义
三角函数的定义域
和函数值在各象限的符
号、三角函数线
理解
在锐角三角函数定义的基础上
引出对任意角的三角函数值的定
义，理解此定义关键把握有向线段
及其数量的概念；同角三角函数的
基本关系教学中应突出“同角”两
字，并深化对公式逆用、变用；理
解诱导公式时应抓住角的终边的对
称性，借助于图像看三角函数值的
关系.
同角
三角函数
的基本关
系
平方关系、商数关系
三角函数的诱导公式
奇变偶不变，符号看象限
二、预习指导
1．预习目标
(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握各三角函数在每一象限的符号；
(2)能在单位圆中作出一个角的正弦线、余弦线、正切线；
(3)掌握同角三角函数的基本关系式，并能灵活应用于求值、化简三角函数式、证明三角恒等式．
(4)能正确地运用诱导公式求任意角的三角函数值，进行简单三角函数的化简和证明.
2．预习提纲
(1)查阅初中教材(九年级下册)第7.1至7.4节，复习锐角三角函数——正弦、余弦、正切函数的定义及相关求值问题；
(2)理解任意三角函数值的定义，并与初中锐角三角函数的定义相比较，理解三角函数值与点P 在终边上的位置无关；
(3)对三角函数线的理解，首先了解有向线段及其数量的概念，三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意他们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒；
(4)借助于三角函数值的定义推导同角三角函数关系，并体会公式的应用：已知角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；化简三角函数式；证明简单的三角恒等式；
(5)诱导公式的推导突出了对称思想，从图形的角度来理解诱导公式，理解角α的任意性；
(6)课本第16页例1、例2题型是根据角的正弦、余弦、正切值中的一个求出其余两个值(简称“知一求二”)时，要注意这个角所在的象限.一般涉及开方运算时，要分类讨论.课本第17页例4由两种解法体会证明恒等式常用方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左、右两边等于同一式子；③分析法，寻找等式成立的充分条件.证明的指向一般“由繁到简”.例4中证法1使用的是作差法，它是上述方法的变形，其依据是①：.
3．典型例题
例1已知角的终边经过点P(3，－4)(a < 0)，求角的正弦值、余弦值、正切值．
分析：利用三角函数的定义求解．
解：因为x=3a，y= -4a，且a<0，所以，
所以；；．
点评：本题考查任意角三角函数定义，需要注意的是字母运算中字母的符号．若去除a < 0的条件，那么本题又该如何解答？请同学们试一试．
例2当时，比较的大小．
分析：在单位圆中根据三角函数线及弧长公式将问题转化为比较几何线段的长短．
解：如图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x
轴于点M，则有向线段MP＝sin．过点A(1，0)作单
位圆的切线，交角的终边于点T，则有向线段
A T=tan．连结AP，由弧长公式可得,
因为当时，有，
所以，即．
点评：本题巧用单位圆中的三角函数线及弧长公式将抽象的问题具体化，利用显而易见的面积大小关系比较线段长短，很好地体现了数形结合的优越性．
例3已知sin= -2cos，求的正弦值、余弦值及正切值．
分析：灵活运用同角三角函数关系求解．
解：由题可得cos≠0，则<0，故为第二或第四象限角．
又，所以．
当为第二象限角，则；
当为第四象限角，则．
点评：根据条件要能灵活运用同角三角函数关系解题．如本题采用先求正切值，并利用其符号判断象限的方法，回避了其他不必要的讨论．
例4已知，求下列各式的值．
(1) ；(2) ．
分析：可以根据例4的方法，求解出sin、cos的值代入，也可以先对代数式进行变形，将所求式化成只含tan的式子再代入，此处采用后一种方法．
解：(1) ；
(2)
．
点评：本题是关于、的齐次式的处理，将分子、分母同除以，得到只含有的式子再代值计算是处理此类问题的主要方法．值得一提的是对⑵式的变形，此处灵活运用了恒等式，从而将原式转化为齐次式．
例5已知；(2) ．
分析：(1) 根据寻求与的整体关系；(2) 类比(1) 的方法求，进而得，最后求出．
解：(1) 因为，所以，
则；
(2) 因为，且，所以．
又，所以，
故，所以．
点评：本题围绕恒等式考查了，及
之间的整体关系，其中对α角函数值符号的判断也值得关注． 例6 设已知是方程的两个根，求： (1) m 的值； (2) 的值．
分析：(1) 利用韦达定理及同角的平方关系得到关于m 的方程求解；(2)先化简再代入． 解：(1)由已知，有 因为，所以
得，经检验符合； (2) =．
点评：本题依然围绕恒等式考查与的整体联系，但以韦达定理为背景，因此还要注意对判别式的检验；对于代数式求值问题，一般都是采取先化简后求值的方法． 例7 求值 (1) ； (2)
分析：诱导公式的运用． 解：(1) 原式=
s i n (4360120)c o s (336030)c o s (3360300)s 36030)
-⨯+⨯++-⨯+⨯+
= =
==0； (2) 原式= = =
==4．
点评：本题属于灵活使用诱导公式进行计算，首先将问题转化为求0°～360°之间角的三角函数值，然后将问题转化成求0°～90°之间角的三角函数值，体现化归的数学思想． 例8 已知，且，求的值．
分析：结合诱导公式和同角函数关系式加以解决． 解：由，有，所以， 即 ① 又因为 ②
由①、②及同角三角函数关系可得： ，
所以 ()()()sin 7sin 7sin sin αππαπαα⎛-=--=--=-=-= ⎝⎭ 点评：本题先考虑利用诱导公式对已知和所求进行化简，再用同角三角函数关系来沟通已知
与所求．对于此类三角函数求值问题，也需要关注已知与所求之间的直接联系，例如“已知，求的值”．
例9 设，求值：．
分析：注意对角的整体处理． 解：原式=
==．
点评：化简时需要向已知条件看齐，运用整体思想．
4． 自我检测
(1)已知角的终边经过点P(4，－3)，则＝________________． (2)当为第二象限角时，的值是__________________． (3)已知,,则的值是___________ ． (4)已知=_________________． (5)设，求的值． (6)求值：
① ； ② ； ③ ．
(7)已知，则_____________．
三、 课后巩固练习
A 组
1．已知点P(3, y )在角的终边上，且满足y ＜ 0， = ，求． 2．若· < 0，则角是第________象限角．
3若tan x >0，且sin x ＋cos x >0，则角x 的终边在第 象限 ？ 4．函数的值域是______________________．
5．已知角的终边是OP ，角的终边是OQ ，试在图中
作出、的三角函数线，然后用不等号(＜，＞)填空： (1) ________； (2) ________； (3) ________．
6．已知，则的值等于______________ ． 7．化简的结果是_________________． 8．已知：，求下列各式的值：
(1) ； (2) ．
9．若，是方程2x 2 – x – m = 0的两个根，求m 的值． 10．化简：(1) ；
(2)； (3)．
11．化简：．
12．设α是第二象限角，且则是第______象限角． 13． 求的值；
14．化简：(1) (是第三象限角)；
(2)
15．若，求值： ． 16．已知的值．
17．已知为第三象限角，求的值．
B 组
18．已知角α的终边在直线y ＝－3
4
x 上，则2sin α＋cos α的值是__________．
19．角的终边在直线上，且，若P (m ，n )是角终边上一点，且|PO|=(O 为原点)，则
_______________．
20．若角为第二或第四象限角，则的值等于______
21．已知|| = －，|| = －，且，试判断P(，)在第 象限．
22．利用单位圆写出符合下列条件的角x ：
(1) 若 ＜－，则x ∈ _____________； (2) 若＞，则x ∈ _____________. 23．∈(0，)且，是方程的两根，求， ，的值．
24．若，化简：．
25．设f () = ，求的值． 26．已知的值．
27．若f () = ，则 f ()的值为_____________． 28．设．
C 组
29．已知角α的终边经过点P (sin 2π3，cos 2π
3
)，且0≤α<2π，求角α．
30．角α的终边上有一点(a ，－a )(a >0)，则使f (a )＝－2
2
的一个函数是_____________．
31．若f (n )＝sin nπ
6，则f (1)·f (3)·f (5)·f (7)·f (9)·f (11)＝________．
32．已知tan α＋1tan α＝94，则tan 2α＋1sin αcos α＋1
tan 2α
＝__________．
33．(1)若，则 _________．
(2)已知，那么= ． 34．已知，求值：．
35．(1) 若f () = ，求f ()；
(2) 若f () = ，求f ()． 36．化简：(1) (2)． 37．设
求的值
38．在三角形ABC 中，若
求△ABC 的三个内角A 、B 、C 的大小． 39. 已知， 求．
40. 若等式成立，求x 的集合．
知识点 题号 注意点 任意角三角函数值的定义
注意分类讨论的思想方法 三角函数值的符号 注意分类讨论的思想方法 诱导公式 熟练运用公式，体会化归思
想
三角函数线的应用注意三角函数线由方向确定
数量的正负
同角三角函数关系注意平方关系的灵活运用
综合题灵活运用同角关系和诱导公
式
四、学习心得
五、拓展视野
三角学在我国的发展
我国对三角知识的研究渊源较早．西汉末东汉初(约一世纪)，我国古老的数学书籍《周髀算经》一书里，记载着公元前7，8世纪人们如何计算地面一点到太阳距离的方法．当时人在周城(周成李所建的都城洛邑，就是现在河南洛阳)，立8尺高的竿，如图所示．某一天正午测得竿影长是6尺，又在北方相距2000里的地方立同样高的竿子，测得它的影长为6尺2寸．他就用相似三角形的原理求得周城到日下地的距离是(里)，太阳距离地面的高是(里)．然后根据勾股定理，求出测者到太阳的距离是100000里．
据记载，周代的天文官员，利用“重差术”测得太阳高远．三国时著名数学家刘徽，在古人“重差术”的基础上，编撰了《海岛算经》一书．
春秋时代的《考工说》一书，对“角”已有初步认识．用“倨句”表示角度的多少，其中直角叫做“矩”．
唐朝开元六年(718年)，在司天监任职的印度人瞿传悉达编译《开元占经》一百二十卷，讲印度数学家阿利耶毗陀编制的三角函数表载于卷一零四《九执历》中，这是传入我国的最早的三角函数表．
明朝初年，西洋三角学传入我国．在《崇祯历书》中载有《大测》、《测量全义》等有关三角学书籍，1631年，瑞士人邓玉函(1576—1630)、德国人汤若望(1591－1666)与我国数学家徐光启共同编译《大测》二卷，邓玉函在序言中说：“大测者，测三角形之法也．”我国“三角学”一词，即由此而来．该书讲了三角函数的造表方法和正、余弦的关系，倍、半角的公式，以及正弦定理、余弦定理与正切定理．
1631年，意大利人罗雅谷(1593－1638)撰写了另一部有关三角学的著作《测量全义》十卷．卷七称：“每弧、每角有8种线，曰正弦，曰余弦，曰正切线，曰正割线，曰正矢，曰余切，曰余割，曰余矢．”这是我国三角八线名称的由来．
《测量全义》中所介绍的三角学内容比《大测》丰富全面，除正、余弦定理和正切定理外，还有同角的三角函数公式与积化和差公式等．
此外，《崇祯历书》中还记载有《割圆八线》六卷，是一个每隔1’的五位三角函数表．其中包括正弦、正切、正割、余弦、余切、余割，另外的三角函数中的正矢、余矢可有余弦、正弦推出．
1653年，我国明末清初数学家薛凤柞著《三角算法》一书，是我国数学家自己撰写的第一部三角学著作．书中所介绍的三角学知识，要比《大测》、《测量全义》的内容更详细、完备．其中平面三角学的许多定理(除余弦定理外)都首次用对数来计算．
清初著名数学家梅文鼎(1633－1721)研究三角多年，对所传入的三角学知识进行了通俗易懂的解释，著有《平三角举要》五卷．其内容由浅入深，循序渐进，条理清晰，是当时及以后青年人学习三角学的主要教科书．。