一线三等角相似模型

4 4 x x CD
x2 4x CD
4
2021/3/27
CHENLI
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思考练习 •1如图，正方形ABCD边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，
当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
• （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
• （2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式； 当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大 面积；
K字型的常见形态
三角形基架
K型 矩形基架
梯形基架
追根溯源
毕达哥拉斯证法
赵爽弦图
追根溯源
从特殊到一般
K字型的一般形式
你能证明吗？
证 明 ： 在 ABC中 1 A ACB 180 又 2 DCE ACB 180
1 2 3 A DCE △ABC∽△CDE
小试身手
1、如图，等边△ABC的边长为3
个小正方形EFGH，其中E，F，G分别在AB，BC，FD
上．若BF=6 ，则小正方形的周长为（ ） 2
56 A． 8
56 B． 6
C．5 6
D．3 6
2
10
26
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6
36
2
2
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26
（2017鄂尔多斯如图1，正△ABC的边长为4，点P为BC 边上的任意一点，且∠APD=60°，PD交AC于点D，设线 段PB的长度为x，图1中某线段的长度为y，y与x的函数关 系的大致图象如图2，则这条线段可能是图1中的（ ） A. 线段AD B. 线段AP C. 线段PD D. 线段CD
即
8x 5 58
39 ∴BP= 8
A M
B
P
C
A
M
BP
C
A M
B
P
C
完
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，点D是BC上一点，且BD=1，
在AC上取点E，使∠ADE=60度
，AE长c 为（ ）
A. 3 B. 2
2
3
C.
7 3
D. 3
4
小试身手
2.在矩形ABCD中,AB=4，BC=5，AF平 分∠DAE,EF⊥AE，
1.5 则CF= ______
小试身手
• 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF=60°
a型8型k型基本图形基本图形回顾一线三等角是一个常见的相似模型指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形这个角可以是直角也可以是锐角或钝角
一线三等角相似模型
学习目标
一线三等角相似模型；
基本图形回顾 A型
基本 8型 图形
K型
一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三 个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。
A
E
F
•
∴
FC CD BD BE
BD
C
• ∵BD=1，FC=3，CD=5
5
• ∴BE= 3
【2014德州中考试题】 24．（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的 直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，说明理由．
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（2016呼市T9）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一
• （3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时x的 值．
思考练习 如1图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不
与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B； （1）求证：△ABP∽△PCM； （2）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出函数的取值范
围． （3）当△APM为等腰三角形时， 求PB的长．
A
M
B
P
C
解：（1）∵AB=AC，∠APM=∠B∴∠APM=∠B=∠C
∵∠APC=∠APM+∠MPC=∠B+∠BAP ∴∵∠BAP=∠MPC
∴△ABP∽△PCM
（2）∵BP=x，CM=y，CP=8-x
∴ AB BP PC MC
∴
5 x 8x y
y 1x2 8x (0x8) 55
（3）当AP=PM时
∵
PM PC PA AB
∴PC=AB=5
∴BP=3
当AP=AM时
∵∠APM=∠B=∠C
∴∠PAM=∠BAC即点P与点B重
合
∴P不与点B、C重合 ∴舍去
当MP=AM时
∴∠MAP=∠MPA
∴△MAP∽△ABC
∴ MP AB 5 AP BC 8
∴ PM PC5 PA AB 8
• （1）求证：△BDE∽△CFD • （2）当BD=1，FC=3时，求BE
A
E
F
BD
C
小试身手
• 如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点， ∠EDF=60°
• （1）求证：△BDE∽△CFD
• （2）当BD=1，FC=3时，求BE
• 解：（1）∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60° • ∴∠B=∠C=∠EDF=60° • ∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED • ∴∠BED=∠FDC • ∴△BDE∽△CFD • （2）∵△BDE∽△CFD