高三数学上学期半期联考试题3

卜人入州八九几市潮王学校八县〔〕协作校二零二零—二零二壹第一学期半期联考
高三理科数学试卷
【完卷时间是：120分钟；总分值是150分】
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

请把答案填涂在答题卷相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

1．集合M=
{}0x ,2y |y x
>=，N=(){}2
x x 2lg y |x -=，那么M ∩N 为〔〕
A ．〔1，2〕
B ．〔1，∞+〕
C ．〔2，∞+〕
D ．[1，∞+〕
2．以下函数中，在区间〔0，∞+〕上为增函数的是〔〕
A ．y=
B ．
2)1(-=x y
C ．
x y -=2D ．)1(log 5.0+=x y
3．以下四个结论正确结论的是〔〕 A ．设b a ,为非零向量，假设
，那么a ∥b 恒成立；
2
=1，那么x=1”2
=1，那么x ≠1”；
∨∧q 为真〞的充分不必要条件； D ．关于x 的方程0a x 2ax 2=+-有且仅有一个实根，那么1a ±=；
“∃
0x ∈R ，使得01ax 2x 02
0<++)．
A ．[－1,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1) 5．设x ，y ∈R ，向量a =〔x ，1〕，b =〔1，y 〕，c =〔2，﹣4〕且a ⊥c ，b ∥c ，
b
a +=(〕
A ．
5 B ．
10 C ．52 D ．10
6．函数
)sin()(φω+=x x f 〔2
,0π
φω<
>〕的图象如图所
示，为了得到x x g 2cos )(=的图象，那么只需将f 〔x 〕的 图象〔〕
A ．向右平移
6
π
个长度单位 B ．向右平移
12
π
个长度单位 C ．向左平移6
π
个长度单位 D ．向左平移
12
π
个长度单位 7．α为第二象限角，3
sin cos 3
α
α+=
，那么cos2α=〔〕 A ．
53
B ．
59
C ．53-
D ．59
- 8．函数
2)(,log )(22+-==x x g x x f ，那么)()(x g x f 的图象只可能是〔〕
A ．
B ．
C ．
D ．
9．点C 在以O 为圆心的单位圆圆弧AB 上运动〔含端点〕，且0=•OB OA ，
OB y OA x OC 2+=),(R y x ∈，那么
y x
+2
的取值范围是〔〕 A ． B ．
C ．
D ．
10．函数
的图象与直线
m y =有三个交点的横坐标分别为
x 1，x 2，x 3〔x 1＜x 2＜x 3〕，那么x 1+2x 2+x 3的值是〔〕
A ．
43πB ．34πC ．35πD ．2
3π 11．设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]2,0∈x 时，
1)2()(-=x x f ，假设关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a 〔a ＞0且a ≠1〕
在区间〔﹣2，6〕内恰有4个不等的实数根，那么实数a 的取值范围是() A ．〔，1〕 B ．〔1，4〕 C ．〔1，8〕 D ．〔8，+∞〕 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
f 〔x 〕=
①f 〔f 〔x 〕〕=0；
②函数f 〔x 〕是偶函数；
③任意一个非零有理数T ，f 〔x+T 〕=f 〔x 〕对任意x ∈R 恒成立；
④存在三个点A 〔x 1，f 〔x 1〕〕，B 〔x 2，f 〔x 2〕〕，C 〔x 3，f 〔x 3〕〕，使得△ABC 为等边三角形． 〕 A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题：此题一共4小题，每一小题4分，一共16分。

请把答案填在答题卷的相应位置。

13．设=π
+α=π-β=
β+α)4
tan(,41)4tan(,32)tan(则． 14．函数
⎩⎨⎧≤<-≤≤-+=)
10(,1)
01(,1)(2x x x x x f ，那么⎰-=11
)(dx x f ． 15．在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．假设，那么AB
的长为． 16．
34)(2+-=x x x f 在[]a ,0的值域是[﹣1，3]．实数a 的取值范围记为集合A ，
x a
x x g sin 2
cos )(2+=．记)(x g 的最大值为)(a g ．假设b a g ≥)(，对任意实数
A a ∈恒成立，那么实数b 的取值范围是．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

请把答案写在答题卷的相应位置。

17．〔本小题总分值是12分〕
p ：方程016
12=++ax x 有两个不相等的负实数根；
q ：关于a 的不等式11>a
〔1〕假设 〔2〕假设““
18.〔本小题总分值是12分〕
函数()2x
f
x 4sinxsin (
)cos2x.42
π=++ (1)设ω＞0为常数，假设y=f(ωx)在区间223
ππ
-［，］
上是增函数，求ω的取值范围； (2)设集合2A {x |x }63
ππ
=≤≤，B={x||f(x)-m|＜2},假设A ⊆B ，务实数m 的取值范围.
19.〔本小题总分值是12分〕
在△ABC 中，边a ，b ，c 对应角分别是A ，B ，C ，其中c=2，sin 2
A+sin 2
B ﹣sin 2
C=sinAsinB ． 〔1〕假设sinC+sin 〔B ﹣A 〕=2sin2A ，求△ABC 面积； 〔2〕求AB 边上的中线长的取值范围． 20．〔本小题总分值是12分〕
为迎接2021年到来，某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品〞，制作此礼品的次品率P 与日产量x 〔件〕
满足⎪⎩
⎪⎨⎧>≤<-=)
(54)
0(201
c x c x x P 〔c 为常数，且c ∈N *
，c ＜20〕，且每
制作一件正品盈利4元，每出现一件次品亏损1元． 〔1〕将日盈利额y 〔元〕表示为日产量x 〔件〕的函数； 〔2〕为使日盈利额最大，日制作量应为多少件？〔注：次品率=×100%〕
21.〔本小题总分值是12分〕 函数
)1()(--=x a e x f x ，其中，e R a ,∈是自然对数的底数．
〔1〕讨论函数
)(x f 的单调性，并写出相应的单调区间；
〔2〕R b ∈，假设函数
b x f ≥)(对任意R x ∈都成立，求ab 的最大值．
22．〔本小题总分值是14分〕
a 为常数，函数22
1
ln )(ax x x x f -=，
〔1〕当0=a 时，求函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；
〔2〕假设
)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <
①务实数a 的取值范围；
②求证：
11
)(211>-<x x e
x f 且〔其中e 为自然对数的底〕
八县〔〕协作校二零二零—二零二壹第一学期半期联考
高三理科数学试题参考解答及评分HY
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

1．A2．A3．A4．B5．B6．D7．C8．C9．B10．C11．C12．B 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。

13．
14514．4
2π+15．
2116．]4
5
,(-∞ 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分。

17.解：(1)假设方程x 2＋ax ＋1＝0有两个不等的负根，
那么⎪⎩⎪⎨⎧<->⨯-=∆0
a 016
14a 2
解得a ＞. 那么a 的取值范围为),2
1
(
+∞------------4分 (2)由q 真,解得0＜a ＜1；--------------6分 因为p ∨qp ∧qp 和q 一真一假.------------7分
当p 真q 假时，那么1102
1≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤>
a a a a 或------------9分 当p 假q 真时，那么2101021≤<⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
<<≤
a a a ------------11分
综上实数a 的取值范围是〔0，
]∪[1，+∞〕．------------12分
18.〔1〕f 〔x 〕=------------3分
∵f 〔ωx 〕=2sin ωx+1在上是增函数.
∴
，
即------------6分
〔2〕由|f 〔x 〕-m|＜2得：-2＜f 〔x 〕-m ＜2，
即f 〔x 〕-2＜m ＜f 〔x 〕+2.--------------------------------7分 ∵A ⊆B ，∴当时，f 〔x 〕-2＜m ＜f 〔x 〕+2恒成立------------8分
∴------------9分
又
时，
，------------11分
∴m ∈〔1，4〕------------12分
19.解：〔1〕由sin 2
A+sin 2
B ﹣sin 2
C=sinAsinB ，利用正弦定理化简得：a 2
+b 2
﹣c 2
=ab ，
∴cosC===
，又),0(c π∈，得C=
，------------2分
∵sinC+sin 〔B ﹣A 〕=sin 〔B+A 〕+sin 〔B ﹣A 〕=2sin2A ，
∴sinBcosA=2sinAcosA ，---------------------------------------------3分 当cosA=0，即A=
，此时S △ABC =
；------------4分
当cosA ≠0，得到sinB=2sinA ，利用正弦定理得：b=2a ，此时此时S △ABC =；-----------6分
〔2〕∵
=
，-----------------------------------7分
∴|CD|2
=
=，
∵cosC=，c=2，-------9分
∴由余弦定理得：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，即a 2
+b 2
﹣ab=4，
∴|CD|2
=
=＞1，且|CD|2
=
≤3，
那么|CD|的范围为〔1，]．------------12分
20.解：〔Ⅰ〕依题意，y=4〔x ﹣Px 〕﹣Px=〔4﹣5P 〕x ，------------2分
当0＜x≤c时，y=〔4﹣〕x=x，------------4分
当x＞c时，y=〔4﹣5•〕x=0，
∴y=；-----------6分
〔Ⅱ〕由〔I〕可知要使日盈利额最大，那么0＜x≤c，
此时令y′==0，------------7分
解得：x=15或者x=25〔舍〕，
∴当0＜c＜15时，y′＞0，
此时y在区间〔0，c]上单调递增，
∴y max=f〔c〕=，此时x=c；-----------10分
当15≤c＜20时，y在区间〔0，15〕上单调递增、在区间〔15，20〕上单调递减，
∴y max=f〔15〕=45；------------11分
综上所述，假设0＜c＜15，那么当日制作量为c件时，日盈利额最大；
假设15≤c＜20，那么当日制作量为15件时，日盈利额最大．------------12分
21.解：〔1〕函数f〔x〕=e x﹣a〔x﹣1〕的导数f′〔x〕=e x﹣a，------------1分
当a≤0时，f′〔x〕＞0，f〔x〕递增，那么f〔x〕的增区间为〔﹣∞，+∞〕；------------2分当a＞0时，f′〔x〕＞0，解得，x＞lna，f′〔x〕＜0，解得，x＜lna．------------3分
即有f〔x〕的增区间为〔lna，+∞〕，减区间为〔﹣∞，lna〕；------------4分
〔2〕由〔2〕可得，a≤0时，f〔x〕递增，无最值；------------5分
当a＞0时，f〔x〕在〔﹣∞，lna〕上递减，在〔lna，+∞〕上递增，
那么f〔x〕在x=lna处获得极小值也为最小值，且为a﹣a〔lna﹣1〕=a〔2﹣lna〕．
函数f 〔x 〕≥b 对任意x ∈R 都成立，那么有a 〔2﹣lna 〕≥b ，-----------7分 那么ab ≤a 2
〔2﹣lna 〕，
令t=a 2
〔2﹣lna 〕，那么t ′=2a 〔2﹣lna 〕﹣a=a 〔3﹣2lna 〕，------------9分 当0＜a ＜时，t ′＞0，t 递增；当a ＞
时，t ′＜0，t 递减．
那么t 在a=
时获得极大，也为最大，且为e 3
〔2﹣〕=e 3
．------------11分
那么ab 的最大值为
2
1
e 3
．------------12分 22.解：〔1〕当a=0时，f 〔x 〕=xlnx ，f′〔x 〕=1+lnx ，函数f 〔x 〕在点〔1，f 〔1〕〕处的切线斜率为1，又切点为〔1，0〕，那么切线方程为y=x ﹣1，即为x ﹣y ﹣1=0；------------3分 〔2〕①f′〔x 〕=1+lnx ﹣ax ，由于f 〔x 〕有两个极值点，可得1+lnx ﹣ax=0有两个不同解，
x
x
a ln 1+=
即有两个不同解------------4分 令φ〔x 〕=
x
x
ln 1+，那么φ′〔x 〕=，φ′〔1〕=0，当x ∈〔0，1〕时，φ′〔x 〕＞0，当x
∈〔1，+∞〕时，φ′〔x 〕＜0， ∴φ〔x 〕max =φ〔1〕=1，且φ〔〕=0，由数形结合可得a ∈〔0，1〕，且x 1∈〔
〕，------------8
分
②由①可得，1+lnx 1=ax 1，f 〔x 1〕=
，消去a 可得
〔x 1lnx 1﹣x 1〕，x 1∈
，构造函数g 〔x 〕=xlnx
﹣x ，x ∈〔
〕，
g′〔x 〕=lnx ＜0，∴g 〔x 〕在〔〕上单调递减，那么
，------------10
分
再证x 1x 2＞1：由①可得lnx 1=ax 1﹣1，lnx 2=ax 2﹣1，将两式相加可得lnx 1x 2=a 〔x 1+x 2〕﹣2，
两式相减可得lnx 1﹣lnx 2=a 〔x 1﹣x 2〕，即，代入lnx 1x 2=a 〔x 1+x 2〕﹣2，可得
=，令t=，
构造函数，h′〔t〕=，再令k〔t〕=t2﹣1﹣2tlnt，t∈〔0，1〕，
k′〔t〕=2〔t﹣1﹣lnt〕，再令g〔t〕=t﹣1﹣lnt，g′〔t〕=1﹣，可得
g〔t〕＞g〔1〕=0，进而k〔t〕单调递增，可得k〔t〕＜k〔1〕=0，h′〔t〕<0
∴h〔t〕单调递减，由洛必达法那么，，
∴h〔t〕＞0，lnx1x2＞0，那么x1x2＞1．------------14分。