【数学】四川省德阳市2018届高三三校联合测试数学(理)试卷含解析

德阳市高2015级高三年级联合测试
数学（理科）
命题学校：德阳中学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，故选D.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
2. 若,则=
A. B. 1 C. 3 D.
【答案】A
【解析】由得：，所以，故，故选A.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
3. 在等差数列中，，，则
A. 7B．10C．20D．30
【答案】C
【解析】因为，，所以，则，故
选C.
4. 已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为
，故选A.
5. 将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的，再向右平移个单位长度后得到，则的解析式为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】将函数的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来
的得到，再向右平移个单位长度后
得到，，故选C.
6. 执行如图所示的程序框图，若输入，输出的 1.75，则空白判断框内应填的条件为
A. ＜1B．＜0.5C．＜0.2D．＜0.1
【答案】B
【解析】当第一次执行，返回，第二次执行，返回，
第三次，，要输出x,故满足判断框，此时，故选B.
点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题。

属于中档题。

处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.
7. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48
B. 72
C. 90
D. 96
【答案】D
【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为：96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
8. 下列命题中错误的命题是
A. 对于命题使得，则都有
B. 若随机变量，则
C. 设函数，则函数有三个不同的零点
D. 设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件
【答案】C
【解析】A.对于命题p：∃x0∈R，使得x02﹣1≤0，则￢p：∀x∈R都有x2﹣1＞0，正确；
B.已知X～N（2，σ2），P（x＞2）=0.5，正确；
C.设函数，则函数有三个不同的零点，因为只有一个零点，所以错误；..................
D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充分必要条件，正确．
故选C．
9. 在中，,是的内心，若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，
设三角形的三条内角平分线BE、AD、CF相交于点I．∵A，I，D三点共线，
∴存在实数λ使得，∵AB=BC=5，I是△ABC的内心，
∴AD平分BC，∴．∴，
同理由C，I，F三点共线和角平分线的性质可得=，
∴，解得，∴
与=m+n比较可得：m=，，
则m：n=6：5．故选：B．
点睛：本题考查了三点共线定理、共面向量基本定理、三角形内角平分线的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
10. 已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知有两根分别在与内，所以
，画出可行域，利用线性规划可得，故选A.
11. 已知函数，记函数在区间上的最大值为，最小值为
，设函数，若，则函数的值域为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,当时，
，最小值为，当时，
，，最大值为2，故选D.
12. 已知奇函数是定义在上的连续可导函数，其导函数是，当时，恒成立，则下列不等关系一定正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构造函数，所以，即函数在上单调递减，又
为奇函数，所以即，所以，故选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知,则___________.
【答案】
【解析】含的项的系数为，故填.
14. ___________.
【答案】
【解析】，令，则为半圆，其面积
为，，所以填.
15. 已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知
=120°，且，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.
16. 已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则
的最小值是___________
【答案】
【解析】由可得，，根据A、B、C三点共线可得
，且，所以
，所以最小值为，故填.
点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题。

解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造，研究的式子分别加1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知等比数列{}满足，{}的前3项和.
求数列{}的通项公式；
记数列，求数列{}的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据条件，列方程解方程组即可；（2）求出，证明其为等差数
列即可求和.
试题解析：（1）等比数列{}中，由得，
即，
由得
所以数列{}的通项公式
（2）由题知，
又因为，所以数列{}是等差数列，
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
18. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，点在线段上，，,求的面积.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：由正弦定理转化为三角函数，再化简求出，向量等式两边平方结合余弦定理即可解出边长，再由面积公式求面积即可.
试题解析：
（1）因为，由正弦定理得：
即,
在中，，所以
，两边平方得：
由，，得
解得：
所以的面积
点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.
19. 为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯
月用电范围（度）（0,210]（210,400]
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号12345678910
用电量（度）538690124132200215225300410
若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.
【答案】（1）分布列见解析，（2）
【解析】试题分析：（1）10户共有3户为第二阶梯电量用户，所以可取0,1,2,3，分别求其概率，即可列出分布列，计算期望；（2）由题意抽到的户数符合二项分布，设抽到K户概率最大，解不等式组，再根据即可求出.
试题解析：
（1）元
设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3
故的分布列是
1
2
3
所以
可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足
，可知
,解得
，
所以当
时，概率最大，所以
20. 已知函数当时，求函数的单调区间；
求函数
在
上的最大值.
【答案】（1）调减区间是，增区间是；（2）
【解析】试题分析：（1）求函数的导函数，令，解不等式
，
即可；
（2）分类讨论，分析函数在上的增减性，求函数最大值.
试题解析：
（1）函数的定义域为，当时，
由
得，
或
（舍去）。

当时，，时，
所以函数的单调减区间是，增区间是
（2）因为，由由得，或
①当时，即时，在上，，即在上递增，所以
②当时，即时，在上，，在上，即
在上递减，在递增；
因为，
所以当时，；当时，
③当时，即时，在上，，即在上递减，所以
综上可得
21. 已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)设函数，且有两个不同的零点，
①求实数的取值范围；②求证：.
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析
【解析】试题分析：（1）构造函数，利用函数增减性求证；（2）①只需函数的极小值小于0即可；②由①知，记，分析函数的增减性，可知
单调递减，所以，转化为即可求证.试题解析：
（1）记，则，在上，
即在上递减，所以，即恒成立
记，则，在上，
即在上递增，所以，即恒成立
①，定义域：，则
易知在递增，而，所以在上，
在递减，在递增，,
要使函数有两个零点，则
故实数的取值范围是
②由①知，记
当时，由①知：，则
再由得，
，
故恒成立，单调递减
，即，而，
，所以，由题知，，在递增，所以
，即
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能
写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线的参数方程为（为参数），直线过点，且斜率为,
射线的极坐标方程为．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长．
【答案】（1）的极坐标方程为，的普通方程为；（2）
【解析】试题分析：
(1)将直角坐标方程化简极坐标方程可得曲线和直线的极坐标方程为，
；
(2)利用题意求得，故线段的长为 .
试题解析：
解：(1) 曲线的普通方程为，将代入整理得
，即曲线的极坐标方程为.直线的方程为，所以极坐标方程为 .
(2)当时，，故线段的长为
.
23. 选修4-5：不等式选讲
（1）函数，若存在实数，使得成立，求实数的取值范围；（2）设，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）构造函数，去绝对值号的分段函数，画出图象，数形结合即可；（2）由柯西不等式即可求出不等式的最小值.
试题解析：
解：令，则，即
作出的图像，如图所示，易知其最小值为-5
所以，实数的取值范围是
由柯西不等式：
即，故
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.。