【试题】高三数学一模试题文门头沟一模含解析新人教B版

【关键字】试题
门头沟区高三年级抽样测试
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．
第Ⅰ卷(选择题40分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.已知集合，，则集合等于
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
【解析】,所以，选C.
2．在等差数列中，，，则的值是
（A）15 （B）30 （C）31 （D）64
【答案】A
【解析】由，得，由，得，解得，所以，选A.
3．为得到函数的图象，可以将函数的图象
（A）向左平移个单位（B）向左平移个单位
（C）向右平移个单位（D）向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为，所以可以将函数的图象向左平移个单位，得到，所以选B.
4．如果的定义域为R，，若，，则等于
（A）1 （B）lg3-lg2
（C）-1 （D）lg2-lg3
【答案】A
【解析】因为，所以，选A.
5．如图所示，为一几何体的三视图，
则该几何体的体积是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】D
【解析】由三视图可知该几何体时一个正方体去掉以角，其直观图如图，其中正方体的边长
为1.所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为，所以该几何体的体积为，选C. 6．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足，且C=60°，则的值为 （A ）
（B ）1
（C ）
（D ）
【答案】C
【解析】由得，又，解得，选C.
7. 已知函数的图象与直线恰有三个公共点，则实数的取值范围是 （A ）
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】因为直线过定点。

作出函数的图象如图，，要使函数与直线恰有三个公共点，则，因为，所以实数的取值范围是，即，所以选A.
8．点P 是以为焦点的椭圆上的一点，过焦点作的外角平分线的垂线，垂足为M 点，则点M 的轨迹是
（A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线
（D ）圆
【答案】D
【解析】由题意，延长交延长线于Q ，得，由椭圆的定义知PF1+PF2=，故有PF1+PQ=QF1=，连接OM ，知OM 是三角形F2Q 的中位线
∴OM=a ，即点M 到原点的距离是定值，由此知点M 的轨迹是圆,故选D
第Ⅱ卷（非选择题110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数在复平面内对应的点到原点的距离是 ． 【答案】 【解析】
111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以对应的点为11(,)22
A ，所以
2
OA ==.
10．在给定的函数中：① 3
-y x =；②x
y -2=；③sin y x =；④1
y x
=，既是奇函数又在定义域内为减函数的是 .
【答案】①
【解析】① 3
-y x =满足条件；②x
y -2=不是奇函数；③sin y x =是奇函数，但不单调；④
1
y x
=
为函数，但不单调. 11．用计算机产生随机二元数组成区域-11
-22x y <<⎧⎨<<⎩
，对每个二元数组(,)x y ，用计算机计算
22y x +的值，记“(,)x y 满足22y x + <1”为事件A ，则事件A 发生的概率为________.
【答案】
8
π
【解析】
，矩形的面积为248⨯=，圆的面积为π，所以由几
何概型公式可得()8
P A π
=
.
12．如右图所示的程序框图，执行该程序后输出的结果是 ．
【答案】-1
【解析】第一次循环，111,222
s i =-
==；第二次循环，1
11,312
s i =-=-=；
第三次循环，112,41s i =-==-；第四次循环，11
1,522
s i =-==；
开始
1=i ，2=s
1+=i i
s
s 1-
1= 5>i
输出S 结束
是
否
第五次循环，1
11,612
s i =-
=-=，此时满足条件输出1s =-。

13．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三个组，从下午13点到18点，分别对三个路口的机动车通行情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图（如图），记甲、乙、丙三个组所调查数据的标准差分别为321,,s s s ，则它们的大小关系为 ．（用“>”连结）
【答案】123
>s s s >
【解析】根据三个频率分步直方图知，第一组数据的两端数字较多，绝大部分数字都处在两端数据偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的每一个小长方形的差别比较小，数字分布均匀，数据不如第一组偏离平均数大，方差比第一组中数据中的方差小，而第三组数据绝大部分数字都在平均数左右，数据最集中，故其方差最小，总上可知123>s s s >.
14．设向量a
()21,a a =，b ()21,b b =，定义一种向量积：
a ⊗
b =()21,a a ⊗()21,b b =()2211b a b a ，．已知m =⎪⎭⎫ ⎝⎛3,21，n =⎪⎭
⎫
⎝⎛0,6π，点P 在x y sin =的
图象上运动，点Q 在)(x f y =的图象上运动，且满足OQ =m ⊗OP +n （其中O 为坐标原点），则)(x f y =的最大值是 ． 【答案】3
【解析】设(,sin )P x x ，则OQ =m ⊗OP +n 11=(,3sin )+(0)=(,3sin )2626x x x x ππ
+，。

因
为点Q 在)(x f y =的图象上运动，所以1y=3sin()26
x π
+，即函数)(x f y =的最大值是3.
三、
解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
甲
乙
丙
已知函数)-2
π
(cos cos sin )(2x x x x f +=． （Ⅰ）求)3
π(f 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域.
16. （本小题满分13分）
已知函数2
()x
f x x b
=
+，其中b ∈R ． （Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．
17. （本小题满分13分） 如图，已知平面α,β，且,,,,AB PC PD C D α
βαβ=⊥⊥是垂足．
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1,PC PD CD ===，试判断平面α与平面β是
否垂直，并证明你的结论．
A
P
C
D
B
β
α
某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；
（II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率．
19. （本小题满分14分）
已知椭圆与双曲线12
2
=-y x 有相同的焦点，且离心率为
2
2． （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若PB AP 2=，求AOB ∆的面积．
20. （本小题满分14分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件
①0≠∈∀n a N n ,*
；②点),(n n n S a P 在函数2
2x x x f +=)(的图象上；
（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
门头沟区 高三年级抽样测试评标及参考答案 数学（文史类）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
2013.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
四、
解答题：本题共6小题，共80分．
15.（本小题满分13分）
已知函数)-2
π
(cos cos sin )(2x x x x f +=． （Ⅰ）求)3
π(f 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及值域. 解：（I ）由已知，得2
πππππ()sin cos cos()33323
f =+- ……2分
π313()34224
f =+⨯
……5分
（II ）2
()sin cos sin f x x x x =+ 1cos 2sin 222x x
-=
+
111sin 2cos 2222x x =-+
π1)242
x =
-+ 函数)(x f 的最小正周期T π=
……11分
值域为[
22
……13分
16．（本小题满分13分）
已知函数2
()x
f x x b
=
+，其中b ∈R ． （Ⅰ）)(x f 在1x =-处的切线与x 轴平行，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．
解：（Ⅰ）2
22
()()b x f x x b -'=+．
……2分
依题意，由(1)0f '-=，得1b =． ……4分 经检验，1b = 符合题意．
……5分
（Ⅱ）① 当0b =时，1()f x x
=
． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ……6分
② 当0b >时，2
22
()()
b x f x x b -'=+． 令()0f x '=
，得1x
2x =
……8分
()f x 和()f x '的情况如下：
故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．
……11分
③ 当0b
<时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．
因为2
2
2
()0()
b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．
……13分
17. （本小题满分13分） 如图，已知平面,αβ，且,,,,AB PC PD C D α
βαβ=⊥⊥是垂足．
（Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）若1,PC PD CD ===
，试判断平面α与
平面β是否垂直，并证明你的结论．
（Ⅰ）证明：因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．
同理PD AB ⊥．
A P
C
D
B
β
α
H
又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ．
……5分
（Ⅱ）平面α与平面β垂直
证明：设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ． 因为α⊥PC ，所以CH PC ⊥， ……8分
在PCD ∆中，1,PC PD CD ===
，
所以2222CD PC PD =+=，即090CPD ∠=． ……11分 在平面四边形PCHD 中，CH PC PD PC ⊥⊥,，所以CH PD // 又β⊥PD ，所以β⊥CH ，
所以平面α⊥平面β． ……13分
18. （本小题满分13分）
某学校有两个参加国际中学生交流活动的代表名额，为此该校高中部推荐了2男1女三名候选人，初中部也推荐了1男2女三名候选人．
（I ）若从初高中各选1名同学做代表，求选出的2名同学性别相同的概率；
（II ）若从6名同学中任选2人做代表，求选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率
解：设高中部三名候选人为A1，A2，B ．初中部三名候选人为a,b1,b2 （I ）由题意，从初高中各选1名同学的基本事件有 （A1，a ），（A1，b1），（A1，b2）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2）， （B ，a ），（B ，b1），（B ，b2）， 共9种 ……2分 设“2名同学性别相同”为事件E ，则事件E 包含4个基本事件，
概率P(E)=
9
4 所以，选出的2名同学性别相同的概率是
9
4．
……6分
（II ）由题意，从6名同学中任选2人的基本事件有
（A1 ，A2），（A1，B ），（A1，a ），（A1，b1），（A1，b2）， （A2，B ）， （A2，a ），（A2，b1），（A2，b2），（B ，a ）， （B ，b1），（B ，b2），(a ，b1)，（a ，b2），（b1，b2） 共15种 ……8分 设“2名同学来自同一学部”为事件F ，则事件F 包含6个基本事件，
概率P(F)=
5
2516=
所以，选出的2名同学都来自高中部或都来自初中部的概率是2
5． ……13分
19. （本小题满分14分）
已知椭圆与双曲线12
2=-y x 有相同的焦点，且离心率为
2
2． （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点P （0，1）的直线与该椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若PB AP 2=，求AOB ∆的面积．
解：（I ）设椭圆方程为122
22=+b
y a x ，0>>b a ，
由2=
c ，可得2=a ，2222=-=c a b
既所求方程为
12
422=+y x
……5分
（II ）设),(11y x A ，),(22y x B ， 由PB AP 2=有
⎩
⎨
⎧-=-=-)(1212212
1y y x x 设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆方程整理，得
0241222=-++kx x k )(
……8分
解得
1
228222++±-=k k k x
……10分
若 12282221++--=k k k x ，1
22
822
22+++-=k k k x 则 1
22822122822222++--⋅=++---k k k k k k
解得
14
1
2=
k ……12分
又AOB ∆的面积8
126
1228221||||212
221=++⋅=-⋅=k k x x OP S
答：AOB ∆的面积是
8
……14分
20. （本小题满分14分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，11=a ，满足下列条件
①0≠∈∀n a N n ,*
；②点),(n n n S a P 在函数2
2x
x x f +=)(的图象上；
（I ）求数列}{n a 的通项n a 及前n 项和n S ； （II ）求证：10121<-≤+++||||n n n n P P P P ．
解：（I ）由题意 22
n n n a a S += ……2分 当2≥n 时 22121
21---+-+=-=n n n n n n n a a a a S S a
整理，得 0111=--+--))((n n n n a a a a ……5分
又0≠∈∀n a N n ,*，所以01=+-n n a a 或011=---n n a a
01=+-n n a a 时，11=a ，11
-=-n n a a ， 得 11--=n n a )(，2
11n
n S )(--= ……7分 011=---n n a a 时，11=a ，11=--n n a a ，
得 n a n =，22n n S n += ……9分 （II ）证明：01=+-n n a a 时，))(,)((2
1111n
n n P ---- 5121==+++||||n n n n P P P P ，所以0121=-+++||||n n n n P P P P
……11分 011=---n n a a 时，),(2
2n n n P n + 22121)(||++=++n P P n n ，2111)(||++=+n P P n n
222222121112111211121)()()()()()(||||++++++--++=
++-++=-+++n n n n n n P P P P n n n n 2211213
2)()(++++++=n n n
……13分 因为
11122122+>+++>++n n n n )(,)( 所以 1112132022<++++++<
)()(n n n 综上 10121<-≤+++||||n n n n P P P P
……14分
注：不同解法请教师参照评标酌情给分．
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