2018-2019学年吉林省长春十一中高一(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年吉林省长春十一中高一（上）期末数学试
卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则（ ）
A. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗
B. PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗ C. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 2. 设函数f(x)=cos(2x −π
2)，x ∈R ，则f （x ）是（ ）
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为π
2的奇函数
D. 最小正周期为π
2的偶函数
3. 函数f(x)=sin[π3(x −1)]在区间[-3，5]上的所有零点之和等于（ ）
A. −2
B. 0
C. 3
D. 2
4. 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）
A. −1
B. 1
C. −√2
2
D. √22
5. 函数f （x ）=sin （x +π
3）+sin x 的最大值为（ ）
A. 2
B. √3
C. 2√3
D. 4
6. 函数y =
x 3−x 2|x|
的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 为了得到函数y ＝sin （2x ﹣π
4），x ∈R 的图象，只需将函数y ＝cos2x ，x ∈R 图象上所
有的点（ ）
A. 向左平行移动3π
8个单位长度 B. 向右平行移动3π
8个单位长度 C. 向左平行移动π
8个单位长度
D. 向右平行移动π
8个单位长度
8. 实数a ，b 满足2a =5b =10，则下列关系正确的是（ ）
A. 2a +1
b =2
B. 1a +1
b =1
C. 1a +2
b =2
D. 1a +2b =1
2
9. 函数 f （x ）=A sin （ω x +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图
象如图所示，则f （11π
24）的值为（ ）
A. −√62
B. −√32
C. −√22
D. −1
10. 已知函数f （x ）=ax 3+b tan x +6（a ，b ∈R ），且f(π
12)=3，则f(−π
12)=（ ）
A. 3
B. 9
C. −3
D. −9
11. 设函数f （x ）定义在实数集上，f （2-x ）=f （x ），且当x ≥1时，f （x ）=ln x ，则有
（ ）
A. f(13)<f(2)<f(1
2) B. f(12)<f(2)<f(1
3) C. f(12)<f(1
3)<f(2)
D. f(2)<f(1
2)<f(1
3)
12. 定义在R 上的奇函数f （x ），当x ≥0时，
f （x ）={
log 12
(x +1)，x ∈[0，1)
1−|x −3|，x ∈[1，+∞)
，
则关于x 的函数F （x ）=f （x ）-a （0＜a ＜1）的所有零点之和为（ ） A. 1−2a B. 2a −1 C. 1−2−a D. 2−a −1 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 已知点P （tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第______象限．
14. 已知向量a ⃗ =（cos15°，sin15°），b ⃗ =（cos75°，sin75°），则|a ⃗ -2b ⃗ |=______．
15. 在正方形ABCD 中，E 是线段CD 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ-μ=______． 16. 已知f （x ）=sin x +√3cos x ，若函数g （x ）=f （x ）-m 在x ∈（0，π）上有两个不同零
点α，β，则cos （α+β）=______． 三、解答题（本大题共6小题，共74.0分）
17. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 满足：|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=4，且a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为60°． （1）求（2a ⃗ -b ⃗ ）•（a ⃗ +b ⃗ ）； （2）若（a ⃗ +b ⃗ ）⊥（λa ⃗ -2b ⃗ ），求λ的值．
18. 已知0＜α＜π
2，sinα=4
5，
（1）求tanα的值；
（2）求
sin(α+π)−2cos(π2
+α)−sin(−α)+cos(π+α)
的值；
（3）求sin （2α+π
4）的值．
19. 已知A （2，0），B （0，2），C （cosθ，sinθ），O 为坐标原点．
（1）AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1
3
，求sin2θ的值； （2）若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7，且θ∈（-π，0），求OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角．
20. 已知函数f （x ）=
(x+1)(x+a)
x 2
为偶函数．
（1）求实数a 的值；
（2）记集合E ={y |y =f （x ），x ∈{-1，1，2}}，λ=（lg2）2+lg2lg5+lg5-1
4，判断λ与E 的关系；
（3）当x ∈[1
m ，1
n ]（m ＞0，n ＞0）时，若函数f （x ）的值域为[2-3m ，2-3n ]，求m ，n 的值．
21. 已知函数f （x ）=（sin x +√3cosx ）（cos x -√3sinx ．
（1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）若f （x 0）=6
5，x 0∈[0，π
2]，求cos2x 0的值．
22.已知函数f（x）=cos x cos（x-π
6）+√3sin2x-3√3
4
．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）设g（x）=af（x）+b，若g（x）在[-π
4，π
4
]上的值域为[0，3]，求实数a，b的
值；
（3）若f（x）+1+（-1）n-1m＞0对任意的x∈[-π
4，π
4
]和n∈N*恒成立，求实数m的取
值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：∵，
∴，
∴
∴
∴
故选：B．
根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和
左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．
本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是
数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向
量的加减运算．
2.【答案】A
【解析】
解：∵函数=sin2x，x∈R，则f（x）是周期为=π的奇函数，
故选：A．
利用诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出
结论．
本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】
解：函数=0，x∈[-3，5]．
∴（x-1）=kπ，解得x=3k+1，k∈Z．
令k=-1，0，1，可得x=-2，1，4．
∴函数在区间[-3，5]上的所有零点之和=-2+1+4=3．
故选：C．
函数=0，x∈[-3，5]．可得（x-1）=kπ，解得x=3k+1，k∈Z．进而得出．
本题考查了函数零点、三角函数求值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】
解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
运用勾股定理的逆定理，可得可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，再由向量的数量积的定义计算即可得到．
本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】
解：f（x）=sin（x+）+sinx=sinx+cosx+sinx=sinx+cosx=（
sinx+cosx）=sin（x+），
故函数的最大值为，
故选：B．
利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值．
本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的最值，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】
解：函数y=为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D；
函数有-1，0，1三个零点，故排除A；
当x=2时，函数值为正数，故排除B，
故选：C．
分析函数的奇偶性，零点个数及x=2时的函数值，可得答案．
本题考查的知识点是函数的图象和性质，超越函数图象的解法一般采用排除
法．
7.【答案】B
【解析】
解：将函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到：
y=cos[2（x-）]，
=cos（2x-），
=sin（2x-），
故选：B．
直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，三角函数关系式的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
8.【答案】B
【解析】
解：∵2a=5b=10，
∴a=log2 10，b=log5 10，
∴=lg2，=lg 5
∴+=lg2+lg5=lg（2×5）=1，
故选：B．
将指数式化为对数式，再倒过来相加即得．
本题考查了对数的运算性质．属基础题．
9.【答案】D
【解析】
解：∵f（x）的最大值为，最小值为-，A＞0，
∴A=，
∵f（x）的周期T=4（）=π，
∴ω==2，
∵f（）=-，
∴sin（+φ）=-，
∴φ=+2kπ，∴φ=+2kπ，k∈Z，
∴f（）=sin（++2kπ）=sin（）=-sin=-1．
故选：D．
根据f（x）的最值得出A，根据周期得出ω，利用特殊点计算φ，从而得出f（x）的解析式，再计算f（）．
本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】
解：函数g（x）=ax3+btanx是奇函数，且，
因为函数f（x）=ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得g（）=-3，
则=-g（）+6=3+6=9．
故选：B．
利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可．
本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．
11.【答案】C
【解析】
解：∵f（2-x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1
∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大
故选：C．
由f（2-x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图
象，从而得到答案．
本题考查的是由f（a-x）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象．
12.【答案】A
【解析】
解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（-1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，-1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，
∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∴f（-x）=（-x+1），
又f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-（-x+1）=（1-x）-1=log2（1-x），
∴中间的一个根满足log2（1-x）=a，即1-x=2a，
解得x=1-2a，
∴所有根的和为1-2a．
故选：A．
函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．
作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．
13.【答案】二
【解析】
解：因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以，tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边
在第二象限，
故答案为：二．
由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．
本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符
号．
14.【答案】√3
【解析】
解：向量=（cos15°，sin15°），=（cos75°，sin75°），
∴=cos215°+sin215°=1，||=1；
=cos275°+sin275°=1，||=1；
∴•=cos15°cos75°+sin15°sin75°=cos60°=；
=-4•+4=1-4×+4=3，
∴|a-2b|=．
故答案为：．
根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算即可．
本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．
15.【答案】1
2
【解析】
解：如图在正方形ABCD中，E是线段CD的中点，若=λ+μ=
==
，
所以，；
故答案为：．
画出示意图，利用向量的运算法则将
用表示即可．
本题考查了平面向量的加减运算，充分利用向量的三角形法则，最终利用表示，找出对应的系数．
16.【答案】1
2
【解析】
解：∵f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），
∵x∈（0，π），
∴＜x+＜π．
∵函数g（x）=f（x）-m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，
∴y=m与y=f（x）的图象有两个交点，
且α与β关于直线x=对称，
∴α+β=，
则cos（α+β）=，
故答案为：．
由辅助角公式可得，f（x）=2sin（x+），结合正弦函数的性质可知函数f（x）在x∈（0，π）上关于直线x=对称，从而可求α+β，代入即可求解
本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、函数的零点转化为图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：（1）由题意得a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗ |cos60°=1×4×1
2
=2，
∴(2a⃗−b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=2+2−16=−12．
（2）∵(a⃗+b⃗ )⊥(λa⃗−2b⃗ )，∴(a⃗+b⃗ )⋅(λa⃗−2b⃗ )=0，
∴λa⃗2+(λ−2)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0，∴λ+2（λ-2）-32=0，
∴λ=12．
【解析】
（1）由条件利用两个向量的数量积的定义，求得的值，可得（2-）•（+）的值．
（2）由条件利用两个向量垂直的性质，可得，由此求得λ的值．
本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．
18.【答案】解：（1）∵已知0＜α＜π
2，sinα=4
5
，
所以：sin2α+cos2α=1，解得：cosα=3
5
，
则：tanα=sinα
cosα=
4
5
3
5
=4
3
．
（2）由于tanα=4
3
，
所以：sin(α+π)−2cos(π
2
+α)
−sin(−α)+cos(π+α)
，
=−sinα+2sinα
sinα−cosα
，
=tanα
tanα−1
=4．
（3）s由于tanα=4
3
，
所以：sin（2α+π
4）=√2
2
sin2α+√2
2
cos2α，
=√2 2⋅2tanα
1+tan2α
+√2
2
⋅1−tan2α
1+tan2α
，
=√2 2⋅2⋅
4
3
1+16
9
+√2
2
⋅1−
16
9
1+16
9
，
=17√2
50
．【解析】
（1）直接利用同角三角函数关系式的变换求出结果． （2）利用诱导公式的变换，进行化简，进一步求出结果． （3）利用（1）的结论和万能公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
19.【答案】解：（1）∵AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ，sinθ)−(2，0)=(cosθ−2，sinθ)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ，sinθ)−(0，2)=(cosθ，sinθ−2)，
∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =cosθ(cosθ−2)+sinθ(sinθ−2)=1−2(sinθ+cosθ)=−1
3
，…（3分） ∴sinθ+cosθ=2
3， ∴两边平方，整理得， sin2θ=−5
9
；…（5分）
（2）∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (cosθ，sinθ)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosθ，sinθ)， ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2+cosθ)2+sin 2θ=√7， 即4+4cosθ+cos 2θ+sin 2θ=7， ∴cosθ=12；
又θ∈（-π，0），∴θ=−π
3；…（7分）
又OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12
，−√32
)，
∴cos ＜OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|×|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=0−√32×1=-√3
2
， ∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角＜OB ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=5π
6．…（10分） 【解析】
（1）利用平面向量的数量积，结合三角函数的恒等公式，即可求出结果； （2）利用平面向量的数量积表示出模长，结合三角函数的恒等式，平面向量的数量积，即可求出向量的夹角．
本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了三角函数的恒等式的应用问题，是综合性的运算题目．
20.【答案】解：（1）函数f （x ）=
(x+1)(x+a)
x 2
，则f （-x ）=
[(−x)+1][(−x)+a](−x)2=(x−1)(x−a)
x 2
， 又由函数f （x ）为偶函数，则有f （-x ）=f （x ）， 即
(x+1)(x+a)x 2
=
(x−1)(x−a)
x 2
，
解可得a =-1；
（2）由（1）可得a =-1，则f （x ）=
x 2−1x 2
，
则有f （1）=f （-1）=0，f （2）=3
4，
则集合E ={y |y =f （x ），x ∈{-1，1，2}}={0，3
4}，
λ=（lg 2）2+lg 2lg 5+lg 5-1
4=lg2（lg2+lg5）+lg5-1
4=lg2+lg5-14=3
4，
则有λ∈E ；
（3）由（1）可得a =-1，则f （x ）=
x 2−1x 2
=1-1
x
2，则函数在（0，+∞）为增函数，
若当x ∈[1
m ，1
n ]（m ＞0，n ＞0）时，函数f （x ）的值域为[2-3m ，2-3n ]， 则有{f(1
m )=1−m 2=2−3m f(1
n )=1−n 2=2−3n
， 解可得m =
3±√52，n =3±√5
2
， 又由1
m ＜1
n 且m ＞0，n ＞0，则有0＜n ＜m ， 则m =
3+√52
，n =3−√5
2
．
【解析】
（1）根据题意，由函数奇偶性的性质建立方程=
，解可
得a 的值；
（2）由（1）可得a 的值，即可得函数的解析式，由此可得集合E ，由对数的运算性质计算可得λ的值，分析可得答案；
（3）由（1）可得函数的解析式，进而可以断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．
本题考查函数奇偶性、单调性的性质，涉及对数的运算，关键要先求出a 的值，确定函数的解析式．
21.【答案】解：
（1）f(x)=(sinx +√3cosx)(cosx −√3sinx)=2sin(2x +2π
3)…（4分） 由-π
2+2k π≤2x +2π
3≤2k π+π
2，k ∈Z ， 解得x ∈[kπ−7π
12，kπ−π
12](k ∈Z)．
所以，函数f （x ）的单调递增区间为：[kπ−7π
12，kπ−π
12](k ∈Z)…（7分） （2）f(x 0)=2sin(2x 0+
2π
3
)=65，∴sin(2x 0+2π
3
)=3
5，…（9分） 又x 0∈[0，π
2]，∴cos(2x 0+2π
3
)=−4
5，…（11分） ∴cos2x 0=cos[(2x 0+2π
3
)−2π
3
]=(−4
5)×(−1
2)+3
5×√3
2
=
4+3√3
10
…（14分） 【解析】
（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数f （x ）的单调递增区间； （2）利用函数的解析式，通过
，求出，利
用两角和与差的余弦函数求cos2x 0的值．
本题考查两角和与差的三角函数，函数的单调性以及函数求值，考查转化思想以及计算能力．
22.【答案】解：（1）f （x ）=cos x cos （x -π
6）+√3sin 2x -3√3
4
=cos x （√32
cos x +1
2
sin x ）+√32
（1-cos2x ）-3√34
=√34
（1+cos2x ）+1
4
sin2x -√32
cos2x -√34
=14sin2x -√34
cos2x =12
sin （2x -π
3）， f （x ）的最小正周期T =2π
2
=π；
（2）由（1）知f （x ）=1
2sin （2x -π
3），
当x ∈[-π
4，π
4]时，5π
6≤2x -π3≤π
6，-12≤1
2sin （2x -π
3）≤1
4， 即-1
2≤f （x ）≤1
4．令t =f （x ），则t ∈[-1
2，1
4]． g （x ）=af （x ）+b ⇔g （x ）=at +b ，t ∈[-1
2，1
4]， 令h （t ）=at +b ，t ∈[-1
2，1
4]．易知a ≠0．
①当a ＞0时，h （t ）在t ∈[-12，1
4]上为增函数， 可得{ℎ(−1
2)=0ℎ(14)=3即{−1
2a +b =014a +b =3
解得a =4，b =2．
②当a ＜0时，h （t ）在t ∈[-1
2，1
4]上为减函数， 因此{ℎ(−1
2)=3ℎ(14)=0，即{−1
2a +b =314a +b =0．
解得a =-4，b =1．
综上所述，{b =2a=4
或{b =1a=−4
．
（3）由（2）可知，当x ∈[-π
4，π
4]时，-1
2≤f （x ）≤1
4．
①当n 为奇数时，f （x ）+1+（-1）n -1m ＞0⇔1+f （x ）+m ＞0⇔m ＞-f （x ）-1． 由题意，只需m ＞[-1-f （x ）]max ．
因为当f （x ）=-1
2时，[-1-f （x ）]max =-1
2，所以m ＞-1
2；
②当n 为偶数时，f （x ）+1+（-1）n -1m ＞0⇔1+f （x ）-m ＞0⇔m ＜1+f （x ）． 由题意，只需m ＜[1+f （x ）]min ．
因为当f （x ）=-1
2时，[1+f （x ）]min =1
2，所以m ＜1
2． 综上所述，实数m 的取值范围是（-1
2，1
2）． 【解析】
（1）由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期公式，奇数可得所求； （2）由正弦函数的图象和性质，讨论a 的范围，可得a ，b 的方程组，解方程即可得到所求值；
（3）对n 讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，可得m 的范围． 本题考查三角函数的恒等变换和性质，主要是周期性和单调性、值域，考查分类讨论思想方法和不等式恒成立问题解法，考查化简运算能力，属于中档题．。