人教B版选择性必修第一册2-5-2椭圆的几何性质课件(51张)

5．(2022山东菏泽三中模拟)如图，已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的 左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
＝acx0＋a.所以，当点P(x0，y0)为长轴右端点(a,0)时，|PF|max＝ac·a＋a＝a＋c；当点P(x0，y0)
为长轴左端点
(－a,0)时，|PF|min＝
c a
·(－a)＋a＝a－c.同理，设右焦点为F′(c,0)，则
|PF′|＝a－acx0.所以，当点P(x0，y0)为长轴左端点(－a,0)时，|PF′|max＝a＋c；当点
B1(0，－b)， B2(0，b)
A1(0，－a)， A2(0，a)， B1(－b,0)， B2(b,0)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
范围 |x|≤____a____， |y|≤_____b___
|x|≤____b____， |y|≤____a____
长轴、 短轴 长轴A1A2长为___2_a____，短轴B1B2长为__2_b_____
B＝
3 4
.以A，B为
焦点的椭圆经过点C，若该椭圆的焦距为4，则其短轴的长为___4__3___．
14x22．＋(2y902＝221安或徽4y12淮＋南4x12模＝拟1 )离心率e＝21，且过(2 2， 3)的椭圆的标准方程为 _______________3____4__________________．
所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1； 当焦点在y轴上时， 所求椭圆的标准方程为y92＋x52＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x92＋y52＝1或y92＋x52＝1.
(2) 依题意可设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2| ＝2b，
4．椭圆上到中心距离最远和最近的点
设点O为坐标原点，点P(x，y)为椭圆
x2 a2
＋by22
＝1(a>b>0)上任意一点，则|PO|＝
x2＋y2
＝
x2＋ba22a2－x2＝
c2x2＋a2b2 a.
∵－a≤x≤a，
∴当x＝0时，|PO|有最小值b，这时点P在短轴的端点B1或B2处；当x＝±a时，|PO|有 最大值a，这时点P在长轴的端点A1或A2处．
[巧归纳] 用椭圆标准方程研究几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置． (3)求出 a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． [注意] 长轴长、短轴长、焦距不是 a，b，c，而是 a，b，c 的两倍．
[练习 1] 求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率．
4．若焦点在y轴上的椭圆xm2＋y22＝1的离心率为12，则m的值为____32____．
5．(2022四川阆中中学开学考试)椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为 22 _____3_____.
解析：由题意可得a＝3b，又a2＝b2＋c2，可得a2＝a92＋c2，
整理可得ac22＝89，所以e＝ac＝2
3
2 .
02 课堂强研习 重点难点要突破
研习1 利用椭圆的标准方程研究几何性质
[典例1]
已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝
3 2
，求m的值及椭圆的长轴和
短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
[解]椭圆方程可化为xm2＋
y2 m
＝1(m>0)，
m＋3
∵m－m＋m 3＝mmm＋＋32＞0，
[练习3]
已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( A )
6 A. 3
3 B. 3
2
1
C. 3
D.3
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相 切，
研习3 求椭圆的离心率 [典例3] 1.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于
3 A，B两点，若△ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率为_____3___．
[解析]不妨设椭圆的焦点在x轴上，
因为AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，
所以在Rt△AF1F2中，∠AF2F1＝30°，
C.43，＋∞
D.－∞，－43
2．(2022安徽马鞍山二中模拟)已知椭圆x42＋y32＝1的两焦点为F1，F2，点P是椭圆外部
的一点，则|PF1|＋|PF2|的取值范围为( A )
A．(4，＋∞)
B．(32，＋∞)
C．(8，＋∞)
D．(2 3，＋∞)
3．(2022上海复旦附中模拟)如图所示，在△ABC中，∠A＝90°，tan
[解]设椭圆的方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)． 则有F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，B(0，b)， 直线PF1的方程为x＝－c，代入方程ax22＋by22＝1， 得y＝±ba2，∴P－c，ba2. 又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB， ∴－b22ac＝－ab，即b＝2c.
所以c＝b＝3，所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的方程为1x82 ＋y92＝1.
[巧归纳] 由几何性质求椭圆的标准方程的常用方法
(1)用待定系数法． (2)注意焦点位置不能确定时，应分类讨论．一般步骤是： ①求出a2，b2的值； ②确定焦点所在的坐标轴； ③写出标准方程．
[练习2]
1.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为
所以|b×0－b2＋a×－0＋a22ab|＝a，即2b＝ a2＋b2，
所以a2＝3b2， 因为a2＝b2＋c2，所以ac22＝32，
所以e＝ac＝
6 3.
03 课后重效果 学习测试速达标
1．若点P(a,1)在椭圆x22＋y32＝1的外部，则a的取值范围为( B )
A.－2
3
3，2
3
3
B.－∞，－233∪2 3 3，＋∞
位置关系
满足条件
P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内
ax202＋by022>1 ax202＋by022＝1 ax202＋by022<1
2.椭圆的特征三角形 a是椭圆的半长轴长，b是椭圆的半短轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式：a2 ＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．如图所示，a，b，c恰好构成一个直角三角形．这个三角形就 是椭圆的特征三角形，直观地显示出a，b，c三者之间的关系，由此可得“已知椭圆的四 个顶点作其焦点”的方法：以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两 点，这两点就是焦点．
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.
∴e2＝15，即e＝ 55，
所以椭圆的离心率为
5 5.
[巧归纳] 求椭圆离心率的值或范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝ac求解．若已知a，b或b，c，可借助于a2＝b2＋ c2求出c或a，再代入公式e＝ac求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2 ＋c2转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂， 得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
5．焦半径的最值 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，动点与长轴的端点重合时，焦半径取得最 大值a＋c(称为“远日”点)或最小值a－c(称为“近日”点)．推导如下：
设点P(x0，y0)为椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)上任意一点，左焦点为F(－c,0)，则|PF|＝
x0＋c2＋y20，由ax202＋by022＝1，得y20＝b21－ax022，将其代入|PF|＝ x0＋c2＋y20并化简得|PF|
P(x0，y0)为长轴右端点(a,0)时，|PF′|min＝a－c.其中|PF|＝a＋
c a
x0，|PF′|＝a－
c a
x0称为椭
圆的焦半径公式．
[自我排查]
1．(2022中央民族大学附属中学模拟)已知椭圆方程为4x2＋3y2＝12，则椭圆的长轴
长为( D )
A. 3
B．2
C．2 3
D．4
2．(2022北京人大附中模拟)椭圆C：x42＋y32＝1的焦距和离心率分别为( C )
顶点坐标为m1 ，0，－m1 ，0，0，－21m，0，21m.
3
离心率e＝ac＝21m＝
3 2.
m
研习2 利用几何性质求椭圆的标准方程 [典例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)短轴长2 5，离心率e＝23； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解](1)由2b＝2 5，e＝ac＝32，得 b2＝5，a2－a2 b2＝49，a2＝9. 当焦点在x轴上时，
知识点2 椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的半焦距与半长轴长的比．
c (2)记法：e＝____a____.
(3)范围：___0_<_e_<_1____. (4)e与椭圆形状的关系：e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．
[重点理解]
1．点与椭圆的位置关系 设P(x0，y0)，椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
令|AF1|＝x，则|AF2|＝2x，
所以|F1F2|＝ |AF2|2－|AF1|2＝ 3x＝2c，
再由椭圆的定义，可知|AF1|＋|AF2|＝2a＝3x，
∴e＝22ac＝
33xx＝
3 3.
2．如图所示， 椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是 椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
A．2和14
B．1和14
C．2和21
D．1和21
3．(2022福建泰宁一中月考)若椭圆的焦点是(－4,0)和(4,0)，长轴长为10，则椭圆的
方程是( C )
A.x52＋1
B.x32＋y52＝1
C.2x52 ＋y92＝1
D.x92＋2y52 ＝1
解析：因为椭圆的焦点是(－4.0)和(4.0)，所以c＝4，且焦点在x轴上，又长轴长为 10，所以a＝5，b2＝9所以椭圆的方程是2x52 ＋y92＝1.
第二章 平面解析几何
2．5 椭圆及其方程
2．5.2 椭圆的几何性质
新课程标准
新学法解读
1.理解椭圆的几何 1.根据椭圆方程分析椭圆的几何性质．
性质．
2．利用椭圆的几何性质求解椭圆的标准方程、
2．掌握利用椭圆的 最值问题等．
性质求标准方程. 3．掌握求离心率及其范围的方法技巧.
01 课前精梳理 自主学习固基础
[笔记教材]
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点在x轴上
标准 方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
焦点在y轴上 ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
图形
对称 性
关于___x_轴__、__y_轴__成轴对称，关于__坐__标__原__点____成中心对称
A1(－a,0)， 顶点 A2(a,0)，
3．椭圆的通径 过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，其长度的求法
如下： 在椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)中， 令x＝c，得ac22＋by22＝1， 则y2＝b21－ac22＝b2·a2－a2 c2＝ba42， ∴y1,2＝±ba2， ∴通径长为|y1－y2|＝2ab2.
∴m＞m＋m 3，即a2＝m，b2＝m＋m 3.
∴c＝ a2－b2＝
mm＋2 m＋3 .
由e＝ 23，得
mm＋＋23＝ 23，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋y12＝1.
4
∴a＝1，b＝12，c＝
3 2.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1－ 23，0，F2 23，0， 顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－12，B20，12.
1 3
，长轴长为12，则椭圆方程为
(C ) A.1x424＋1y228＝1或1x228＋1y424＝1
B.x62＋y42＝1 C.3x62 ＋3y22 ＝1或3x22 ＋3y62 ＝1
D.x42＋y62＝1或x62＋y42＝1
2．焦点与长轴较近的端点的距离为 10－ 5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直， 则椭圆的标准方程是________1x_02_＋__y5_2＝__1_或__1_y0_2 ＋__x_52_＝__1________．
解：椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为
x2 1
＋
y2 1
＝1.
m2 4m2
∵m2<4m2，∴m12>4m1 2，
∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝m1 ，短半轴长 b＝21m，半焦距长 c＝2m3.
∴椭圆的长轴长2a＝m2 ，短轴长2b＝m1 ，
焦点坐标为－2m3，0，2m3，0，