几何概型教学中不可忽视的“一点”
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１
者发现 ： 要全面透彻地分析几何概型的概念 ， 除了 强调基本事件有无限多个且发生是等可能的之外 ， 还必 须 注意 ： 要将 每个基 本事件 理解 为从 某个 特定
的集合 区域 内 随机 地 “ 一 点 ” 否 则 学 生 容 易 产 取 ，
生片 面认识并 在解题 时 出现思 维混 乱或错 误． １ 学 生对教 材例题 提 出的问题 和议论
算方法 ， 概率就是 １ 等于 １了， ０ ０× 这不就是说
一
定 会 取 到 带 麦 锈 病 的 种 子 了？怎 么 生 提 出 了 自己 的看 法 ： 我 觉 得 这 个 “ 概 率仍然 是 ， 为 Ｄ和 ｄ这 ２个 区域 的测度 没 因 有发 生变 化 ”可 是 ， 的看法 也 遭 到 了质 疑 ： 麦 ． 他 带
Ｐ（ 不 可能 不 变． 下 ， 围 的学 生 炸 开 了锅 ， Ａ） 这 周 七 嘴八 舌议 论起来 ， 少人 都觉 得这 ２个人 的看法 都 不 有道 理 ， 似乎 又 都 有错 误 ， 但 实在 说 不 出一 个 所 以 然来． 这样 看似 简单 的题 目引起 了 同学 们热 烈 的讨
ｌ ｌ含 有 麦锈 病 种 子 的 概率 是 多 少 ？学 生 几 乎 ０ｍ ，
现： 人们在学 习概率时， 直觉、 预见、 错觉、 误解 、 非 规范解释等会频繁地发生作用 ． Ｊ另外 ， 由于几何
概 型把 随机 试验归 为 在某个 区域 中随机 投点 ， 事件
的概率往 往 利用 落点 区域 的度 量 （ 度 、 长 面积 或 体
异 口同声 给出 了正确 的值． 虑到教 材也 给 出 了详 考 细 的解答 ， 笔者并 没 有 作进 一 步 分 析． 但就 在 下 课 前 与学 生 一起 小 结课 堂 内容 时 ， 学 生 提 出 了 问 有 题 ：老 师 ， “ 如果 １Ｌ小麦种子 中混 人 了 ２粒带 麦 锈
积） 来表示 ． 因此学 生 在解 题 时 主要 关 注落 点 区域 的度 量 ， 得一 部分 学生 错误 地认为 此题 中随 机事 使 件 Ａ是 “ ｌ ｌ 取 ０ｍ 麦种 ” ．
个带麦锈病的种子恰好在 ｌ ｌ ， 这一个点 ０ｍ 内” 即“
恰好 出现在 １ Ｏ瑚ｌ 样本 这 个 区域 内” 而学 生 提 出 ．
的问题涉及了“ 两粒种子”不 符合定义中的“ ， 随机
地取 一点 ” 这个 要 求 ， 因此 不 能 简单 地 利 用几 何 概 型处 理． 际上 ， 实 这是 一个 ／次 独立 重复试 验 问题． ７ ，
３ 对 提 出问题 的分 析
病 种 ，果 不 × 呢”者 没 的 子结 是 是２志即 ？ 还 笔
有 来得及 回答 ， 的 同桌 马 上 反 驳 ： 不对 ！如 果 他 “ 这里 混有 １０粒有 麦锈病 的种子 的话 ， ０ 按照你 的计
事 实上 ， 我们 应该 将这个 带麦 锈病 的种子 看成 是 要取 出 的一个点 ． 而这 个点 是从 １Ｌ小 麦 种子 这 个 区域 内随机 取 的 ， 由于这个 特殊 的种子 可能 出现 在该 区域 的任何 一 点处 ， 即该 区域 中每一点 被取 到 的机 会都一 样． １ 种 子样 本 中含有 一 粒带 麦 设 Ｏｍ１ 锈病 的种 子为 随机 事 件 ， Ａ发 生 应 理解 为 “ 则 这
锈病种子越多， 事件 Ａ的发生的可能性就越大 ， 即
第 ９期
胡 慧敏 ： 几何概型 教学 中不可忽视 的“ 一点 ”
・ｌ ５・
分 析 如 Ｆ：
与有 序实 数对 （ Ｙ 一一 对应 ， ，） 这样 Ｄｍ｛ Ｙ １ ＜１， ｙ＜１， ＋ （ ，）０＜ － ． ００＜ ００＜ Ｙ＜１｝ ０， ｄ＝｛ ，） ＋ ５， ＜ ， Ｙ＜ ． （ Ｙ Ｉ Ｙ＞ ０＜ ５０＜ ５｝ 根据 图 １可 得 Ｐ（ ， Ａ）＝ Ｉ ． Ｌ
论， 同时也 让笔 者 不 禁反 思 自 己的教 学 ： 生 是 怎 学
样解 决 书本上 的例 题 的？他 们所 理 解 的几何 概 型
是什么？如何解决他们提出的问题？在几何概型
的教 学 中 ， 了强 调 ２个 区域 的测 度计 算 外 ， 应 除 还
该注 意什 么？ 学生对 例题 的理 解 和思路
出答案是 １ｔ 甚 至有个别 学生认 为概率是 一种 土ｔ ３ ．
“ 度 ”是 带麦 锈病 的种 子 的个数 与总 的麦 种 “ 浓 ， 数
１
量” ０ ｌ １ ０ｍ 的比值 即 ０
・ Ｓａｇｎｓ 而 ｈｕｈｅｓ ｙ也发
苏教版教材有这样一道例题 ： １ 在 Ｌ高产小麦 种 子 中混入 了一 粒 带 麦 锈 病 种 子 ， 中随 机 取 出 从
・
ｌ ４・
中学教研 （ 学） 数
２０ ０９血
几 何 概 型 教 学 中 不 可 忽 视 的 “一 点 ’ ’
●胡 慧敏 （ 常熟中学 江苏常熟 ２５０ ） １５０
几 何概 型是 在古 典 概 型 的基 础 上 进 一 步发 展 起 来 的 ， 等 可 能 事 件 从 有 限 向无 限 的延 伸． 普 是 《 通高 中课程标 准 》 出 ： 生 要 了解 几何 概 型 的基 指 学 本 概念 、 特点 和意 义 ， 理解 几 何 概 型 的概 率 计 算 公 式 ， 能运用其 解决 一些 简单 的几 何概 型 的概率计 并 算 问题 ＿． 材这 样定 义几 何 概 型 的概 念 ： １教 Ｊ 在几 何 区域 内随机取一 点 ， “ 点落 在其 内部 一个 区 记 该 域 ｄ内” 为事 件 Ａ， 事件 Ａ发 生 的概 率 Ｐ（ 则 Ａ）＝
軎 ． 忠为何型教要住下 ２ 器藿 伟认几概的学抓以 周
２点 ：１ 事件 Ａ的发 生 与哪 些点 对 应 ；２ 求 出这 （） （） 些 点 的集 合及 ｄ的 测度 与 Ｄ 的测 度 的 比ｌ． ２ 而笔 Ｊ
经过 了解 ， 当多 的学生在 解题 时并没 有从 几 相 何 概 型这个 角度 去分 析 问题 ， 而是 直观 地凭经 验得
者发现 ： 要全面透彻地分析几何概型的概念 ， 除了 强调基本事件有无限多个且发生是等可能的之外 ， 还必 须 注意 ： 要将 每个基 本事件 理解 为从 某个 特定
的集合 区域 内 随机 地 “ 一 点 ” 否 则 学 生 容 易 产 取 ，
生片 面认识并 在解题 时 出现思 维混 乱或错 误． １ 学 生对教 材例题 提 出的问题 和议论
算方法 ， 概率就是 １ 等于 １了， ０ ０× 这不就是说
一
定 会 取 到 带 麦 锈 病 的 种 子 了？怎 么 生 提 出 了 自己 的看 法 ： 我 觉 得 这 个 “ 概 率仍然 是 ， 为 Ｄ和 ｄ这 ２个 区域 的测度 没 因 有发 生变 化 ”可 是 ， 的看法 也 遭 到 了质 疑 ： 麦 ． 他 带
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ｌ ｌ含 有 麦锈 病 种 子 的 概率 是 多 少 ？学 生 几 乎 ０ｍ ，
现： 人们在学 习概率时， 直觉、 预见、 错觉、 误解 、 非 规范解释等会频繁地发生作用 ． Ｊ另外 ， 由于几何
概 型把 随机 试验归 为 在某个 区域 中随机 投点 ， 事件
的概率往 往 利用 落点 区域 的度 量 （ 度 、 长 面积 或 体
异 口同声 给出 了正确 的值． 虑到教 材也 给 出 了详 考 细 的解答 ， 笔者并 没 有 作进 一 步 分 析． 但就 在 下 课 前 与学 生 一起 小 结课 堂 内容 时 ， 学 生 提 出 了 问 有 题 ：老 师 ， “ 如果 １Ｌ小麦种子 中混 人 了 ２粒带 麦 锈
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个带麦锈病的种子恰好在 ｌ ｌ ， 这一个点 ０ｍ 内” 即“
恰好 出现在 １ Ｏ瑚ｌ 样本 这 个 区域 内” 而学 生 提 出 ．
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病 种 ，果 不 × 呢”者 没 的 子结 是 是２志即 ？ 还 笔
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事 实上 ， 我们 应该 将这个 带麦 锈病 的种子 看成 是 要取 出 的一个点 ． 而这 个点 是从 １Ｌ小 麦 种子 这 个 区域 内随机 取 的 ， 由于这个 特殊 的种子 可能 出现 在该 区域 的任何 一 点处 ， 即该 区域 中每一点 被取 到 的机 会都一 样． １ 种 子样 本 中含有 一 粒带 麦 设 Ｏｍ１ 锈病 的种 子为 随机 事 件 ， Ａ发 生 应 理解 为 “ 则 这
锈病种子越多， 事件 Ａ的发生的可能性就越大 ， 即
第 ９期
胡 慧敏 ： 几何概型 教学 中不可忽视 的“ 一点 ”
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是什么？如何解决他们提出的问题？在几何概型
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出答案是 １ｔ 甚 至有个别 学生认 为概率是 一种 土ｔ ３ ．
“ 度 ”是 带麦 锈病 的种 子 的个数 与总 的麦 种 “ 浓 ， 数
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苏教版教材有这样一道例题 ： １ 在 Ｌ高产小麦 种 子 中混入 了一 粒 带 麦 锈 病 种 子 ， 中随 机 取 出 从
・
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中学教研 （ 学） 数
２０ ０９血
几 何 概 型 教 学 中 不 可 忽 视 的 “一 点 ’ ’
●胡 慧敏 （ 常熟中学 江苏常熟 ２５０ ） １５０
几 何概 型是 在古 典 概 型 的基 础 上 进 一 步发 展 起 来 的 ， 等 可 能 事 件 从 有 限 向无 限 的延 伸． 普 是 《 通高 中课程标 准 》 出 ： 生 要 了解 几何 概 型 的基 指 学 本 概念 、 特点 和意 义 ， 理解 几 何 概 型 的概 率 计 算 公 式 ， 能运用其 解决 一些 简单 的几 何概 型 的概率计 并 算 问题 ＿． 材这 样定 义几 何 概 型 的概 念 ： １教 Ｊ 在几 何 区域 内随机取一 点 ， “ 点落 在其 内部 一个 区 记 该 域 ｄ内” 为事 件 Ａ， 事件 Ａ发 生 的概 率 Ｐ（ 则 Ａ）＝
軎 ． 忠为何型教要住下 ２ 器藿 伟认几概的学抓以 周
２点 ：１ 事件 Ａ的发 生 与哪 些点 对 应 ；２ 求 出这 （） （） 些 点 的集 合及 ｄ的 测度 与 Ｄ 的测 度 的 比ｌ． ２ 而笔 Ｊ
经过 了解 ， 当多 的学生在 解题 时并没 有从 几 相 何 概 型这个 角度 去分 析 问题 ， 而是 直观 地凭经 验得