【高中数学】计数原理 章节复习课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

7C2mm11 ，
即13 (2m)! 7
(2m 1)!
，解得 m 6 ，故选 B．
m!(2m m)! (m 1)!(2m 1 m 1)!
（二）
拓展思维 熟知方法
1. 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生（以下 简称免费师范生），毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免费师范生毕业要平均分到 3 所 学校去任教，有________种不同的分派方法．
C． 43 种
D． 34 种
【解析】第 1 封信投到信箱中有 4 种投法；第 2 封信投到信箱中也有 4 种投法； 第 3 封信投到信箱中也有 4 种投法．只要把这 3 封信投完，就做完了这件事情，
由分步乘法计数原理可得共有 43 种投法．故选 C
例 1（4）如果一个三位正整数如“ a1a2a3 ”满足 a1 a2 且 a2 a3 ，则称这样的三位数为凸数
例 3（4）四面体的一个顶点为 A ，从其他顶点与各棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，
不同的取法有( )
A．30 种
B．33 种
C．36 种
D．39 种
【解析】分两种情况：顶点 A 与各棱的中点共面的有 3 个侧面，每个侧面中有 5 个点，有 C53 种， 3 个侧面有 3 C53 种；3 个点不在同一个表面的有 3 个，共有 3 C53 3 33 种取法．故选 B
【答案】3
例 4（4）设 m 为正整数， (x y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， (x y)2m1 展开式的二项式
系数的最大值为 b ，若13a 7b ，则 m (
A．5
B．6
C．7
) D．8
【解析】由二项式系数的性质可知， a
C2mm
，b
C m1 2 m 1
，所以
13C2mm
方法二：（间接法）去掉没有女生的情况，有 C63 C43 20 4 16 种．
【答案】16
例 3（3）某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人
参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360
B．520
C．600
例 4（2） (x2 2)6 的展开式中常数项是__________(用数字作答)． x
【解析】
(x2
2 )6 x
展开式的通项为 Tk 1
C6k
(
x2
)6k
(
2 x
)k
C6k 2k x123k
令12 3k 0 ，解得 k 4
所以所求的展开式中常数项是 C64 24 C62 16 1516 240 ．
第一类，有一条公共边的三角形共有 8 4 32 (个)．
第二类，有两条公共边的三角形共有 8 个．
由分类加法计数原理知，共有 32 8 40 (个)．
【答案】40
例 1（2）如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
所以编排方案共有 24 18 42 种，故选 B.
例 2（2）《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有 一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、 《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》 排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后， 则后六场的排法有________种．(用数字作答)
第二步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法
故不同的安排方案共有 C21C42 1 2 6 1 12 种，故选 A
例 3（2）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法
共有
种．(用数字填写答案)
【解析】方法一：（直接法）1 女 2 男，有 C21C42 12 ，2 女 1 男，有 C22C41 4 根据分类加法计数原理可得，共有12 4 16 种，
【答案】8
重点 3 组合与组合数及其简单应用
例 3（1）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，
每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
【解析】第一步，为甲地选一名老师和两个学生，有 C21C42 种选法；
综上，共有 78 82 72 （个） 故选 B 方法二：依题意， m{1, 2,3,...,10}, n {1, 2,3,...,8}, m n
当 n 取值 8 种时， m 在{1, 2,3,...,10} 中取与 n 不同的值有 9 种
所以共有89 72 种，故选 B
（三）
感悟问题 提升能力
志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
【解析】根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，
可以先从 5 名志愿者中任选 2 人，组成一个小组，有 C52 种选法；
然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成
重点 4 二项式定理及其简单应用
例 4（1） (x2 2)5 的展开式中 x4 的系数为( ) x
A．10
B．20
C．40
D．80
【解析】 (x2
2 x
)5
展开式的通项公式为
Tk
1
C5k
(
x
2
)5k
(
2 x
)k
C5k 2k
x103k
，
令10 3k 4 ，解得 k 2 ，故含 x4 的系数为 C52 22 40 ，故选 C．
第六章 计数原理 章节复 习
夯实、拓展、感悟与提升
（一）
夯实基础 逐层认知
本 章 知 识 网 络
重点 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例 1 （1）如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形 有______个(用数字作答)．
【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
【解析】由题知，不同的座次有 A22 A44 48 种．故选 B
例 2（4）用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的 四位数的个数为________．
【解析】(捆绑法)首先排两个奇数 1,3 有 A22 种排法， 再在 2,4 中取一个数放在 1,3 排列之间，有 C21 种方法， 然后把这 3 个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A22 种排法， 所以满足条件的四位数的个数为 A22C21 A22 8 .
） D．90
当 m 2 时， n 1,3,..,8 对应于 7 个不同的椭圆，
同理， m 4,5, 6, 7,8 时，均可对应于 7 个不同的椭圆， 当 m 9 时， n 1, 2,..,8 对应于 8 个不同的椭圆，
当 m 10 时， n 1, 2,..,8 对应于 8 个不同的椭圆，
D．720
【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有 C21C53 A44 480 种情况； 若甲、乙两人都参加，有 C22C52 A44 240 种情况，其中甲、乙相邻的有 C22C52 A33 A22 120 种情况． 则不同的发言顺序的种数为 480 240 120 600. 故选 C
1. 如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的 有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
【解析】由题意知本题是一个分类计数问题， 组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4 的情形． 当有三个 1 时，“好数”有 2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有 9 种， 当有三个 2,3,4 时，“好数”有 2221,3331,4441，有 3 种，
A．24
B．18
C．12
D．9
【解析】从 E 点到 F 点的最短路径有 6 条，从 F 点到 G 点的最短路径有 3 条，
所以由分步乘法计数原理可得从 E 点到 G 点的最短路径有 63 18 (条)，故选 B.
例 1（3）把 3 封信投到 4 个信箱，所有可能的投法共有( )
A．24 种
B．4 种
【答案】240
例 4（3） (a x)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a __________．
【解析】由已知得 (1 x)4 1 4x 6x2 4x3 x4 ， 所以 (a x)(1 x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax, 4ax3, x, 6x3, x5 ， 其系数之和为 4a 4a 1 6 1 32 ，解得 a 3．
综上，满足要求的有序数对共有 13 个．故选 B.
4.
从集合
{1,}
中任选两个元素作为椭圆方程
x2 m2
y2 n2
1中的 m
和 n ，则能组成落在
矩形区域 B {(x, y) || x | 11 且| y | 9} 内的椭圆个数为（
A．43
B．72
C．86
【解析】方法一：当 m 1时， n 2,3,..,8 对应于 7 个不同的椭圆，
(如 120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为________．
【解析】若 a2 2 ，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1 或 0，“凸数”为 120 与 121，共 2 个． 若 a2 3 ，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有 23 6 (个)． 若 a2 4 ，满足条件的“凸数”有 3 4 12 (个)，…， 若 a2 9 ，满足条件的“凸数”有89 72 (个)． 所以所有凸数有 2 6 12 20 30 42 56 72 240 (个)．
【解析】分两步完成：①《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有 A44 种，
若《蜀道难》排在《游子吟》的前面，则有
1 2
A44
种；
②《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前 4 个空位
(不含最后一个空位)中，插入法有 A42 种．
由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有
四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 A44 种，
根据分步乘法计数原理，共有 C52 A44 240 种不同的分配方案，故选 C．
3.满足 a,b {1, 0,1, 2}，且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数解的有序数对 (a, b) 的个数为( )
A．14
【解析】先把 6 个免费师范生平均分成 3 组，有 C62C42C22 种方法， A33
再将 3 组免费师范生分到 3 所学校，
有 A33 6 种方法，
所以
6
个免费师范生平均分到
3
所学校，共有
C62C42C22 A33
A33
90
种分派方法．
【答案】90
2. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训，每名
1 2
A44 A42
144
(种)．
【答案】144
例 2（3） A, B,C, D, E, F 六人围坐在一张圆桌周围开会， A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的
椅子上， B,C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【答案】240
重点 2 排列与排列数及其简单应用
例 2（1）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙
不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A. 36 种
B. 42 种
C. 48 种
D. 54 种
【解析】分两类考虑：一类为甲排在第一位共有 A44 24 种， 一类为甲排在第二位共有 A31A33 18 种，
B．13
C．12
D．10
【解析】当 a 0 时，关于 x 的方程为 2x b 0 ， 此时有序数对 (0, 1), (0, 0), (0,1), (0, 2) 均满足要求； 当 a 0 时， 4 4ab 0 ，即 ab 1， 此时满足要求的有序数对为 (1, 1), (1, 0), (1,1), (1, 2),(1, 1),(1,0), (1,1),(2, 1),(2,0) ．