3分析法综合法高二导学案

第一章节综合法与分析法导学案 第一课时
学习目标：通过数学实例，使学生经历观察，发现，归纳的过程，了解直接证明的一种方法：综合法
学习重点：学习实例理解综合法和分析法的基本证明过程和步骤，发展学生理性思维能力。

学习难点：通过实际演练，体会分析法和综合法的特点，关注学生表达能力的训练
一 自主学习
引例1，求证：π是函数()sin(2)4
f x x π
=+的一个周期
证明 我们从条件入手，因为
()sin[2()]sin(22)sin(2)()444
f x x x x f x πππ
πππ+=++=++=+= 所以，由函数周期的定义可知：π是函数()sin(2)4
f x x π
=+
的一个周期。

引例2，已知：a,b,c 是不相等的正数。

求证：3
3
2
2
a b a b ab +>+。

证明 要证明3
3
2
2
a b a b ab +>+
只需证明2
2
()()()a b a ab b ab a b +-+>+ 只需证明2
2
()()()0a b a ab b ab a b +-+-+> 只需证明2
2
()(2)0a b a ab b +-+> 只需证明2()()0a b a b +-> 只需证明 2
0)0a b a b +>->且（
由于，命题的条件“a,b 是不相等的正数”，它保证上式成立。

所以原命题成
上面的引例1，我们可以看出它们证明的特点是，从命题的条件出发，利用定义，公理，定理及运算法则，通过演绎推理。

一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明。

我们这样的思维方法称为综合法。

上面的引例2，可以发现它们的证明有共同的特点：都是从求证的结论出发，一步一步的探索保证前一个结论成立的充分条件，直接归结为这个命题的条件，或者归结为定义，公理，定理等，我们把这种思维方法称为分析法。

请分别用分析法和综合法证明下面2个习题
二 合作学习
例1，已知12x x 和是一元二次方程2
2
0(0,40)ax bx c a b ac ++=≠-≥的两个根， 求证：1212,b c x x x x a a
+=-=
例2，求证：87510+>+
分析法和综合法是思维方向相反的两种不同的推理方法，分析法是由果索因，综合法师由因索果。

运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是在证明过程中，往往可以选择的条件很多，想不到从何处下手有效，而分析法执果索因，寻根容易，便于思考，所以证明题在探索证明途径时，分析法多于综合法，在表述方面，分析法不如综合法。

因此在实际解决问题，尤其是比较困难的问题时，常常需要综合运用两种方法，我们常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程
例3，已知a.b.c 都是正数，求证2
2
2
a b c ab bc ca ++≥++
例4，求证：函数2
()21216f x x x =-+区间（3，∞）上单调递增
三 课堂检测
2已知),0(,+∞∈b a ，且1=+b a 求证：
（1）41
1≥+b
a （2）212
2≥+b a
（3）9)1
1)(11(≥++b
a
（4）22
1
21≤+++
b a
四 课后练习
1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （）
18
a a a a = 2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )
(A)0
6030或 (B)0
6045或 (C)00
12060或 (D)0
015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++2
2
2
；②()411≤-a a ；③2≥+a
b
b a ；④()()
()2
2222bd ac d c b a +≥+∙+.其中不成立的有
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 4．若+∈R c b a ,,，求证：
c b a c
ab
b a
c a bc ++≥++ 5．证明：已知：0,0>>b a ，求证：
b a a
b b a +≥+
6．已知(0,
),2
π
θ∈求2sin cos y θθ=的最大值。

答案例1， 证明 由于12x x 和是一元二次方程2
2
0(0,40)ax bx c a b ac ++=≠-≥的两个根，根据求根公式，有
221244,22b b ac b b ac
x x a a
-+----==
所以 22124422b b ac b b ac b
x x a a a -+----+=+=-
22124422b b ac b b ac c
x x a a a -+----=⋅=
例2， 证明 要证明87510+>+ 只需证明 22
(87)(510)+>+ 即 87256510250
++>++ 只需证明 256250> 即56>50. 这显然成立
所以原不等式87510+>+成立
例3， 证明 22
2a b ab +≥
22
2b c bc +≥
22
2c a ca +≥
三式相加得
2222()222a b c ab bc ca ++≥++ 2
22a
b c ab bc ca ∴++≥++
例4， 证明 要证明函数2
()21216f x x x =-+区间（3，∞）上单调递增
只需证明 对于任意的121212,(3,),()()0x x x x f x f x ∈∞>->且时，有
只需证明 对任意的123,x x >>有
22
121122()()(21216)(21216)f x f x x x x x -=-+--+ 22121222(1212)x x x x =---
12122()(6)0x x x x =-+->
根据条件12121212,3,3,0,6x x x x x x x x >>>->+>且有且 所以 12122()(6)0x x x x -+-> 成立 所以函数2
()21216f x x x =-+区间（3，∞）上单调递增 课堂检测 1 C
课后练习1 D 2D3A。