【5套打包】成都市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元检测试卷(含答案解析)

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元测试（含答案）
一、单选题
1．下列命题：①直径相等的两个圆是等圆；②等弧是长度相等的弧；③圆中最长的弦是通过圆心的弦； ④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题是 ( ) A ．①③
B ．①③④
C ．①②③
D ．②④
2．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为P ．若CD ＝AP ＝8，则⊙O 的直径为（ ）
A ．10
B ．8
C ．5
D ．3
3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面AB 宽为（ ）
A.4m
B.5m
C.6m
D.8m
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
5．如图，C 、D 为半圆上三等分点，则下列说法：①AD =CD =BC ；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6．下列各角中，是圆心角的是（）
A. B. C. D.
7．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是()
A．60°B．35°C．30.5°D．30°
8．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是60°，则∠ACD的度数为( )
A．60°B．30°C．120°D．45°
9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．点P在圆内B．点P在圆上
C．点P在圆外D．不能确定
10．如图，AB是⊙O 的直径，BC是⊙O 的切线，若OC=AB，则∠C的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．6π
12．如图，已知在⊙O 中，AB=4 ， AF=6，AC 是直径，AC ⊥BD 于F ，图中阴影部分的面积是（ ）
A.
B. C.
D.
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
2
π
- 2
π
C.π
D.2
π
二、填空题
14．已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为________． 15．如图，在⊙O 中，已知∠AOB ＝120°，则∠ACB ＝________．
16．如图，在
O 中，直径4AB =，弦CD AB ⊥于E ，若30A ∠=，则CD =____
17．如图，在
O 中，120AOB ∠=︒，P 为劣弧AB 上的一点，则APB ∠的度数是_______.
三、解答题
18．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，求弦BD 的长
19．如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D ，过点 D 作∠ADE ＝∠A ，交 AC 于点 E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若
3
4
BC
AC
，求DE 的长．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC的中点．过点D作直线AC的垂线，
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(1)
一、知识梳理
（一）点、直线与圆的位置关系：
（可用什么方法判断？）
1．
2．已知圆O的半径为8cm，若圆心O到直线l的距离为8cm，那么直线l 和圆O的位置关系是（）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相离
（二）圆心角、弧、弦之间的关系
1．下列说法中，正确的是( )
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
2．
（三）圆周角定理及其推理
1．如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm 。

2．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC=32°，则∠AOD 等于( )
A ．64°
B ．48°
C ．32°
D ．76°
3．如图所示，A ，B ，C ，D 是圆上的点，∠1＝68°，∠A ＝40°。

则∠D ＝____。

（四）圆的内接四边形定理。

1．已知如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝60°，则∠DCE ＝
2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE 等于( )。

A ．69°
B ．42°
C ．48°
D ．38°
（五）切线的性质与判定定理
1．如图，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6cm ，AB=4cm ，则⊙O 的半径为（ ）
A ．cm
B ．cm
C ．
m
2．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为( )
A ．8
B ．4
C ．9.6
D ．4.8 切线的判定方法有哪些？
①知半径，证垂直，得切线；②作垂直，证圆心到直线的距离等于半径，得切线
（六）扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1．如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA=2，∠OAB=30°，弦BC ∥OA ，劣弧
的弧长为 （结果保留π）
二、综合运用
1．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
2．如图，所示⊙O 中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO 的度数为
3．如图，四边形ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，BC ＝2。

以线段BC 的中点O 为圆心，以OB 为半径作圆，连结OA 交⊙O 于点M 。

（1）若∠ABO ＝120°，AO 是∠BAD 的平分线，求︵
BM 的长；
3
4
︒40︒45︒6080第2题
（2）若点E 是线段AD 的中点，AE
，OA ＝2，求证：直线AD 与⊙O 相
切。

三、课堂检测
1．如图，是⊙O 的直径，点在⊙O 上，则的度数为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．如图，已知圆心角
，则圆周角的度数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图、是的两条弦，＝30°，过点的切线与的延长线交于点，求的度数。

4．如图所示，是
的内接三角形，，为
中
上
一点，延长至点，使。

AB C ACB ∠78BOC ∠=BAC ∠156783912AB AC O ⊙A ∠C OB D D ∠ABC △AC BC =D DA E CE CD =
（1）求证：；
（2）若，求证：。

四、课堂小结
1．圆这一章的知识结构。

2．几个主要的性质定理和判定定理。

3．直线与圆的位置关系的判定及应用。

4．数形结合的思想和方程思想的渗透。

五、拓展延伸（选做）
已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，︵CD ＝︵
BD ，AC 是四边形ABCD 的对角线。

（1）如图8，连结BD ，若∠CDB ＝60°，求证：AC 是∠DAB 的平分线； （2）如图9，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，若AC ＝7，AB ＝5，求线段AE 的长度。

AE BD =AC BC
⊥AD BD +=
图8
【答案】 【知识梳理】 （一） 1．C 2．B （二） 1．B 2．B （三） 1．5 2．A 3．28° （四） 1．60° 2．A （五） 1．B 2．D （六） 1．A
2．
【综合运用】 1．A 2．50°
3．（1）解：∵AD ∥BC ， ∴∠EAO=∠AOB ， ∵AO 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAO=∠BAO ，∴∠BAO=∠AOB ， ∵∠ABC=120°，BC=2，O 是BC 的中点， ∴∠AOB=∠BAO=30°，OA=OB=1， ∴
的长是
=
π；
3
图7
（2）证明：连接OD 和OE ， ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠ABO=∠DCO ， ∵O 为BC 中点， ∴BO=CO ，
∵在△
ABO 和△DCO
中
∴△ABO ≌△DCO （SAS ），∴AO=OD ， ∵E 为AD 中点，
∴OE ⊥AD ，在Rt △AEO 中，AE=，AO=2，由勾股定理得：OE=1=BO ，即OE
为半径，OE ⊥AD ，
∴直线AD 与⊙O 相切。

【课堂检测】 1．D 2．C
3．解：连接OC ∵ CD 是切线， ∴∠OCD=90°， ∵∠A=30°，
∴∠COD=60°，∴∠D=30°
4．证明：（1）由同弧所对的圆周角相等，知∠ADC=∠CBA． ∵AC=BC，CE=CD ，
∴ ∠ADC=∠CED=∠CBA=∠CAB， ∴ ∠DCE=∠ACB，
∴∠DCE -∠ACD=∠ACB -∠ACD 即：∠ACE=∠BCD． 又∵AC=BC，CE=CD ， ∴ △ACE≌△BCD． ∴ AE=BD （2）∵AE=BD， ∴AD+BD=AD+AE=ED
∵AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90º，
∴ ∠DCE=∠ACB=90º。

由勾股定理，得CE2+CD2=ED2
又∵CE=CD，
∴2CD2=ED2，∴ED=CD，∴AD+BD=CD 【课堂小结】
略
【拓展延伸】（选做）
解：1）证明：∵︵
CD＝
︵
BD，
∴ CD＝BD．
又∵∠CDB＝60°，
∴△CDB是等边三角形。

∴∠CDB＝∠DBC．
∴︵
CD ＝
︵
BC。

∴∠DAC＝∠CAB
∴ AC是∠DAB的平分线。

（2
人教版九年级数学上册《圆》培优检测试题（含答案）一．选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O中，AB＝AC，＝60°，则∠B＝（）
A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知圆锥的母线长为5cm，高为4cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（）A．216°B．270°C．288°D．300°3．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠ADB的度数为（）
A．15°B．30°C．45°D．60°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则⊙O的直径为（）
A．10 B．8 C．5 D．3
5．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）
A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π
6．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，半径OD∥AC，如果∠BOD＝130°，那么∠B的度数为（）
A．30°B．40°C．50°D．60°
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）
A．πB．2πC．3πD．6π
8．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）
A． cm B．3cm C． cm D．2cm
9．下列说法正确的个数（）
①近似数32.6×102精确到十分位：
②在，，﹣||中，最小的数是
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有
两个纯角”
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点
A．1 B．2 C．3D．4
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC与圆O相切于点D，AB经过圆心O，且与圆交于点E，连接BD，若AC＝3CD＝3，则BD的长为（）
A．3 B．2C．D．2
二．填空题
11．如图，⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，CD＝8，则弦AC的长为．
12．如图，直尺三角尺都和⊙O相切，∠A＝60°，点B是切点，且AB＝8c m，则⊙O的半径为cm．
13．如图，正五边形ABCDE内接于半径为1的⊙O，则的长为．
14．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是．
15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．
16．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC 于点E，AD平分∠CAB交BM于点D．
（1）∠ADB＝°；
（2）当点D恰好为BM的中点时，BC的长为．
17．如图，在平面直角坐标系中，OA＝1，以OA为一边，在第一象限作菱形OAA
1
B，并使∠
AOB＝60°，再以对角线OA
1为一边，在如图所示的一侧作相同形状的菱形OA
1
A
2
B
1
，再依
次作菱形OA
2A
3
B
2
，OA
3
A
4
B
3
，……，则过点B
2018
，B
2019
，A
2019
的圆的圆心坐标为．
三．解答题
18．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）证明：DF是⊙O的切线；
（2）若AC＝3AE，FC＝6，求AF的长．
19．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点．PA切⊙O于点A．连接OP交⊙O于点D，作AB上OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PC＝9，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
20．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．
（1）求证；∠ABD＝∠CAB；
（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最
小值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
23．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，在CD上有点N满足CN＝CA，AN 交圆O于点F，过点F的AC的平行线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E （1）求证：EM是圆O的切线；
（2）若AC：CD＝5：8，AN＝3，求圆O的直径长度；
（3）在（2）的条件下，直接写出FN的长度．
24．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
参考答案一．选择题
1．解：∵AB＝AC，＝60°，
∴∠B＝∠C，∠A＝30°，
∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°；
故选：D．
2．解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥的底面圆的半径＝＝3，
根据题意得2π×3＝，
解得n＝216．
即该圆锥侧面展开图的圆心角为216°．
故选：A．
3．解：∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠C＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝∠C＝30°，
故选：B．
4．解：连接OC，
∵CD⊥AB，CD＝8，
∴PC＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCP中，设OC＝x，则OA＝x，
∵PC＝4，OP＝AP﹣OA＝8﹣x，
∴OC2＝PC2+OP2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴⊙O的直径为10．
故选：A．
5．解：连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB ＝BC ＝6，
∵∠B ＝60°，E 为BC 的中点，
∴CE ＝BE ＝3＝CF ，△ABC 是等边三角形，AB ∥CD ，
∵∠B ＝60°，
∴∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，
由勾股定理得：AE ＝
＝3， ∴S △AEB ＝S △AEC ＝×6×3×＝4.5
＝S △AFC ， ∴阴影部分的面积S ＝S △AEC +S △AFC ﹣S 扇形CEF ＝4.5
+4.5﹣＝9﹣3π，
故选：A ．
6．解：∵∠BOD ＝130°，
∴∠AOD ＝50°，
又∵AC ∥OD ，
∴∠A ＝∠AOD ＝50°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠C ＝90°，
∴∠B ＝90°﹣50°＝40°．
故选：B ． 7．解：∵在▱ABCD 中，∠A ＝2∠B ，∠A +∠B ＝180°，
∴∠A ＝120°，
∵∠C ＝∠A ＝120°，⊙C 的半径为3，
∴图中阴影部分的面积是：＝3π，
故选：C．
8．解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠PAO＝90°，
在直角△APO中，OA＝＝2，
∵AB⊥OP，
∴AD＝BD，∠ADO＝90°，
∴∠ADO＝∠PAO＝90°，
∵∠AOP＝∠DOA，
∴△APO∽△DAO，
∴＝，即＝，
解得：AD＝3（cm），
∴BD＝3cm．
故选：B．
9．解：①近似数32.6×102精确到十位，故本说法错误；
②在，，﹣||中，最小的数是﹣（﹣2）2，故本说法错误；
③如图所示，在数轴上点P所表示的数为﹣1+，故本说法错误；
④反证法证明命题“一个三角形中最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中至
少有两个纯角”，故本说法错误；
⑤如图②，在△ABC内一点P到这三条边的距离相等，则点P是三个角平分线的交点，故
本说法正确；
故选：A．
10．解：连接OD，如图，
∵AC与圆O相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴∠ODA＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∵＝＝3，
∴AO＝2OB，
∴AO＝2OD，
∴sin A＝＝，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABC中，BC＝AC＝×3＝3，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝2．故选：B．
二．填空题
11．解：如图，连接OA，并反向延长OA交CD于点E，∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，
即∠CEO＝90°，
∵CD＝8，
∴CE＝DE＝CD＝4，
连接OC，则OC＝OA＝5，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝3，
∴AE＝AO+OE＝8，
则AC＝．
故答案为：4．
12．解：设圆O与直尺相切于B点，连接OE、OA、OB，设三角尺与⊙O的切点为E，∵AC、AB都是⊙O的切线，切点分别是E、B，
∴∠OBA＝90°，∠OAE＝∠OAB＝∠BAC，
∵∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝×120°＝60°，
∴∠BOA＝30°，
∴OA＝2AB＝16cm，
由勾股定理得：OB＝＝＝8（cm），
即⊙O的半径是8cm．
故答案是：8．
13．解：如图，连接OA，OE．
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOE＝＝72°，
∴的长＝＝，
故答案为．
14．解：作OD⊥AB于D，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，OD⊥AB，
∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，
则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD，∴AB＝2AD＝3，
∴图中阴影部面积＝﹣×3×＝3π﹣，故答案为：3π﹣．
15．解：∵OD⊥AC，
∴AD＝DC，
∵BO＝CO，
∴AB＝2OD＝2×2＝4，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠COE＝90°，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，
∵EA⊥BD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝4，
∴DC＝AD＝4，
∴BC＝＝＝4．
故答案为：4．
16．解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵＝，
∴∠CBM＝∠ABM，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠DAB+∠DBA＝（∠CAB+∠CBA）＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠DBA）＝135°，
故答为135．
（2）如图作MH⊥AB于M，连接AM，OM，OM交AC于F．∵AB是直径，
∴∠AMB＝90°
∵∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，
∴MA＝MD，
∵DM＝DB，
∴BM＝2AM，设AM＝x，则BM＝2x，
∵AB＝2，
∴x2+4x2＝40，
∴x＝2（负根已经舍弃），
∴AM＝2，BM＝4，
∵•AM•BM＝•AB•MH，
∴MH＝＝，
∴OH＝＝＝，
∴OM ⊥AC ，
∴AF ＝FC ，
∵OA ＝OB ，
∴BC ＝2OF ，
∵∠OHM ＝∠OFA ＝90°，∠AOF ＝∠MOH ，OA ＝OM ， ∴△OAF ≌△OMH （AAS ），
∴OF ＝OH ＝
， ∴BC ＝2OF ＝
故答案为．
17．解：过A 1作A 1C ⊥x 轴于C ，
∵四边形OAA 1B 是菱形，
∴OA ＝AA 1＝1，∠A 1AC ＝∠AOB ＝60°， ∴A 1C ＝，AC ＝，
∴OC ＝OA +AC ＝，
在Rt △OA 1C 中，OA 1＝＝， ∵∠OA 2C ＝∠B 1A 2O ＝30°，∠A 3A 2O ＝120°， ∴∠A 3A 2B 1＝90°，
∴∠A 2B 1A 3＝60°，
∴B 1A 3＝2，A 2A 3＝3，
∴OA 3＝OB 1+B 1A 3＝3＝（）3
∴菱形OA 2A 3B 2的边长＝3＝（
）2， 设B 1A 3的中点为O 1，连接O 1A 2，O 1B 2，
于是求得，O 1A 2＝O 1B 2＝O 1B 1＝＝（）1，
∴过点B 1，B 2，A 2的圆的圆心坐标为O 1（0，2
）， ∵菱形OA 3A 4B 3的边长为3
＝（）3，
∴OA 4＝9＝（）4， 设B 2A 4的中点为O 2，
连接O 2A 3，O 2B 3，
同理可得，O 2A 3＝O 2B 3＝O 2B 2＝3＝（）2，
∴过点B 2，B 3，A 3的圆的圆心坐标为O 2（﹣3，3
），…以此类推，菱形菱形OA 2019A 2020B 2019的边长为（）2019，
OA 2020＝（
）2020， 设B 2018A 2020的中点为O 2018，连接O 2018A 2019，O 2018B 2019， 求得，O 2018A 2019＝O 2018B 2019＝O 2018B 2018＝（）2018， ∴点O 2018是过点B 2018，B 2
019，A 2019的圆的圆心， ∵2018÷12＝168…2，
∴点O 2018在射线OB 2上，
则点O 2018的坐标为（﹣（）2018，（）2019），
即过点B 2018，B 2019，A 2019的圆的圆心坐标为（﹣（
）2018，（）2019）， 故答案为：（﹣（）2018，（）2019）．
三．解答题
18．（1）证明：如图1，连接OD ，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BE，AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，AC＝3AE，
∴A B＝3AE，CE＝4AE，
∴＝2，∴，
∵∠DFC＝∠AEB＝90°，
∴DF∥BE，
∴△DFC∽△BEC，
∵CF＝6，
∴DF＝3，
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝∠ADC＝90°，∠DAF＝∠FDC，∴△ADF∽△DCF，
∴，
∴DF2＝AF•FC，
∴，
∴AF＝3．
19．（1）证明：连接OB，
∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∴AC＝BC，
∴OP垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO＝∠PBO，
∵PA切⊙O于点A，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO＝90°，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴OB⊥BP，
又∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∵∠PBO＝∠BCO＝90°，
∴∠PBC+∠OBC＝∠OBC+∠BOC＝90°，
∴∠PBC＝∠BOC，
∴△PBC∽△BOC，
∴＝
∴OC＝＝＝3，
∴在Rt△OCB中，OB＝＝＝6，tan∠COB＝＝＝，∴∠COB＝60°，
∴S
△OPB ＝×OP×BC＝×（9+3）×3＝18，S
扇DOB
＝＝6π，
∴S
阴影＝S
△OPB
﹣S
扇DOB
＝18﹣6π．
20．解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，
即∠ABD＝∠CAB；
（2）连接BC．
∵AB是⊙O的两条直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE为⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵B是OE的中点，
∴BC＝OB，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BC＝AC＝4，
∴OB＝4，
即⊙O的半径为4．
21．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
22．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
23．（1）证明：连接FO，
∵CN＝AC，
∴∠CAN＝∠CNA，
∵AC∥ME，
∴∠CAN＝∠MFN，
∵∠CAN＝∠FNM，
∴∠MFN＝∠FNM＝∠CAN，
∵CD⊥AB，
∴∠HAN+∠HNA＝90°，
∵AO＝FO，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴∠OFA+∠MFN＝90°，即∠MFO＝90°，
∴EM是圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵AC：CD＝5：8，设AC＝5a，则CD＝8a，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝4a，AH＝3a，
∵CA＝CN，
∴NH＝a，
∴AN＝＝＝a＝3，∴a＝3，AH＝3a＝9，CH＝4a＝12，
设圆的半径为r，则OH＝r﹣9，
在Rt△OCH中，OC＝r，CH＝12，OH＝r﹣9，
由OC2＝CH2+OH2得r2＝122+（r﹣9）2，
解得：r＝，
∴圆O的直径为25；
（3）∵CH＝DH＝12，
∴CD＝24，
∵AC：CD＝5：8，
∴CN＝AC＝15，
∴DN＝24﹣15＝9，
∵∠AFD＝∠ACD，∠FND＝∠CNA，
∴△FND∽△CNA，
∴，
∵AN＝3，
∴，
∴FN＝．
24．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD
∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
人教版数学九年级上册第二十四章圆的综合单元测试卷一．选择题
1．下列说法错误的是（）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
2．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是（）
A．20°B．15°C．35°D．70°
3．如图，点A是量角器直径的一个端点，点B在半圆周上，点P在上，点Q在AB上，且PB＝PQ．若点P对应140°（40°），则∠PQB的度数为（）
A．65°B．70°C．75°D．80°
4．如图，点A、B、C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，BD＝BO，∠A＝50°，则∠B的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，半径OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的长是（）
A．2 B．C．1 D．
6．用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形绿地，绿地的面积是（）A．m2B．m2C．m2D．m2 7．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）
A．10 B．9 C．8 D．7
8．如图，PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，PA＝3，∠BPA＝60°，若BC为⊙O的直径，则图中阴影部分的面积为（）
A．3πB．πC．2πD．
9．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（）
A．﹣1≤x≤1 B．﹣≤x≤C．0≤x≤D．x＞
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q．若MP+NQ＝14，AC+BC＝20，则AB的长是（）
A．9B．C．13 D．16
11．如图，扇形AOB中，OA＝2，C为上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为菱形，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣B．﹣2C．﹣D．﹣2 12．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）
A．4 B．6 C．3D．2
二．填空题
13．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，如果∠B＝60°，AO＝4，那么CD的长为．
14．如图，正六边形ABCDEF中，边长为4，连接对角线AC、CE、AE，则△ACE的周长
为．
15．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE ⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．
17．如图，AB，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，P为CD延长线上的一点，PE切⊙O于E．BE 交CD于F．若AB＝6，DP＝2，则BF＝．
三．解答题
18．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）AB＝AC．
19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB＝CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE＝2BE，＝，求线段DE和PE的长．
20．如图1，已知点A，B，C是⊙O上的三点，以AB，BC为邻边作▱ABCD，延长AD，交⊙O于点E，过点A作CE的平行线，交CD的延长线于F
（1）求证：FD＝FA；
（2）如图2，连接AC，若∠F＝40°，且AF恰好是⊙O的切线，求∠CAB的度数．
21．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
22．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF ＝CE，CF交延长线交⊙O于G．
（1）求证：弧AG＝弧GH；
（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．
23．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
24．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
参考答案
一．选择题
1．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
2．解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝70°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝20°，
∴∠ACD＝∠B＝20°．
故选：A．
3．解：∵点P对应140°，
∴∠ABP＝70°，
∵PB＝PQ，
∴∠PQB＝∠ABP＝70°，
故选：B．
4．解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∴∠BOD＝80°．
又∵BD＝BO，
∴∠BDO＝∠BOD＝80°
∴∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：B．
5．解：∵OD⊥弦BC，
∴∠BOQ＝90°，
∵∠BOD＝∠A＝60°，
∴OD＝OB＝1，
故选：C．
6．解：由题意得：AB＝48÷6＝8，
过O作OC⊥AB，
∵AB＝BO＝AO＝8，
∴CO＝＝4，
∴正六边形面积为：4×8××6＝96（m2）；
故选：A．
7．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，
则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：D．
8．解：∵PA、PB与⊙O相切，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°
∵∠P＝60°，
∴△PAB为等边三角形，∠AOB＝120°，
∴AB＝PA＝3，∠OCA＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°．
∴BC＝2．
∵OB＝OC，
∴S△AOB＝S△OAC，
∴S阴影＝S扇形OAB＝＝π，
故选：B．
9．解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′＝，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤．
故选：C．
10．解：连接OP、OQ分别与AC、BC相交于点G、H，
根据中点可得OG+OH＝（AC+BC）＝10，MG+NH＝AC+BC＝20，∵MP+NQ＝14，
∴PG+QH＝20﹣14＝6，
则OP+OQ＝（OG+OH）+（PG+QH）＝10+6＝16，
根据题意可得OP、OQ为圆的半径，AB为圆的直径，
则AB＝OP+OQ＝16．
故选：D．
11．解：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA＝AC＝2．
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO＝2，
∴AD＝OA•sin60°＝2×＝．
∴S阴影＝S扇形AOB﹣2S△AOC＝﹣2××2×＝﹣2．故选：D．
12．解：连接OD，
∵DF为圆O的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵OD＝OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60°，∠ABC＝∠DOC＝60°，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△AFD中，∠ADF＝30°，AF＝2，
∴AD＝4，即AC＝8，
∴FB＝AB﹣AF＝8﹣2＝6，
在Rt△BFG中，∠BFG＝30°，
∴BG＝3，
则根据勾股定理得：FG＝3．
故选：C．。