2023届湖南新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试卷+答案解析(附后)

2023届湖南新高考教学教研联盟高三第一次联考数学试卷1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若，，为虚数单位，是的共轭复数，则( )
A. 2
B.
C.
D. 6
3.
已知数列和均为等差数列，且为定值，若，，，则( )
A. 56
B. 72
C. 88
D. 104
4. 逢山开路，遇水架桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”.如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A，B，C三处测得道路一侧山顶P的仰角依次为，，，其中，
，则此山的高度为( )
A. B. C. D.
5. 某高校计划在今年暑假安编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有( )
A. 96种
B. 144种
C. 240种
D. 384种
6. 已知函数在区间上单调，且满足
若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上异于顶点，点O为坐标原点，过点N作直线OM的垂线与x轴交于点P，则( )
A. 6
B.
C. 4
D.
8. 已知函数，直线与的图象交于A，B两点，在A，B 两点处分别作的两条切线，，这两条切线交于点，则( )
A. B. C. D.
9. 下列说法正确的有( )
A. 若随机变量X服从正态分布，，则
B. 数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
C. 回归分析学常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验
，可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过
10. 已知，，，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为
B. 的最大值为1
C. 的最小值为
D. 的最小值为3
11. 设，过定点A的动直线，和过定点B的动直线
交于点P，M是圆上的任意一点，则下列
说法正确的有( )
A. 直线与圆C相切时
B. M到距离的最大值是
C. 直线与圆C相交的最短弦长为
D. 的最大值为
12. 某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒包装盒如图所示，是由等高的半
个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点G是弧上的动点，且C，E，D，G四点共面下列说法正确的有( )
A. 若点G为弧的中点，则平面平面
B. 存在点G，使得
C. 存在点G，使得直线与平面所成的角为
D. 当点G到平面的距离最大时，三棱锥外接球的半径
13. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则
__________.
14. 已知向量，，设与方向相同的单位向量为，若在
上的投影向量为，则与的夹角__________.
15.
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点A
是椭圆上的任意一点，满足，的平分线与相交于点B，则分所得的两个三角形的面积之比__________.
16. 在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均
为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列
，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2
，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________. 17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A的大小;
若为锐角三角形，求的取值范围.
18. 已知数列的前n项和为，且
求数列的通项公式;
给定，记集合中的元素个数为，若
，
试求k的最小值.
19. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，在保持原有40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技和霹雳舞两个竞赛项目，国家体育总局为了深入了解各省在“电子竞技”和“霹雳舞”两个竞赛项目上的整体水平，随机选取了10个省进行研究，便于科学确定国家集训队队员，各省代表队入数如下表：
从这10支省代表队中随机抽取3支，在抽取的3支代表队参与电子竞技的人数均超过30人的条件下，求这3支代表队参与霹雳舞的人数超过30人的概率；
若霹雳舞参与人数超过40人的代表队所在地可以成为国家队集训基地，现从这10支代表队中随机抽取4支，记X为选出代表队所在地可以成为国家队集训基地的个数，求X的分布列和数学期望;
某省代表队准备进行为期3个月的雳舞封闭训综，对太空步、空中定格、整体移动二个
动作进行编训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”，已知在一轮测试的3个动作中，甲队员每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲队员在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于9次，那么至少要进行多少轮测试?
20. 如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如
图②，将沿边DH翻折至
在线段BC上是否存在点F，使得平面若存在，求的值;若不存在，请
说明理由;
若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥的体积.
21. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦点到渐近线的距
离为，焦距为
求C的方程;
如图，点A为双曲线的下顶点，点P在y轴上位于原点与上顶点之间，过P作x轴的平行线l，过P的另一条直线交双线于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若，求点P的坐标.
22. 已知函数若函数恰有两个不同的极值点，
是否存在实数a，使得成立?请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查交集运算，属于基础题.
【解答】
解：，，
，故选
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查复数的运算，属基础题.
【解答】
解：，所以，故选
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的性质，属于基础题.
【解答】
解：因为为定值，所以，又因为，所以，因为为等差数列，所以，
故选
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查余弦定理解三角形，属于基础题目.
【解答】
解：如图，
设点P在地面上的正投影为点O，则
，，，
设山高，则，，，
在中，，
由余弦定理即有：，整理得，
所以，故选
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了排列、组合的综合应用，是基础题.
【解答】
解：将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为：种;若教师人数依次为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为：
种，故不同的安排方法共有种，故选
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正弦函数的单调性以及零点问题，属于中档题.
【解答】
解：在区间上单调，，，
的对称中心为，且，
，即，即，，
又的对称中心为，，
在区间上恰有5个零点，相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即2T，
六个零点之间即，只需即可，即，
又，
故选
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义，属于基础题.
【解答】
法一：依题意，设，由，得N为OM的中点且，
则，易得直线OM的垂线NP的方程为
令，得，故，由抛物线的定义易知，
故，故选
法二：特殊值法.不妨设，则，则，易得直线OM的垂线NP的方程为
令，得，故，又，故故选
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了切线方程，研究曲线切线的性质，本题属难题．设，
，可得
表示出两条切线，然后解方程可
得答案.【解答】
解：设，，则
，
，
则，即
，
，
，
则切线，切线
，
联立两切线方程得，即有
，则
，
代入
方程解得
，设，则
，
令，，则，在单调递减，
所以
，即
，且
时，
，故选
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查百分位数，正态分布的概率，残差，独立性检验等知识，属于综合性题目.【解答】解：由
可知
，故A 正确;
数据重排后如下：3，4，5，6，7，8，9，10共8个，第70百分位数为第6个数，即为8，故B 正确;
回归分析中残差平方和越小，拟合效果越好，故C 正确;
，犯错误的概率会超过
，故D 错误.
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查基本不等式求最值，属于基础题目.【解答】
解：，，
对于A，，当且仅当时取等号，故A正确;对于B，当时，，故B错误;
对于C，
，当且仅当时取等号，故C正确;
对于D，
，但是当时，不符合题意，故等号不成立，故D错误.
故选
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题.
利用直线与圆的位置关系逐一判定即可.
【解答】
解：显然当时直线也与圆C相切，故A错误;
直线过的定点为，当时C到的距离最大，最大值为，
此时M到距离的最大值为，故B正确;
由圆的标准方程可得圆心为，半径，直线过的定点为，
当时所得弦长最短，则，又，，
所以，得，则圆心到直线的距离为，
所以弦长为，故C正确;
由，当时，，，有，当时，
，，
则，所以，又点P是两直线的交点，所以，所以
，
法一：设，则，，
因为，，所以，
所以，故D错误.
法二：因为，
所以，当且仅当时等号成立，故D错误.故选
12.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了直线与平面所成角的向量求法、空间中直线与直线的位置关系、空间中平面与平面的位置关系和球的切、接问题，是中档题.
【解答】
解：连接EC，若点G为弧CD的中点，则，所以，即，
因为，所以，又，，所以平面BCG，
平面BFD，则平面平面BCG，故A正确;
假设存在点G，使得，则B，G，D，F四点共面，又该几何体上下两个底面平行，且BF，DG为平面
BGDF与这两个底面的交线，所以，则四边形BGDF为平行四边形，则有，这显然不成立，故B错误;
假设存在点G，使得直线CF与平面BCG所成的角为，以A为原点，
，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，
，，设，
则，
所以，，
，
设平面BCG的法向量为，则
令，则，即，
依题意，，
整理得，这与矛盾，所以假设不成立，故C错误;
当点G到平面BDF的距离最大时，点G位于点C，三棱锥，即三棱锥，即三棱锥，
可将其补型为一个以AF，AB，AD为同一个顶点出发的三条侧棱的正方体，棱长为4，其外接球半径，故D正确.
13.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基础题.
【解答】
解：函数是定义在R上的奇函数，则，
在中，令，有，
在中，用代替x，有，
所以2是的一个周期，所以
14.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积、夹角、投影向量，属于基础题.
【解答】
解：法一：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在
上的投
影向量为，则，所以，，又，所以，
的夹角为
法二：因为向量，所以，设与的夹角为，因为在上的投影向量为，
则，
即，，
所以，的夹角为
15.【答案】或说明：若只填写一个值或者仅写对一个值不给分
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的定义和椭圆中三角形四边形的面积，是中档题.
【解答】
解：设，，因为，所以，
在中，由勾股定理，得，①
又因为，所以由椭圆的定义得，②
联立①②并化简得：，显然点A不在坐标轴上，
若点A在第一或第四象限，
则，，因为是的平分线，所以
若点A在第二或第三象限，
则，，因为是的平分线，所以
16.【答案】22
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式，数列新定义问题，属于中档题.
【解答】
解：中有2个1，3个中有8个1，7个中有22个1，23个0，数列的所有项之和为
设数列中0的个数为，1的个数为，则，，
法一：，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，
所以，又因为，所以，
即，所以，即数列是以为首项，
为公比的等比数列，所以，即，
数列的所有项之和即为1的个数，即为
法二：两式相加有，且，所以是以5为首项，3为公比的等比数列，所
以①两式相减有，且，所以是以
1为首项，
为公比的等比数列，所以②，
①-②得，数列的所有项之和即为1的个数，即为
17.【答案】解：，，
，，
，，可得，
，又，
为锐角三角形，，
，，
的取值范围是
【解析】本题主要考查了正弦定理，正切函数的图象和性质，及三角函数恒等变换的应用，属于中档题．
18.【答案】解：依题意，①
当时，，②
①②两式相减得，即，
因为，所以，即，
所以是公差为1的等差数列，
又，故数列的通项公式为
依题意，即，因为，，，
所以满足不等式的正整数个数为，即，
，.
因为，所以单调递增，
当时，，
当时，，
所以k的最小值为
【解析】本题考查数列的性质以及数列的求和，属于中档题.
利用数列的递推关系运算即可；
由题意知，利用分组求和可求解.
19.【答案】解：由题可知10支代表队，参与“霹雳舞”的人数依次为26，15，44，42，32，28，56，36，48，20，参与“电子竞技”的人数依次为45，51，27，38，57，19，26，47，34，29，其中参与“电子竞技”的人数超过30人的代表队有6个，参与“霹雳舞”的人数超过30人，且“电子竞技”的人数超过30人的代表队有4个，记“这10支代表队中随机选取3支代表队参与“电子竞技”的人数均超过30人”为事件A，“这10支代表队中随机
选取3支代表队参与“霹雳舞”的人数均超过30人”为事件B，
则，，
所以，
参与“霹雳舞”人数在40人以上的代表队共4支，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
所以，
，，
，
所以X的分布列如下表：
X01234
P
所以或写成
记“甲队员在一轮测试中获得“优秀”为事件C，则，由题意，甲队员在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意，得，
因为，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试.
【解析】本题考查概率统计综合问题，考查了条件概率，超几何分布的分布列与期望，独立重复实验的概率计算及应用问题，属于较难题.
20.【答案】解：存在点F满足题意，且，理由如下：
在图①中，取的中点M，连接AM，则，
在图②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且
在线段BC上取点F使，
连接MF，FA，则，同理可得平面BDH，
又因为，所以平面平面BDH，
又因为平面AMF，所以平面
在图②中，，，，所以平面BHC，
法一：以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为，
则
令，则，，即，
易知平面BHC的一个法向量，
若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，则，化简整理得：，即，
所以，，
，所以，
则三棱锥的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为
法二：延长AD，CH相交于点N，事实上点N即为点，
则平面平面，
过H作，垂足为T，连接DT，
因为平面BHC，所以，
又，所以平面DTH，
即，所以即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，
即，所以，
即，即，
又，所以，
在中，由等面积法可得点B到NH的距离为，
即三棱锥的高，又的面积为，
所以三棱锥的体积为
【解析】本题考查线面位置关系、二面角、棱锥体积，属较难题.
取的中点M，连接AM，在线段BC上取点F使，证得平面BDH，
平面BDH，即可得平面平面BDH，根据面面平行的性质即可得平面BDH；
法一：以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
，用表示出平面BHC与平面BDA所成的二面角，由题意可得方程，求解，进而可得三棱锥的高，即可求解体积；
法二：延长AD，CH相交于点N，事实上点N即为点，过H作，垂足为T，连接DT，证得即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，在中解三角形即
可得B到NH的距离即为三棱锥的高，鸡儿可求体积.
21.【答案】解：因为焦距为，所以
又因为焦点到渐近线的距离为，所以，
所以，
故C的方程为
由，又，即，
故，即，所以，
设，，，，
由题意可知，则直线，直线，
因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可知，
故M的坐标为，所以，
又，由，则，
整理可得，
当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意;
故设直线，代入双曲线方程中，
可得，所以，，
又
，
所以，
故，即，所以点P坐标为
【解析】本题考查了双曲线方程的求解，以及直线与双曲线的位置关系的问题，属于较难题．22.【答案】解：的定义域为，
，
令，则的对称轴为，
①时，的定义域为，此时，且在递增，递减，
故在只有一个零点，
所以只有一个极值点，不符合题意;
②时，的定义域为，此时，要使得有两个零点，
则需，此时，，，
所以存在，使得，即，
，使得，即，
当时，递减，当时，递增，
当时，递减，所以有两个极值点，符合题意.
综上可得：
或，
由可知，，是方程的两根，
所以，，且
若，则，
而，，，
所以，
即，令，，
则，所以递减，且，故，
即方程无解，故舍去;
若，则
，矛盾，故舍去.
综上可得，不存在实数a满足
【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，函数的零点问题，属于综合性较强试题.。