山西省运城市中学2021年高三数学理月考试题含解析

山西省运城市中学2020-2021学年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对于函数，下列选项中正确的是( )
A.在上是递增的
B.的图像关于原点对称
C.的最小正周期为
D.的最大值为2
参考答案：
B
2. 已知为等差数列，若，则的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
3. 设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．
【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：
y′=a﹣，
在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，
解得a=4，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．4. 复数，则在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：
D
5. （5分）（2015?钦州模拟）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（）
A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=0
参考答案：
D
【考点】：双曲线的简单性质．
【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：先求出c，利用抛物线的定义求出m，再由双曲线的定义求出a，进而求得b，从而求得两条渐近线方程．
解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线为x=﹣2，
∴c=2．设P（m，n），
由抛物线的定义得|PF|=5=m+2，
∴m=3．由双曲线的定义得=，
∴=，
∴a=1，∴b=，
∴两条渐近线方程为x±y=0，
故选D．
【点评】：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质的应用，求出a值是解题的关键．
6.
为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学。

若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖种数是（）
A. B. C. D.
参考答案：
答案：C
7. 已知函数f（x）=，g（x）=-e x-1-ln x+a对任意的x1∈[1，3]，x2∈[1，3]恒有f（x1）≥g （x2）成立，则a的范围是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
先利用导数求出，再解不等式即得解.
【详解】由题得在[1，3]上单调递增，
所以
由题得，
所以函数g（x）在[1,3]上单调递减，所以，
由题得
所以.
故选：A
8. 过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（）
A．30°B．45°C．60°D．135°
参考答案：
B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．
【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．
9. 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则＝( )
A． B． C．45
D．55
参考答案：
C
10. 已知，则等于
A. B. C. D.
参考答案：
C
，选
C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的定义域为__________．
参考答案：
(0,1]
，解得定义域为.
12. 在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为
．
参考答案：
15
13. (不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_________.
参考答案：
由柯西不等式得：，所以
，所以的最大值为。

14. 由9个正数组成的数阵每行中的三个数成等差数列，且
，，成等比数列．给出下列结论：
①第二列中的必成等比数列；②第一列中的不一定成等比数列；
③；④若9个数之和大于81，则 >9．
其中正确的序号有．（填写所有正确结论的序号）．
参考答案：
①②③
15. 已知双曲线的离心率为2，且两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则抛物线的方程为．
参考答案：
y2=4x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，运用代入法，求得AB，再由三角形的面积公式，结合离心率公式和a，b，c的关系，化简整理，解方程可得p，进而得到双曲线方程．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
把x=﹣代入y=±x，
解得y=±．
∴|AB|=，
∵△AOB的面积为，
∴??=，
由e===2，
解得=．
∴=1，
解得p=2．
∴该抛物线的标准方程是y2=4x．
故答案为：y2=4x．
16. 若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为．
参考答案：
答案：
解析：根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得
R=，球体积为
17. 若直线是曲线的切线，则实数_________；
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，其中
（1）写出的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数的定义域为，求满足不等式的实数的取值
集合；
（3）当时，的值恒为负，求的取值范围.
参考答案：
（1）是在R上的奇函数，且在R上单调递增.（2）.（3）
试题分析：（1）先由解析式分析定义域为R，再根据奇偶函数的定义由可知是奇函
数；（2）函数的定义域为,结合（1）的奇偶性和单调性，可得关
19. （本小题满分10分）
直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
（为参数），为直线与曲线的公共点. 以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点的极坐标；
（Ⅱ）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变）后得到曲线，过点作直线
，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.
参考答案：
（Ⅰ）曲线的普通方程为，将代人上式整理得，解得.
故点的坐标为，其极坐标为.………5分
（Ⅱ）依题知，坐标变换式为，
故的方程为：，即.
当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
则由已知，圆心到直线的距离为，故，
解得.此时，直线的方程为.
故直线的极坐标方程为：
或.……………………10分
20. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了x?46%=230人，回答问题统计结果如图表所示．
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．参考答案：
（Ⅰ）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（1分）
第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18，…（2分）
第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9，…（3分）
第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9…（4分）
第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．…（5分）
（Ⅱ）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，
所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（8分）
（Ⅲ）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，
则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a 1，b3），（a 1，c），（a 2，b 1），
（a 2，b 2），（a 2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），
（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（10分）
其中第2组至少有1人的情况有9种，
它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），
（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．
故所求概率为．…（12分）
21. （本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，
，为的中点．
（1）求证：；
（2）求证：.
参考答案：
22. （本题满分12分）已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.参考答案：
解法二：依题意，得在上恒成立，
即不等式对于恒成立 .
令，则.
当时，因为，
故是上的增函数，所以的最小值是
所以的取值范围是.。