4_5 特殊三角形【2022通用版中考数学一轮复习精讲精练】(原卷版)

模块四 三角形 第五讲 特殊三角形
知识梳理 夯实基础
知识点1：等腰三角形的性质与判定 1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则
a b
<2
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =
2
180A
∠-︒ 2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。

这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点2：等边三角形的性质与判定 1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形. 2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60
°，面积2
4
S a =
（a 为等边三角形的边长）a h 2
3= 3.判定
B
B
三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 知识点3：线段垂直平分线 1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等 3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点4：直角三角形 1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 2.性质
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3.判定
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 知识点5：勾股定理及逆定理 1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2
+b 2
=c 2
; 2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2
+b 2
=c 2
，那么这个三角形是直角三角形.
直击中考 胜券在握
1．等腰三角形的一个角是40°，则它的顶角是（ ） A ．40°
B ．70°
C ．100°
D ．40°或100°
2
( ) A ．2
B ．1
C ．3
D ．4
3．（2021·新疆中考）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，CD AB ⊥于点D ，E 是AB 的中点，则DE 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．（2021·青海省中考）已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足
()2
23130a b +-=，则此等腰三角形的周长为（ ）．
A ．8
B ．6或8
C ．7
D ．7或8
5．（2020·宁波中考）如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CD 为中线，延长CB 至点E ，使BE ＝BC ，连结DE ，F 为DE 中点，连结BF ．若AC ＝8，BC ＝6，则BF 的长为（ ）
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
6．（2021·嘉兴中考）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（ ）
A B C D ．4
7．（2021·枣庄中考）如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，△BAC=90°，点E 为AB 中点，沿过
点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕现交于点F ，已知EF=3
2
，则BC 的长是（ ）
A B ． C ．3 D ．8．（2021·江苏无锡中考）在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ） A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点 B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点
D ．点P 是ABC 三条中线的交点
9．（2021·临沂中考）如图，点A ，B 都在格点上，若B ，则AC 的长为（ ）
A
B C ．D ．10．（2021·湖北二模）如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，
B ，
C 都在格点上，若B
D 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（ ）
A B C D 11．（2021·内蒙古模拟）如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）
A ．
B ．5
C ．
D ．10
12．（2020·泸州中考）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长
MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足
MG GN MN MG ==
这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，
4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ）
A ．10-
B ．5
C
D ．20-
13．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AD 平分△CAB ，DE △AB 于E ，若CD ＝3，BD ＝5，则BE 的长为 ___．
14．（2021·江苏盐城中考）如图，在Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线，若2CD =，则AB =
________．
15．（2021·苏州中考）如图．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AF EF =．若72CFE ∠=︒，则B ∠=
______．
16．（2021·湖南娄底中考）如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．
17．（2020·苏州中考）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，AD BC ⊥，垂足为D ，2BD CD =．若
E 是AD 的中点，则EC =_________．
18．如图在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，若AC DB ＝4，则AD 的长为_____．
19．（2021·青海西宁中考）如图，ABC 是等边三角形，6AB =，N 是AB 的中点，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的一个动点，连接,BM MN ，则BM MN +的最小值是________．
20．（2021·江西中考）如图，在边长为ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中
点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．
21．（2021·四川广安中考）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折
痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，DE =BC 的长为_______．
22．（2021·四川凉山中考）如图，等边三角形ABC 的边长为4，C P 为AB 边上一动点，过点P 作C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为________．
23．（2021·四川达州中考）如图，在边长为6的等边ABC ∆中，点E ，F 分别是边AC ，BC 上的动点，且AE CF =，连接BE ，AF 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为___________．
24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝36°，BD 是△ABC 的平分线．问在直线BC 上是否存在
点P ，使△CDP 是以CD 为一腰的等腰三角形． ___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，请直接写出相应的△CPD 的度数；如果不存在，请说明理由．___
25．（2021·江西中考）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，80ABC ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，ED AB ⊥于点D ，求证：AD BD =．
26．（2021·福建省中考）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．
（1）求证：ADE DFC ∠=∠； （2）求证：CD BF =．
27．（2021·四川模拟）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分△ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF △BC 交AB 于点F ． （1）若△C ＝36°，求△BAD 的度数．
（2）求证：FB ＝FE ．
28．（2021·湖南长沙中考）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至
E ，使得CE CA =，连接AE ．
（1）求证：B ACB ∠=∠；
（2）若5AB =，4=AD ，求ABE △的周长和面积．
29．（2020·凉山中考）如图，点P ，Q 分别是等边三角形ABC 的边AB ，BC 上的动点（端点除外），点P ，Q 以相同的速度，同时从点A ，B 出发．
（1）如图1，连接AQ ，CP ，PQ ．求证：ABQ △△CAP ；
（2）如图1，当点P ，Q 分别在AB ，BC 边上运动时，设AQ 与CP 相交于点M ，则QMC ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P ，Q 分别在AB ，BC 的延长线上运动时，直线AQ 与PC 的延长线相交于点M ，QMC ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
30．（2020·牡丹江中考）在等腰ABC 中，AB BC =，点D ，E 在射线BA 上，BD DE =，过点E 作//EF BC ，交射线CA 于点F ．请解答下列问题：
（1）当点E 在线段AB 上，CD 是ACB △的角平分线时，如图①，求证：AE BC CF +=；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）
（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是ACB △的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是ACB △的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若26DE AE ==，则CF =___________．。