二维电磁场公式库理论文本.

目 录
二维电磁场公式库理论文本 (1)
静态场问题 (1)
静电场 (1)
静磁场 (3)
稳恒电流场 (6)
时谐场问题 (9)
时谐磁场 (9)
时谐电场 (11)
准静态电场 (14)
瞬态场问题 (17)
瞬态磁场 (17)
瞬态电场 (19)
三维电磁场公式库理论文本 (22)
静态场问题 (22)
静电场 (22)
静磁场 (24)
稳恒电流场 (26)
时谐场问题 (29)
时谐电磁场 (29)
准静态电场 (32)
瞬态场问题 (36)
瞬态电磁场 (36)
二维电磁场公式库理论文本 静态场问题
二维电磁场公式库理论文本
静态场问题
静电场
二维静电场微分方程向量形式：
rho
E)*(epsilon 0E =⋅∇=×∇ 其中, E 为电场强度向量,epsilon 为介电常数, rho 为体电荷密度.
在实际计算中, 我们采用电势方法求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U E −∇=
其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
∫∫∫ΓΩΩ∂∂+⋅=∇⋅∇∗δU)d Γn
U (epsilon δU)d Ω(rho δU)d ΩU (epsilon 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下：
/........ 2 dimension static electric field...........
/........ computing electric potential U .....
/..... weak form formula is as follow: .........
/.....[epsilon*Grad(U);Grad(U)]=[rho;U]+|epsilon*U,n;U|...
disp U
coor x y
func gradUx gradUy
1
二维电磁场公式库理论文本静态场问题
vect gradU gradUx gradUy
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate epsilon rho
func
@l vol.xy n
@l grad.xy f fU
@w gradU fU
stif
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*epsilon
load=+[U]*vol*rho
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........2 dimensions static electric Field(x,y)...
\... the second boundary condition
\... epsilon*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp U
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
mate epsilon fx
stif
dist=[U;U]*0.0
load=+[U]*fx
2
二维电磁场公式库理论文本 静态场问题
end
计算电场强度的FDE 文件如下：
/........ computing electric field E .....
/...... E=-Grad(U) .........
disp Ex Ey
coef U
coor x y
vect E Ex Ey
vect gradU gradUx gradUy
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate epsilon
stif
@l vol.xy n
@l grad.xy v gradU
dist =+[Ex;Ex]*0.0d0
load=-[E_i]*vol*gradU_i
end
静磁场
二维静磁场微分方程向量形式：
0H)(fmu J H s
=∗⋅∇=×∇其中, H 为磁场强度向量,fmu 为磁导率, Js 为源电流密度.
3
二维电磁场公式库理论文本 静态场问题 在实际计算中, 我们采用矢量势方法来求解上面的微分方程,
即由第二个方程，可令
A fmu
1H ×∇= 其中A 为矢量势, 先求解A, 再求磁场强度H.
在二维问题中, A 只需求一个分量Az, 然后求Hx,Hy.
微分方程的弱形式为:
∫∫∫ΩΓ
ΩΓ⋅×−Ω⋅=Ω×∇⋅×∇d d d δA H n δA J δA)A (fmu 1s 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
计算磁矢量势的FDE 文件如下：
/........ 2 dimension magnetostatics field...........
/........ computing magnetic vector potential Az .....
/..... weak form formula is as follow: .........
/..... [1/fmu*Curl(A);Curl(A)]=[Js;A]-|n*H;A| ...
disp Az
coor x y
func curlAzx curlAzy
vect curlA curlAzx curlAzy
fvect fA 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate fmu fjz
func
@l vol.xy n
@l curl.xy f fA x y Az
@w curlA fA
stif
dist =+[CurlA_i;CurlA_i]*vol/fmu
load=+[Az]*vol*fjz
4
二维电磁场公式库理论文本静态场问题
空一行
end
计算矢量势的FBC文件如下：
\.........2 dimensions Magneticstatic. Field...
\... the second boundary condition
\... n*H=fx on boundary.
\... when 2dxy ,n*H=-Az,n/fmu.
\... n is the normal direction on boundary.
disp Az
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate fz
stif
dist=+[Az;Az]*0.0d0
load=-[Az]*fz
end
计算磁场强度的FDE文件如下：
\........ compute magneticstatic field .....
\........ H=1/fmu*Curl(A)........
disp Hx Hy
coef Az
coor x y
vect H Hx Hy
vect curlA curlAzx curlAzy
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate fmu
5
二维电磁场公式库理论文本 静态场问题
stif
@l vol.xy n
@l curl.xy v curlA x y Az
dist =+[Hx;Hx]*0.0d0
load=+[H_i]*vol*curlA_i/fmu
end
稳恒电流场
二维稳恒电流场微分方程向量形式：
0E =×∇
0J =⋅∇ J=sigma*E
其中, E 为电场强度向量,J 为电流密度, sigma 为电导率.
在实际计算中, 我们采用电势方法来求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U E −∇=其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
∫∫∫ΓΩΩ∂∂+⋅=∇⋅∇∗δU)d Γn
U (sigma δU)d Ω(0.0δU)d ΩU (sigma 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下：
/........ 2 dimension Invariable electric current field ...........
/........ computing electric potential U .....
/..... weak form formula is as follow: .........
/..... [sigma*Grad(U);Grad(U)]=[0.0d0;U]+|sigma*U,n;U|...
6
二维电磁场公式库理论文本静态场问题
disp U
coor x y
func gradUx gradUy
vect gradU gradUx gradUy
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate sigma
func
@l vol.xy n
@l grad.xy f fU
@w gradU fU
stif
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*sigma
load=+[U]*vol*0.0d0
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........2 dimensions static electric Field...
\... the second boundary condition
\... sigma*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp U
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
mate sigma fx
stif
7
二维电磁场公式库理论文本静态场问题
8 dist=[U;U]*0.0 load=+[U]*fx end
计算电场强度的FDE文件如下：
/........ computing electric field E .....
/...... E=-Grad(U) .........
disp Ex Ey
coef U
coor x y
vect E Ex Ey
vect gradU gradUx gradUy
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma
stif
@l vol.xy n
@l grad.xy v gradU
dist =+[Ex;Ex]*0.0d0
load=-[E_i]*vol*gradU_i
end
二维电磁场公式库理论文本 时谐场问题
时谐场问题
时谐磁场
二维时谐磁场微分方程向量形式：
s
J H E epsilon)omega i (sigma E
H fmu omega i −×∇=∗∗∗+×−∇=∗∗∗其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
omega 为角频率常数, fmu 为磁导率, sigma 为电导率,
epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
由上面的第一个方程有: E fmu)omega (i 1
H ×∇∗∗−=
代入第二个方程可得微分方程的弱形式为: ∫∫∫∫⋅∗−⋅×∗=×∇⋅×∇∗+⋅∗∗−∗ΩΩs ΓΩδEd Ω
J i δEd ΓH n i δEd ΩE omega fmu 1
δEd ΩE epsilon)omega sigma (i 其中, n 表示区域边界上外法向单位向量, ΓΩ是求解区域.
注意，二维问题中, 只需求解Ez(即E 的z 向分量), 即可求电场强度Hx,Hy.
计算电场强度Ez 如下：
/....... time harmonic Electromagnetic Fields ......
/....... computing electric fields density Ez ....
/....... [(i*sigma-omega*epsilon)*E;E] ..
/....... +[1/(fmu*omega)*Curl(E);Curl(E)] .....
/....... =i*{n*H;E}-[i*Js;E].....
disp Ez
coor x y
func curlEzx curlEzy
vect curlE curlEzx curlEzy
fvect fE 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega fmu fjzr fjzi
func
@l vol.xy n
9
@l curl.xy f fE x y Ez
@w curlE fE
stif
$c6 eo1=-epsilon*omega
$c6 of1=1.0d0/(fmu*omega)
$c6 fjt1=-fjzr
dist =+[Ez;Ez]*vol*|eo1;sigma|
+[CurlE_i;CurlE_i]*vol*|of1;0.0d0|
load=+[Ez]*vol*|fjzi;fjt1|
end
计算电场强度Ez的FBC文件如下：
\... 2 dimensions..
\... n*H=f on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp ezr ezi
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate fr fi
stif
dist=+[ezr;ezr]*(0.0d0)
load =-[ezr]*(fi)+[ezi]*(fr)
end
计算磁场强度的FDE文件如下：
\........ compute magnetic field .....
\........ H=-Curl(E)/(i*omega*fmu)........
disp Hx Hy
coef ezr ezi
coor x y
vect H Hx Hy
vect curler curlexr curleyr
vect curlei curlexi curleyi
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega fmu
stif
@l vol.xy n
@l curl.xy v curler x y ezr
@l curl.xy v curlei x y ezi
$cv curlei_i=-curlei_i
dist =+[Hx;Hx]*|0.0d0;0.0d0|
load=+[H_i]*vol/fmu*|curlei_i;curler_i|
end
时谐电场
二维时谐电场微分方程向量形式：
s
J -H E epsilon)omega i (sigma E
- H fmu omega i ×∇=∗∗∗+×∇=∗∗∗其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
omega 为角频率常数, fmu 为磁导率, sigma 为电导率,
epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
由上面的第二个方程有: )J H (epsilon *omega *i sigma 1
E S −×∇+=
代入第一个方程可得微分方程的弱形式为:
∫∫∫∫ΩΓΩΩΩ
×∇⋅++Γ⋅×−=Ω
×∇⋅×∇++⋅−Hd J epsilon *omega *i sigma i Hd E n *i Hd H epsilon *iomega sigma i
Hd ΩH *fmu *omega S
其中, 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
注意，二维问题中, 只需求解Hz(即H 的z 向分量), 即可求电场强度Ex,Ey.
计算磁场强度Hz 如下：
/....... time harmonic Electromagnetic Fields ......
/....... computing magnetic field density Hz ....
/....... -[omega*fmu*H;H]+[i/(sigma+i*omega*epsilon)*Curl(H);Curl(H)] /....... =-i*{n*E;H}+[i/(sigma+i*omega*epsilon)*Js;E] ..
disp Hz
coor x y
func curlHzx curlHzy
vect curlH curlHzx curlHzy
fvect fA 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega fmu fjxr fjxi fjyr fjyi
vect fjr fjxr2 fjyr2
vect fji fjxi2 fjyi2
func
@l vol.xy n
@l curl.xy f fA x y Hz
@w curlH fA
stif
$c6 eu1=sigma/(sigma**2+(epsilon*omega)**2)
$c6 eu2=epsilon*omega/(sigma**2+(epsilon*omega)**2) $c6 eu3=-omega*fmu
$c6 fjxr2=fjxr*eu2-fjxi*eu1
$c6 fjyr2=fjyr*eu2-fjyi*eu1
$c6 fjxi2=fjxi*eu2+fjxr*eu1
$c6 fjyi2=fjyi*eu2+fjxr*eu1
dist =+[Hz;Hz]*vol*|eu3;0.0d0|
+[CurlH_i;CurlH_i]*vol*|eu2;eu1|
load=+[CurlH_i]*vol*|fjr_i;fji_i|
end
计算磁场强度Hz的FBC如下：
\... 2 dimensions..
\... n*E=f on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp hzr hzi
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate fr fi
stif
dist=+[hzr;hzr]*(0.0d0)
load =+[hzr]*(fi)-[hzi]*(fr)
end
计算电场强度的FDE文件如下：
\........ compute magnetic field .....
\........ E=1/(sigma+i*omega*epsilon)*(Curl(H)-Js)........
disp Ex Ey
coef hzr hzi
coor x y
vect E Ex Ey
vect curlHr curlHxr curlHyr
vect curlHi curlHxi curlHyi
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega fmu fjxr fjxi fjyr fjyi
vect fjr fjxr fjyr
vect fji fjxi fjyi
vect fjr2 fjxr2 fjyr2
vect fji2 fjxi2 fjyi2
stif
@l vol.xy n
@l curl.xy v curlHr x y Hzr
@l curl.xy v curlHi x y Hzi
$cv curlHr_i=curlHr_i-fjr_i
$cv curlHi_i=curlHi_i-fji_i
$c6 eu1=sigma/(sigma**2+(epsilon*omega)**2)
$c6 eu2=epsilon*omega/(sigma**2+(epsilon*omega)**2)
$c6 fjxr2=curlHxr*eu1+curlHxi*eu2
$c6 fjyr2=curlHyr*eu1+curlHyi*eu2
$c6 fjxi2=curlHxi*eu1-curlHxr*eu2
$c6 fjyi2=curlHyi*eu1-curlHxr*eu2
dist =+[Ex;Ex]*|0.0d0;0.0d0|
load=+[E_i]*vol*|fjr2_i;fji2_i|
end
准静态电场
二维准静态电场微分方程向量形式：
E sigma Jc 0 E)epsilon omega i (Jc 0
E ∗==∗∗∗+⋅∇=×∇其中, E 为电场强度向量,epsilon 为介电常数, i 为复数单位,
omega 为角频率常数, sigma 为电导率, Jc 为传导电流密度.
在实际计算中, 我们采用电势方法来求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U -E ∇=其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
()∫∫∫∂∂∗∗∗++⋅=∇⋅∇∗∗+ΓΩΩ
δUd Ωn
U epsilon)omega i (sigma δUd Ω0δUd ΩU epsilon omega i sigma 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下：
/........ 2 dimension quasistatic electric field...........
/........ computing electric potential U .....
/........ weak form formula is as follow: .........
/........ [(sigma+i*omega*epsilon)*Grad(U);Grad(U)] ...
/........ =[0;U]+{(sigma+i*omega*epsilon)*U,n;U} ...
disp U
coor x y
func gradUx gradUy
vect gradU gradUx gradUy
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega
func
@l vol.xy n
@l grad.xy f fU
@w gradU fU
stif
$c6 eo1=epsilon*omega
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*|sigma;eo1|
load=+[U]*vol*|0.0d0;0.0d0|
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........2 dimensions quasistatic electric Field...
\... the second boundary condition
\... (sigma+i*omega*epsilon)*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp ur ui
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate sigma epsilon omega fr fi
stif
dist=+[ur;ur]*(0.0d0)
load =+[ur]*(fr)
+[ui]*(fi)
end
计算电场强度的FDE文件如下：
/........ computing electric field E .....
/........ E=-Grad(U) ....................
disp Ex Ey
coef ur ui
coor x y
vect E Ex Ey
vect gradUr gradUxr gradUyr
vect gradUi gradUxi gradUyi
fvect fU 2
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon omega
stif
@l vol.xy n
@l grad.xy v gradUr x y ur
@l grad.xy v gradUi x y ui
$c6 vol1=-vol
dist =+[Ex;Ex]*|0.0d0;0.0d0|
load=+[E_i]*vol1*|gradUr_i;gradUi_i| end
瞬态场问题
瞬态磁场
二维瞬态磁场微分方程向量形式： S
J E sigma H t E epsilon E
- t H
fmu −∗−×∇=∂∂∗×∇=∂∂∗
其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
fmu 为磁导率, sigma 为电导率, epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
在实际计算中, 我们采用磁矢势方法来求解上面的方程,
即令 t A
-E ∂∂=
其中A 为磁矢势, 且有 A fmu 1
H ×∇=
注意，二维问题中, 只需求解Az(即A 的z 向分量), 即可求磁场强度Hx,Hy. 代入微分方程，可得如下弱形式:
∫∫∫∫+⋅×=×∇⋅×∇+Ω∂∂∗+∂∂∗ΓΩS ΩΩ22δAd Ω
J δAd ΩH n δAd ΩA fmu 1
δAd )t A
sigma t A (epsilon
其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
计算磁矢势Az 如下：
/....... dynamic Electromagnetic Fields ......
/....... computing magnetic vector potential Az ....
/....... [(epsilon*A,tt+sigma*A,t);A] ..........
/....... +[1/fmu*Curl(A);Curl(A)]=-{n*H;A}+[Js;A] ..
disp Az
coor x y
func curlAzx curlAzy
vect curlA curlAzx curlAzy
fvect fA 2
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 sigma*vol
damp %1 epsilon*vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon fmu fjz
func
@l vol.xy n
@l curl.xy f fA x y Az
@w curlA fA
stif
dist =+[CurlA_i;CurlA_i]*vol/fmu
load=+[Az]*vol*fjz
end
计算磁矢势Az的FBC文件如下：
\.........2 dimensions transient magnetic Field...
\... the second boundary condition
\... n*H=fx on boundary.
\... when 2dxy ,n*H=-Az,n/fmu.
\... n is the normal direction on boundary.
disp Az
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate fz
stif
dist=+[Az;Az]*0.0d0
load=-[Az]*fz
end
计算磁场强度的FDE文件如下：
\........ compute magnetic field .....
\........ H=1/fmu*Curl(A)........
disp Hx Hy
coef Az
coor x y
vect H Hx Hy
vect curlA curlAx curlAy
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon fmu
stif
@l vol.xy n
@l curl.xy v curlA x y Az
dist =+[Hx;Hx]*0.0d0
load=+[H_i]*vol/fmu*curlA_i
end
瞬态电场
二维瞬态电场微分方程向量形式： Js
-E *sigma - H t E *epsilon E
- t H *fmu ×∇=∂∂×∇
=∂∂
其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
fmu 为磁导率, sigma 为电导率, epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
在实际计算中, 我们采用全离散格式来求解上面的方程,
即由第二个方程有: )J H (dt sigma epsilon dt
E dt sigma epsilon epsilon
E S n 1n −×∇∗∗++∗∗+=+
代入第一个微分方程，可得如下弱形式:
Ω
×∇⋅++Γ⋅×−=Ω
×∇⋅×∇∗∗++∂∂∗∫∫∫∫ΩΓΩΩd H dt *sigma epsilon E *epsilon -Js *dt Hd E n Hd H dt sigma epsilon dt
δHd Ωt H
fmu n
其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
注意，二维问题中, 只需求解Hz(即H 的z 向分量), 即可求电场强度Ex,Ey.
计算磁场强度Hz 如下：
/....... dynamic Electromagnetic Fields ......
/....... computing magnetic field Hz ....
/....... [fmu*H,t;H]+[dt/(epsilon+sigma*dt)*Curl(H);Curl(H)] .......... /....... =-{n*E;H}+[(dt*Js-epsilon*E)/(epsilon+sigma*dt);Curl(H)] ..
disp Hz
coor x y
coef Ex Ey
func curlHzx curlHzy
vect curlH curlHzx curlHzy
fvect fA 2
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 fmu*vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon fmu fjx fjy
vect fj fjx fjy
vect E Ex Ey
vect fj2 fjx2 fjy2
func
@l vol.xy n
@l curl.xy f fA x y Hz
@w curlH fA
stif
$c6 edts1=epsilon+dt*sigma
$cv fj2_i=dt*fj_i-epsilon*E_i
dist =+[CurlH_i;CurlH_i]*vol*dt/edts1
load=+[CurlH_i]*vol*fj2_i/edts1
end
计算磁场强度Hz的FBC如下：
\.........2 dimensions transien electric Field...
\... the second boundary condition
\... n*E=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp Hz
coor x
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.0d0
damp %1 0.0d0
mate fz
stif
dist=+[Hz;Hz]*0.0d0
load=-[Hz]*fz
end
计算电场强度的FDE文件如下：
\........ compute electric field density.....
\........ E(n+1)=epsilon/(epsilon+sigma*dt)*E(n) ........
\........+dt/(epsilon+sigma*dt)*(Curl(H)-Js) ........
disp Ex Ey
coef Hz,Exn,Eyn
coor x y
vect E Ex Ey
vect En Exn Eyn
vect curlH curlHzx curlHzy
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xy n
mate sigma epsilon fmu fjx fjy
vect fj fjx fjy
stif
@l vol.xy n
@l curl.xy v curlH x y Hz
$c6 edts1=epsilon+dt*sigma
dist =+[Ex;Ex]*0.0d0
load=+[E_i]*vol*(epsilon*En_i+dt*(curlH_i-fj_i))/edts1
end
三维电磁场公式库理论文本
静态场问题
静电场
说明文档：
三维静电场微分方程向量形式：
rho E)*(epsilon 0E =⋅∇=×∇其中, E 为电场强度向量,epsilon 为介电常数, rho 为体电荷密度.
在实际计算中, 我们采用电势方法求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U E −∇=其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
∫∫∫ΓΩΩ∂∂+⋅=∇⋅∇∗δU)d Γn
U (epsilon δU)d Ω(rho δU)d ΩU (epsilon 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下：
/........ 3 dimension static electric field...........
/........ computing electric potential U .....
disp U
coor x y z
func gradUx gradUy gradUz
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate epsilon rho
func
@l vol.xyz n
@l grad.xyz f fU
@w gradU fU
stif
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*epsilon
load=+[U]*vol*rho
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........3 dimensions static electric Field(x,y,z)...
\... the second boundary condition
\... epsilon*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp U
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
$t n
mate epsilon fx 1.0d0 0.0d0
stif
dist=[U;U]*0.0
load=+[U]*fx
end
计算电场强度的FDE文件如下：
/........ computing electric field E .....
disp Ex Ey Ez
coef U
coor x y z
vect E Ex Ey Ez
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate epsilon
stif
@l grad.xyz v gradU
dist =+[Ex;Ex]*0.0d0
load=-[E_i]*vol*gradU_i
end
静磁场
说明文档：
三维静磁场微分方程向量形式：
0H)(fmu J H s
=∗⋅∇=×∇其中, H 为磁场强度向量,fmu 为磁导率, Js 为源电流密度.
在实际计算中, 我们采用矢量势方法求解上面的微分方程,
即由第二个方程，可令 A fmu
1H ×∇= 其中A 为矢量势, 先求解A, 再求磁场强度H.
微分方程的弱形式为: ∫∫∫ΩΓΩΓ⋅×−Ω⋅=Ω×∇⋅×∇d d d δA H n δA J δA)A (fmu 1s
其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
计算磁矢量势的FDE 文件如下：
/........ 3 dimension magnetostatics field...........
/........ computing magnetic vector potential A .....
disp Ax Ay Az
coor x y z
func curlAx curlAy curlAz
vect A Ax Ay Az
vect curlA curlAx curlAy curlAz
fvect fA 3
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate fmu fjx fjy fjz
vect fj fjx fjy fjz
func
@l curl.xyz f fA x y z Ax Ay Az
@w curlA fA
stif
dist =+[CurlA_i;CurlA_i]*vol/fmu
load=+[A_i]*vol*fj_i
end
计算矢量势的FBC文件如下：
\.........3 dimensions Magneticstatic. Field(x,y,z)...
\... the second boundary condition
\... n*H=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp Ax Ay Az
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
$t t
mate fx fy fz 0.0d0 0.0d0 0.0d0
stif
dist=[Ax;Ax]*0.0
load=-[Ax]*fx-[Ay]*fy-[Az]*fz
end
计算磁场强度的FDE文件如下：
\........ compute magneticstatic field .....
\........ H=1/fmu*Curl(A)........
disp Hx Hy Hz
coef Ax Ay Az
coor x y z
vect H Hx Hy Hz
vect curlA curlAx curlAy curlAz
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate fmu
空一行
stif
@l vol.xyz n
@l curl.xyz v curlA x y z Ax Ay Az
$c6 fmu1=1
dist =+[Hx;Hx]*0.0d0
load=+[H_i]*vol* curlA_i/fmu
end
稳恒电流场
说明文档：
三维稳恒电流场微分方程向量形式：
0E =×∇
0J =⋅∇ J=sigma*E
其中, E 为电场强度向量,J 为电流密度, sigma 为电导率.
在实际计算中, 我们采用电势方法求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U E −∇=其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
∫∫∫ΓΩΩ∂∂+⋅=∇⋅∇∗δU)d Γn
U (sigma δU)d Ω(0.0δU)d ΩU (sigma 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下：
/........ 3 dimension Invariable electric current field ...........
/........ computing electric potential U .....
disp U
coor x y z
func gradUx gradUy gradUz
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate sigma
func
@l vol.xyz n
@l grad.xyz f fU
@w gradU fU
stif
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*sigma
load=+[U]*vol*0.0d0
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........3 dimensions static electric Field(x,y,z)...
\... the second boundary condition
\... sigma*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp U
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
$t n
mate sigma fx 1.0d0 0.0d0
stif
dist=[U;U]*0.0
load=+[U]*fx
end
计算电场强度的FDE文件如下：
/........ computing electric field E .....
disp Ex Ey Ez
coef U
coor x y z
vect E Ex Ey Ez
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate sigma
空一行
stif
@l vol.xyz n
@l grad.xyz v gradU
dist =+[Ex;Ex]*0.0d0 load=-[E_i]*vol*gradU_i end
时谐场问题
时谐电磁场
说明文档：
三维时谐电磁场微分方程向量形式：
s
J H E epsilon)omega i (sigma E
H fmu omega i −×∇=∗∗∗+×−∇=∗∗∗
其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
omega 为角频率常数, fmu 为磁导率, sigma 为电导率,
epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
由上面的第一个方程有: E fmu)omega (i 1
H ×∇∗∗−=
代入第二个方程可得微分方程的弱形式为: ∫∫∫∫⋅∗−⋅×∗=×∇⋅×∇∗+⋅∗∗−∗ΩΩs ΓΩδEd Ω
J i δEd ΓH n i δEd ΩE omega fmu 1
δEd ΩE epsilon)omega sigma (i 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
在实际计算中, 我们采用A-Phi 方法来求解上面的弱形式,
即令
U -A *omega *-i E ∇=带入上面的弱形式, 先求解A 和U, 再求电场强度E 和磁场强度H.
其中A 为向量势, U 为标量势, 且有 A fmu 1
H ×∇=
A 和U 满足的弱形式如下:
∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΓΩΩΩΩΩΩ
∇⋅∗−Ω⋅∗+Γ⋅×∗−=Ω
×∇⋅×∇+Ω∇⋅∇−+Ω
∇⋅++Ω
⋅∇++Ω
⋅−δUd J i δAd J omega δAd H n omega δAd A fmu omega
δUd U *sigma)*i epsilon *(omega δUd A *)omega *epsilon *i
sigma *(omega δAd U *)omega *epsilon *i sigma *(omega δAd A *)omega *epsilon omega *sigma *i (S S 2232
计算磁矢势和电势文件如下：
/....... time harmonic Electromagnetic Fields ......
/....... computing magnetic vector potential A ....
/....... and electric scalar potential U ..........
disp Ax Ay Az U
coor x y z
func curlAx curlAy curlAz gradUx gradUy gradUz
vect A Ax Ay Az
vect curlA curlAx curlAy curlAz
fvect fA 3
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate sigma epsilon omega fmu fjxr fjxi fjyr fjyi fjzr fjzi 1.0d0 1.0d0 5.0d1
1.0d0 0.0d0 0.0d0 0.0d0 0.0d0 0.0d0 0.0d0
vect fjr fjxr fjyr fjzr
vect fji fjxi fjyi fjzi
vect fjrn fjxrn fjyrn fjzrn
func
@l vol.xyz n
@l curl.xyz f fA x y z Ax Ay Az
@w curlA fA
@l grad.xyz f fU
@w gradU fU
stif
$cv fjrn_i=-fjr_i
$c6 omega2=omega**2
$c6 eo1=epsilon*omega
$c6 eo11=-eo1
$c6 sigman=-sigma
$c6 of1=omega/fmu
dist =+[A_i;A_i]*omega2*vol*|eo11;sigma|
+[gradU_i;A_i]*omega*vol*|sigma;eo1|
+[A_i;gradU_i]*omega*vol*|sigma;eo1|
+[gradU_i;gradU_i]*vol*|eo1;sigman|
+[CurlA_i;CurlA_i]*vol*|of1;0.0d0|
load=+[A_i]*omega*vol*|fjr_i;fji_i|
+[GradU_i]*vol*|fji_i;fjrn_i|
空一行
End
计算磁矢势和电势的FBC文件如下：disp axr axi ayr ayi azr azi ur ui
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
mate omega fxr fxi fyr fyi fzr fzi
stif
$c6 om=-omega
dist=+[axr;axr]*(0.0d0)
+[axi;axi]*(-0.0d0)
+[axr;axi]*(0.0)
+[axi;axr]*(0.0)
load =+[axr]*om*(fxr)+[ayr]*om*(fyr)
+[azr]*om*(fzr)
+[axi]*om*(fxi)+[ayi]*om*(fyi)
+[azi]*om*(fzi)
end
计算磁场强度的FDE文件如下：
\........ compute magnetic field .....
\........ H=1/fmu*Curl(A)........
disp Hx Hy Hz
coef axr axi ayr ayi azr azi ur ui
coor x y z
vect H Hx Hy Hz
vect curlAr curlAxr curlAyr curlAzr
vect curlAi curlAxi curlAyi curlAzi
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate sigma epsilon omega fmu
stif
@l vol.xyz n
@l curl.xyz v curlAr x y z Axr Ayr Azr @l curl.xyz v curlAi x y z Axi Ayi Azi
dist =+[Hx;Hx]*|0.0d0;0.0d0|
load=+[H_i]*vol/fmu*|curlAr_i;curlAi_i|
end
计算电场强度的FDE文件如下：
\ compute electric field
\ E=-i*omega*A-Grad(U)
disp Ex Ey Ez
coef axr axi ayr ayi azr azi ur ui
coor x y z
vect E Ex Ey Ez
vect gradUr gradUxr gradUyr gradUzr
vect gradUi gradUxi gradUyi gradUzi
vect Ar Axr Ayr Azr
vect Ai Axi Ayi Azi
vect fAr fAxr fAyr fAzr
vect fAi fAxi fAyi fAzi
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate sigma epsilon omega fmu 1.0d0 1.0d0 5.0d1 1.0d0
stif
@l vol.xyz n
@l grad.xyz v gradUr x y z ur
@l grad.xyz v gradUi x y z ui
$cv fAr_i=omega*Ai_i-gradUr_i
$cv fAi_i=-omega*Ar_i-gradUi_i
dist =+[Ex;Ex]*|0.0d0;0.0d0|
load=+[E_i]*vol*fmu1*|fAr_i;fAi_i|
end
准静态电场
三维准静态电场微分方程向量形式：
E
sigma Jc 0 E)epsilon omega i (Jc 0
E ∗==∗∗∗+⋅∇=×∇
其中, E 为电场强度向量,epsilon 为介电常数, i 为复数单位,
omega 为频率常数, sigma 为电导率, Jc 为传导电流密度.
在实际计算中, 我们采用电势方法来求解上面的微分方程,
即由第一个方程，可令
U -E ∇=其中U 为电势, 先求解U, 再求电场强度E.
微分方程的弱形式为:
()∫∫∫∂∂∗∗∗++⋅=∇⋅∇∗∗+ΓΩΩ
δUd Ωn
U epsilon)omega i (sigma δUd Ω0δUd ΩU epsilon omega i sigma 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, n
U ∂∂是U 在区域边界Γ上的外法向微分, 是求解区域.
Ω
计算电势的FDE 文件如下： /........ 3 dimension quasistatic electric field...........
/........ computing electric potential U .....
disp U
coor x y z
func gradUx gradUy gradUz
vect gradU gradUx gradUy gradUz
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate sigma epsilon omega
func
@l vol.xyz n
@l grad.xyz f fU
@w gradU fU
stif
$c6 eo1=epsilon*omega
dist =+[gradU_i;gradU_i]*vol*|sigma;eo1|
load=+[U]*vol*|0.0d0;0.0d0|
空一行
end
计算电势的FBC文件如下：
\.........3 dimensions quasistatic electric Field(x,y,z)...
\... the second boundary condition
\... (sigma+i*omega*epsilon)*u,n=fx on boundary.
\... n is the normal direction on boundary.
disp ur ui
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
mate sigma epsilon omega fr fi
stif
dist=+[ur;ur]*(0.0d0)
load =+[ur]*(fr)
+[ui]*(fi)
end
计算电场强度的FDE文件如下：
/........ computing electric field E .....
disp Ex Ey Ez
coef ur ui
coor x y z
vect E Ex Ey Ez
vect gradUr gradUxr gradUyr gradUzr
vect gradUi gradUxi gradUyi gradUzi
fvect fU 3
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 vol
@l singular.xyz n
mate sigma epsilon omega
stif
@l vol.xyz n
@l grad.xyz v gradUr x y z ur
@l grad.xyz v gradUi x y z ui
$c6 vol1=-vol
dist =+[Ex;Ex]*|0.0d0;0.0d0|
空一行
load=+[E_i]*vol1*|gradUr_i;gradUi_i| end
瞬态场问题
瞬态电磁场
说明文档： 三维瞬态电磁场微分方程向量形式：
S J E sigma H t
E epsilon E - t H fmu −∗−×∇=∂∂∗×∇=∂∂∗ 其中, H 为磁场强度向量, E 为电场强度向量, i 为复数单位,
fmu 为磁导率, sigma 为电导率, epsilon 为介电常数, Js 为源电流密度.
对第一个方程做时间离散可得：
dt E -)H -(H *fmu n 1n ∗×∇=+即 n+1n dt H =-
E+H fmu
∇× 其中，dt 为时间步长。

对第二个方程做积分，并将上式带入可得如下关于E 的虚功方程： n S E dt epsilon*
δEd E δEd sigma*E δEd t fmu H δEd J δEd n H δEd ΩΩΩΩΩΓ∂⋅Ω+∇×⋅∇×Ω+⋅Ω∂=⋅∇×Ω−⋅Ω+×⋅Γ
∫∫∫∫∫∫ 其中, n 表示区域边界Γ上外法向单位向量, Ω是求解区域.
在实际计算中, 我们采用解耦格式的A-Φ方法来求解上面的弱形式,
即令
E=A +∇Φ带入上面的弱形式, 有
n S (A )dt epsilon*
(δA δ)d A δAd t fmu sigma*(A )(δA δ)d H δAd J (δA δ)d n H δAd ΩΩΩΩΩ
Γ∂+∇Φ⋅+∇ΦΩ+∇×⋅∇×∂++∇Φ⋅+∇ΦΩ=⋅∇×Ω−⋅+∇ΦΩ+×⋅Γ∫∫∫∫∫∫Ω
其中A 为向量势, 为标量势.
Φ解耦格式的A-方法, 先求解A 后，再解ΦΦ, 再求电场强度E 和磁场强度H. 具体格式如下：
已知初值A(0), (0)
Φ 对于每一时间步n=0,...N,
先求A,
关于A 的虚功方程为:
n+1n+1n+1n S n n A dt
epsilon*δAd A δAd t fmu sigma*A δAd H δAd J δAd n H δAd epsilon*δAd sigma*δAd t ΩΩΩΩΩΓΩΩ∂⋅Ω+∇×⋅∇×∂+⋅Ω
=⋅∇×Ω−⋅Ω+×⋅Γ
∂∇Φ−⋅Ω−∇Φ⋅∂∫∫∫∫∫∫∫∫Ω
Ω
再求Φ,
关于Φ的虚功方程为:
n+1
n+1n+1S n+1epsilon*δd sigma*δd t A J δd epsilon*δd t sigma*A δd ΩΩΩΩΩ∂∇Φ⋅∇ΦΩ+∇Φ⋅∇ΦΩ
∂∂=−⋅∇ΦΩ−⋅∇ΦΩ∂−⋅∇ΦΩ
∫∫∫∫∫
计算如下:
n+1H n+1n dt
H =-E+H fmu ∇×
及如下:
n+1E E=A +∇Φ
计算磁矢势A 的FDE 文件如下：
/....... transient Electromagnetic Fields ......
/....... computing magnetic vector potential A ....
disp u v w
coor x,y,z
coef h1 h2 h3 fi fip
func curlx curly curlz
fvect fA 3
vect A u v w
vect curlA curlx curly curlz
vect H h1 h2 h3
vect gradFi gradFix gradFiy gradFiz
vect gradFip gradFipx gradFipy gradFipz
shap %1 %2
gaus %3
@l singular.xyz n
mate ep sigma fmu fx fy fz 0.1d0 0.0d0 3.75d0 0.0d0 0.0d0 0.0d0
vect fs fx fy fz
func
@l vol.xyz n
@l curl.xyz f fA x y z u v w
@w curlA fA
stif
@l grad.xyz v gradFi x y z fi
@l grad.xyz v gradFip x y z fip
dist=+[curlA_i;curlA_i]*vol*dt/fmu+[A_i;A_i]*vol*sigma
mass
dist=+[A_i;A_i]*ep*vol
load = +[curlA_i]*vol*H_i-[A_i]*vol*fs_i
-[A_i]*vol*ep*(gradFi_i-gradFip_i)/dt
-[A_i]*vol*sigma*gradFi_i
end
计算磁矢势A的FBC文件如下：
disp Ax Ay Az
coor x y
shap %1 %2
gaus %3
mass %1 0.
damp %1 0.
$t t
mate fx fy fz 0.0d0 0.0d0 0.0d0
stif
dist=[Ax;Ax]*0.0
load=+[Ax]*fx+[Ay]*fy+[Az]*fz
end
计算标量势Fi的FDE文件如下：
/....... transient Electromagnetic Fields ......
/....... computing scalar potential U ....
disp fi
coor x,y,z
func gradFix gradFiy gradFiz
coef B1 B2 B3 A1 A2 A3
vect A A1 A2 A3。