江苏省苏州市张家港市高级中学高一数学上学期期中试卷(含解析)

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中数学
试卷
一、填空题（每小题5分，14题，共70分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．
2．已知f（2x）=6x﹣1，则f（x）= ．
3．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是．
4．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．
5．函数y=的定义域是．
6．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是．
7．函数f（x）=的递减区间是．
8．已知lg2=a，lg3=b，用a，b表示log65= ．
9．函数的值域为．
10．已知f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，x＞0时f（x）=x+，则x＜0时f（x）
= ．
11．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于．
12．若函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0．则x•f（x）＜0的解集是．
13．函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是．
14．已知函数f（x）=，若当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：
（1）
（2）（lg5）2+lg2•lg50．
16．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}
（1）求集合A，B；
（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数
为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．
19．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，14题，共70分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．
【考点】并集及其运算．
【分析】直接利用并集运算得答案．
【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，
则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．
故答案为：{﹣1，0，1，2}．
2．已知f（2x）=6x﹣1，则f（x）= 3x﹣1 ．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．
【解答】解：由f（2x）=6x﹣1，
得到f（2x）=3（2x﹣）=3（2x）﹣1
故f（x）=3x﹣1
故答案为：3x﹣1．
3．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是f（x）=x4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】由已知得2a=16，解得a=4，由此求出f（x）=x4．
【解答】解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象经过点（2，16），
∴2a=16，解得a=4，
∴f（x）=x4．
故答案为：f（x）=x4．
4．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．
【解答】解：，
故答案为：
5．函数y=的定义域是（，3] ．
【考点】函数的值域．
【分析】根据对数函数单调性和二次根式的意义，求得范围．
【解答】解：由题意得2x﹣5＞0，且log0.5（2x﹣5）≥0=log0.51，
即x＞且，2x﹣5≤1，
解得＜x≤3，
故答案为：（，3]．
6．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c ．
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵0＜a=log0.60.9＜log0.60.6=1，b=ln0.9＜0，c=20.9＞1，
∴b＜a＜c．
故答案为：b＜a＜c．
7．函数f（x）=的递减区间是（﹣∞，﹣3] ．
【考点】函数的单调性及单调区间．
【分析】令t=x2+2x﹣3≥0，求得函数的定义域，且f（x）=，本题即求函数t在定义域内的减区间，结合二次函数t=x2+2x﹣3的性质可得t在定义域内的减区间．
【解答】解：令t=x2+2x﹣3≥0，可得x≤﹣3，或x≥1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），且f（x）=，
故本题即求函数t在定义域内的减区间．
结合二次函数t=x2+2x﹣3的性质可得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣3]，
故答案为：（﹣∞，﹣3]．
8．已知lg2=a，lg3=b，用a，b表示log65= ．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用换底公式将log65用lg2与lg3表示出来，再换成用字母a，b表示即可得．
【解答】解：log65=，
又由已知lg2=a，lg3=b，
故log65=，
故答案为
9．函数的值域为（﹣∞，1] ．
【考点】函数的值域．
【分析】先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域．
【解答】解：函数的定义域是（﹣∞，1]，且在此定义域内是增函数，
∴x=1时，函数有最大值为1，
x→﹣∞时，函数值y→﹣∞，
∴函数的值域是（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
10．已知f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，x＞0时f（x）=x+，则x＜0时f（x）
= ﹣x﹣．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由偶函数的性质及对称性得到x＜0时，f（x）=（﹣x）+，由此能求出结
果．
【解答】解：∵f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，
x＞0时，f（x）=x+，
∴由偶函数的性质得：
x＜0时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x）+=﹣x﹣．
故答案为：．
11．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（0，1] ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．
【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，
根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，
得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；
集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），
则P﹣Q=（0，1]
故答案为：（0，1]
12．若函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0．则x•f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】先利用f（x）是偶函数单调性在对称区间上相反，分析出函数的单调性，结合f （﹣3）=0，分析出函数在各个区间上的符号，进而得到x•f（x）＜0的解集
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）内是减函数
又∵f（﹣3）=f（3）=0
∴f（x）＜0的解集是（﹣3，3），f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3），（3，+∞）
∴x•f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
13．函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是（0，1）．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．
【解答】解：令f（x）=|x2﹣2x|﹣a=0，
得a=|x2﹣2x|，
作出y=|x2﹣2x|与y=a的图象，
要使函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，
则y=|x2﹣2x|与y=a的图象有四个不同的交点，
所以0＜a＜1，
故答案为：（0，1）．
14．已知函数f（x）=，若当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，
则实数t的取值范围是[log3，1] ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】通过t的范围，求出f（t）的表达式，判断f（t）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t的范围即可．
【解答】解：因为t∈[0，1]，所以f（t）=3t∈[1，3]，
又函数f（x）=，
所以f（f（t））=3（不成立）或f（f（t）=﹣•3t，
因为f（f（t））∈[0，1]，
所以0≤﹣•3t≤1，即≤3t≤3，
解得：log3≤t≤1，又t∈[0，1]，
所以实数t的取值范围[log3，1]．
故答案为：[log3，1]．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：
（1）
（2）（lg5）2+lg2•lg50．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）利用指数与对数的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣+3+1
=4﹣+1+3+1
=8﹣．
（2）原式=lg25+lg2（1+lg5）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2
=1．
16．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}
（1）求集合A，B；
（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．
【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．
（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范
围．
【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），
B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．
（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，
，
∴B⊆C，
∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．
17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数
为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，由此能把利润表示为年产量的函数．
（2）当0≤x≤5时，，当（百台）时，y max=10.78125
（万元）；当x＞5（百台）时，y＜12﹣0.25×5=10.75（万元）．由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大．
【解答】解：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以
，
整理，得，
（2）当0≤x≤5时，
，
当（百台）时，
y max=10.78125（万元）；
当x＞5（百台）时，
y＜12﹣0.25×5=10.75（万元）．
综上所述，当生产475台时，工厂所得利润最大．
18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，根据定义域和值域均为[1，a]，列出方程组即可求得a值；
（2）由f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数得a≥2，由函数在区间[1，a+1]上总有f（x）
≤0，可得，解得a的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是减函数，
又定义域和值域均为[1，a]，
∴，即，解得 a=2．
（2）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，
∴a≥2，
又∵对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，
∴，即
解得：a≥3，
综上所述，a≥3
19．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；
（2）由（1）知f（x）==﹣，利用单调性定义可作出判断；
（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；
【解答】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，
所以f（0）=0，即=0，解得b=1，
由f（﹣1）=﹣f（1），得，解得a=2，
所以a=2，b=1，
即有f（x）=为奇函数，
故a=2，b=1；
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
由（1）知f（x）==﹣，
设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=，
因为x1＜x2，所以＞0，， +1＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）为减函数；
（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
又由（2）知f（x）为减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，
而3t2﹣2t=3﹣，
所以k＜．
20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化
时，求出n﹣m的最大值．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．
（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．
（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．
【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
11 故函数在[m ，n]上单调递增．
若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m 、n 是方程的同号的相异实数根．
∵x 2﹣3x+5=0无实数根，
∴函数不存在“和谐区间”．
（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m ，n]⊆（﹣∞，0）或[m ，n]⊆（0，+∞），
故函数在[m ，n]上单调递增．
若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m 、n 是方程，即a 2x 2﹣（a 2+a ）x+1=0的同号的相异实数根． ∵，
∴m，n 同号，只须△=a 2（a+3）（a ﹣1）＞0，即a ＞1或a ＜﹣3时， 已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵，
∴当a=3时，n ﹣m 取最大值。