2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二(下)开学数学试卷(2月份)(解析版)

2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）开学数学试卷（2月
份）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 复数1
1+i 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知点A （1，-2，3），则点A 关于原点的对称点坐标为（ ）
A. (−1,2，3)
B. (−1,2，−3)
C. (2,−1,3)
D. (−3,2，−1) 3. 在圆x 2+y 2+2x -4y =0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（ ）
A. π
6
B. π
4
C. π
3
D. 3π
4
4. 用反证法证明命题“a 、b ∈R ，若a 2+b 2=0，则a =b =0”，其假设正确的是（ ）
A. a 、b 至少有一个不为0
B. a 、b 至少有一个为0
C. a 、b 全不为0
D. a 、b 中只有一个为0 5. 如图，在正方形ABCD 内作内切圆O ，将正方形ABCD 、圆O 绕对角线AC 旋
转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V 1，V 2，则V 1：V 2=（ ） A. 2：√3 B. 2√2：3 C. 2：√3 D. √2：1
6. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n
B. 若α//β，m//α，n//β，则m//n
C. 若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α//β
D. 若m//α，m ⊂β，α∩β=n ，则m//n 7. 设a ∈R ，则“a =2”是“直线l 1：x +ay -a =0与直线l 2：ax -（2a -3）y +1=0垂直”的（ ）
A. 充分但不必要条件
B. 必要但不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要的条件
8. 已知函数f （x ）=x 2+a ln （1+x ）有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则实数a 的取值范围（ ）
A. (−1
2,0)
B. (0,2)
C. (0,1
2)
D. (0,1
2]
9. 点P 是双曲线
x 2
a 2
−y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）左支上的一点，其右焦点为F （
c ，0），若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为1
8c ，则双曲线的离心率e 范围是（ ）
A. (1,8]
B. (1,4
3]
C. (43,5
3)
D. (2,3]
10. 如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，M 为BC 边的中点，点P 在底
面A ′B ′C ′D ′上运动并且使∠MAC ′=∠PAC ′，那么点P 的轨迹是（ ）
A. 一段圆弧
B. 一段椭圆弧
C. 一段双曲线弧
D. 一段抛物线弧
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为
4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为______；侧面积为______．
12. 设函数f （x ）=x lnx ，则点（1，0）处的切线方程是______；函数f （x ）=x lnx 的最小值为______． 13. 圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为______，若该圆锥内有一个内接圆
柱（圆柱的底面在圆锥的底面上），则圆柱体积的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且满足f （x ）=f '（1）e x -1-f （0）x +1
2x 2，则f （x ）=______，单调增区间为______．
15. 已知长方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，
DD 1⊥面ABCD ，AB =4，AA 1=2，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E =3，若动点F 在底面ABCD 内且AF =2，则EF 的最小值为______．
16. 已知△ABC 中，∠C =90°，tan A =√2，M 为AB 的中点，现将△ACM 沿CM 折成三棱
锥P -CBM ，当二面角P -CM -B 大小为60°时，AB
PB =______． 17. 过点P （1，1）的直线l 与椭圆
x 24
+
y 23
=1交于点A 和B ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．点Q 满
足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λQB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若O 为坐标原点，则|OQ |的最小值为______ 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18. 已知圆M 过两点A （1，-1），B （-1，1），且圆心M 在x +y -2=0上．
（1）求圆M 的标准方程；
（2）设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形PAMB 面积的最小值．
19. 如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长为√2．
（1）设侧棱长为1，求证：AB 1⊥BC 1；
（2）设AB 1与BC 1的夹角为π
3，求侧棱的长．
20. 已知a ≥2，函数F （x ）=min{x 3-x ，a （x +1）}，其中min{p ，q }={q,p >q p,p≤q
．
（1）若a =2，求F （x ）的单调递减区间； （2）求函数F （x ）在[-1，1]上的最大值．
21. 将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且AE =√2．
（Ⅰ）求证：DE ⊥AC ；
（Ⅱ）求DE 与平面BEC 所成角的正弦值； （Ⅲ）直线BE 上是否存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ，若存在，求点M 的位置，不存在请说明理由．
22. 已知抛物线E ：y =ax 2（a ＞0）内有一点P （1，3），过点P 的两
条直线l 1，l 2分别与抛物线E 交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ＞0，λ≠1)． 已知线段AB 的中点为M ，直线AB 的斜率为k ． （Ⅰ）求证：点M 的横坐标为定值； （Ⅱ）如果k =2，点M 的纵坐标小于3，求△PAB 的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：∵=，
∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．
故选：D．
先把复数化简，即可得到该复数所对应的点位于第几象限．
本题考查了复数的化简及复数与复平面上的点的对应关系．
2.【答案】B
【解析】
解：∵点A（1，-2，3），
∴点A关于原点的对称点坐标为（-1，2，-3）．
故选：B．
点（a，b，c）关于原点对称的点的坐标为（-a，-b，-c）．
本题考查点关于原点对筄的点的坐标的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】
解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=5，
∴圆心坐标为（-1，2），半径r=，
∴过（0，1）的直径斜率为=-1，
∴与此直径垂直的弦的斜率为1，
∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是
故选：B．
把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，由题意得：与过（0，1）的直径垂直的弦最短，先由圆心及（0，1）求出直径所在直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出与此直
径垂直的弦所在直线的斜率，即为所求直线的斜率，从而求出过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角．
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线斜率的求法，圆的标准方程，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中得出过此点最长的弦为直径，最短的弦为与此直径垂直的弦是解本题的关键．
4.【答案】A
【解析】
解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，
故选：A．
把要证的结论否定之后，即得所求的反设．
本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
解：设AC=BD=2，
则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，
故V1=2××π=，
圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，
故V2=（）3=，
故V1：V2=：1，
故选：D．
根据球的体积公式和圆锥的体积公式，分别求出V1，V2，可得答案．
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥和球的体积公式，是解答的关键．
6.【答案】D
【解析】
解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能平行，也可能异面，故B错误．
对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故C错误；
对于D，根据线面平行的性质定理可知D正确．
故选：D．
作出符合条件的图形，观察是否存在不符合结论的情况出现，或举出反例判断．本题考查了空间直线与平面的位置关系判断，举出反例是关键．
7.【答案】A
【解析】
解：当a=0时，两条直线分别化为：x=0，4y+1=0，此时两条直线相互垂直；
当a=时，此时两条直线不垂直，舍去；
当a≠0，时，由于两条直线相互垂直，则×=-1，则a=2．
综上可得：a=0或2．
∴“a=2”是“直线l1：x+ay-a=0与直线l2：ax-（2a-3）y+1=0垂直”的充分不必要条件．
故选：A．
对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．
本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】
解：∵f（x）定义域为（-1，+∞），
又f′（x）=2x+，
令f'（x）=0，
则2x+=0，
∵函数在（-1，+∞）内有两个不同的实数根，
∴a=-2x（x+1），
令y1=a，y2=-2x（x+1），
如图示：∴0＜a ＜．
故选：C．
由f（x）定义域为（-1，+∞），又f′（x）=2x+，令f'（x）=0，则2x+=0，从而a=-2x（x+1），
进而0＜a ＜．
本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的根的问题，是一道基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，
其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，
由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF-2a，PF≥a+c．
所以，1．
故选：B．
直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到
PF≥a+c．是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这
个正圆锥面的中心轴即为AC'，顶点为A，顶角的一半即为
∠MAC'；以A′点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，
0，1），C'（1，1，0），
M （，1，1），
=（1，1，-1），=（，1，0），
∵cos∠MAC′====
设AC'与底面A'B'C'D'所成的角为θ，
则cosθ====＞
∴θ＜∠MAC'，
∴该正圆锥面和底面A'B'C′D'的交线是双曲线弧；
同理可知，P点在平面CDD'C的交线是双曲线弧，
故选：C．
以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案．
本题考查了圆锥曲线的几何定义应用，综合性较强，难度较大．
11.【答案】64 40+24√2
【解析】
解：由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，
且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，为×8×6×4=64．
侧面为等腰三角形，底边长分别为8，6；斜高分别为5，4
∴侧面积为×8×5×2+×6×4×2=40+24=40+24
故答案为64，40+24．
由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，所以体积可用乘以底面积，再乘高来求，表面积可用底面积再加四个侧面三角形
面积来求，最后，把底面积和侧面积相加即可．
本题考查了根据三视图求几何体的体积和表面积，属于基础题，应该掌握．12.【答案】x-y-1=0 -1
e
【解析】
解：求导函数，可得y′=lnx+1
x=1时，y′=1，y=0
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x-1
即x-y-1=0．
令lnx+1=0，可得x=，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；
所以x=时，函数取得最小值：-．
故答案为：x-y-1=0；-．
求出函数的导数，求出切点的导数，得到曲线的斜率，然后求解切线方程；利用导数判断函数的单调性求解函数的最小值即可．
本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性以及最值的求法，求出切线的斜率是关键，
13.【答案】3π 4√3π
27
【解析】
解：∵圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，
∴半圆的弧长为2π，即圆锥的底面周长为2π，
设圆锥的底面径是R，则2πR=2π，解得R=1，
∴圆锥的底面半径是1，
∴圆锥的表面积S=πR（R+l）=3π；
作出圆锥轴截面如图所示：
圆锥的底面半径R=1，母线长l=2，
则圆锥的高h=，
当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r时，圆柱的高x满足：，
即，则x=，
故圆柱的体积V=，
得：V′=，
当r∈（0，）时，V′＞0，V随r的增大而增大；
当r∈（，1）时，V′＜0，V随r的增大而减小．
故当r=时，V取最大值．
故答案为：3π；．
由已知求出半圆弧长，得到圆锥的底面周长是2π，利用弧长公式计算底面半径后，可得圆锥的表面积；画出圆锥及内接圆柱的轴截面，根据三角形相似对应边成比例，用r表示圆柱的高x，代入圆柱体积公式，利用导数法，可得V的最大值．
本题考查旋转体体积最值的求法，考查函数与方程思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．
14.【答案】e x-x +1
2
x 2（0，+∞）
【解析】
解：∵f（x）=f'（1）e x-1-f（0）x+，
∴f′（x）=f′（1）e x-1-f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，故f（0）=1，
又f（0）=f′（1），故f′（1）=e，
∴f（x）=e x-x+x2，
f′（x）=e x-1+x，f″（x）=e x+1＞0，
∴f′（x）在R上单调递增，
又f′（0）=0，故当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．
故答案为：e x-x+x2，（0，+∞）．
对f（x）求导，令x=1可得f（0）=1，再令x=1计算f′（1），从而得出f（x）的解析式，令f′（x）＞0解出f（x）的增区间．
本题考查了函数单调性与导数的关系，属于中档题．
15.【答案】√13
【解析】
解：取CD的四等分点E1，使得DE1=3，∵D1E∥DE1且D1E=DE1，
∴四边形D1EE1D为平行四边形，可得D1D∥EE1，
∵DD1⊂平面D1DB，EE1⊄平面D1DB，∴EE1∥平面D1DB，
∵AF=2，∴点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．
∵EE1∥DD1，D1D⊥面ABCD，∴E1E⊥面ABCD，
Rt△EE1F中，可得EF==．
∴当E1F的长度取最小值时，EF的长度最小，
此时点F为线段AE1和四分之一圆弧的交点，即E1F=E1A-AF=5-2=3，
此时，EF==．
∴EF长度的最小值为．
故答案为：．
取CD的四等分点E1，使得DE1=3，点F的轨迹是在平面ABCD内，以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．根据线面垂直的性质，得E1E⊥面ABCD，所以Rt△EE1F中，得，从而E1F的长度取最小值时EF的长度最小．结合图形得E1F的最小值为3，由此可得EF长度的最小值．
本小题在长方体中求线段长度的最小值．着重考查了直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等知识，属于中档题．
16.【答案】√3
【解析】
解：如图，取BC中点E，连接AE，设AE∩CM=O，
再设AC=2，由∠C=90°，tanA=，可得BC=，
在Rt△MEC中，可得tan，在Rt△ECA中，求得tan，
∴cot∠AEM═，则∠CME+∠AEM=90°，有AE⊥CM．
∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE为二面角P-CM-B的平面角为60°，
∵AE=，OE=1×sin∠CME=，∴PO=．
在△POE中，由余弦定理可得PE==．∴PE2+CE2=PC2，即PE⊥BC．
则PB=PC=2．
在Rt△ACB中，求得AB=2，
∴=．
故答案为：．
由题意画出图形，找出二面角P-CM-B的平面角，设AC=2，求解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查空间想象能力和思维能力，属中档题．
17.【答案】12
5
【解析】
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），
由P（1，1），，，
则1-x1=λ（x2-1），m-x1=-λ（x2-m），
即为x1+λx2=1+λ，x1-λx2=m（1-λ），
相乘可得x12-（λx2）2=m（1-λ2），
同理可得y12-（λy2）2=n （1-λ2），
于是可得（+）-λ2（+）=（1-λ2）（+），
即1-λ2=（1-λ2）（+），
化简可得+=1，即3m+4n=12，即Q的轨迹方程，
可得|OQ|的最小值为=．故答案为：．
设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），运用向量共线的坐标表示，结合点在椭圆上满足椭圆方程，可得Q的轨迹方程，由点到直线的距离公式可得最小值．
本题考查向量共线的坐标表示，考查点在椭圆上满足椭圆方程，以及轨迹方程的求法，点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
18.【答案】解（1）设圆M的方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2（r＞0），解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4．
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S△PAM+S△PBM=1
2
|AM||PA|+1
2
|BM||PB|．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|=√|PM|2+|AM|2=√|PM|2−4，即S=2√|PM|2−4，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min=
√32+42
=3，
所以四边形PAMB面积的最小值为S=2√|PM|2−4=2√32−4=2√5．
【解析】
（1）待定系数法求解圆的方程即可；
（2）由题意得到面积的表达式，据此求解面积的最值即可．
本题考查了圆的方程的求解，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
19.【答案】证明：（1）AB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ．
因为BB1⊥平面ABC，
所以BB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0．
又△ABC为正三角形，
所以＜AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=π-＜BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=π-π
3
=2π
3
．
因为AB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ）
=AB
⃗⃗⃗⃗⃗ •BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB
⃗⃗⃗⃗⃗ •BC
⃗⃗⃗⃗⃗ +BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC
⃗⃗⃗⃗⃗
=|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |•|BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |•cos＜AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＞+BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1
=0，
所以AB1⊥BC1．
解：（2）由（1）知AB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •BC
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ |•|BC
⃗⃗⃗⃗⃗ |•cos＜AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC
⃗⃗⃗⃗⃗ ＞+BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1．
又|AB1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB
⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，
所以
cos ＜AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2
−12+BB
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=1
2， 所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 即侧棱长为2． 【解析】
（1）推导出
=
+
，=+，由BB 1⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形，得到＜，
＞=
．从而
•=（+
）•（+
）=0，由此能证明AB 1⊥BC 1． （2）推导出
•=|
|•|
|•cos ＜
，
＞+
=
-1．|
|=|
|，从而cos ＜
，
＞=
=，由此能求出侧棱长．
本题考查线线垂直的证明，考查正三棱柱的侧棱长的求法，考查空间向量的夹角与距离等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：（1）令f （x ）=x 3-x ，g （x ）=a （x +1）=2（x +1），
令f （x ）=g （x ），解得：x =-1或x =2，
画出函数f （x ），g （x ）的图象，如图示：
，
显然x ≤1时，f （x ）≤g （x ），x ＞1时，f （x ）＞g （x ）， 故F （x ）={2(x +1),x >2x 3−x,x≤2
， 故F （x ）在在（-√3
3
，√3
3）递减；
（2）由（1）得：a ≥2时，F （x ）={x 3−x ，x ≤1+√1+4a
2
a(x +1)，x ＞1+√1+4a
2，
而
1+√1+4a
2
＞2，
故在[-1，1]上，F （x ）=f （x ）=x 3-x ，
而f （x ）在[-1，-√33
）递增，在（-√33
，√33
）递减，在（√3
3
，1]递增，
故F （x ）的最大值是F （-√3
3
）=
2√3
9
． 【解析】
（1）令f （x ）=x 3-x ，g （x ）=a （x+1）=2（x+1），画出函数f （x ），g （x ）的图象，结合图象求出F （x ）的递
减区间即可；
（2）根据a 的范围，在[-1，1]上，F （x ）=f （x ）=x 3-x ，求出F （x ）的最大值即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题． 21.【答案】解：（Ⅰ）以A 为坐标原点AB ，AD ，AE 所在的直
线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系
则E （0，0，√2），B （2，0，0）D （0，2，0），
做BD 的中点F 并连接CF ，AF ；由题意可得CF ⊥BD 且AF =CF =√2
又∵平面BDA ⊥平面BDC ，∴CF ⊥平面BDA ， 所以C 的坐标为C （1，1，√2）
∴DE
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，√2），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，√2） ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，√2）•（1，1，√2）=0 故DE ⊥AC
（Ⅱ）设平面BCE 的法向量为n
⃗ =（x ，y ，z ） 则 {n
⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0N ⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x −√2z =0x −y −√2z =0∴{z =√2y =−x 令x =1得n
⃗ =（1，-1，√2） 又DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2，√2） 设平面DE 与平面BCE 所成角为θ，则
sinθ=|cos ＜n ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|n ⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n|⃗⃗⃗⃗ |DE|
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=√6
3
（III ）假设存在点M 使得CM ∥面ADE ，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEB ⃗⃗⃗⃗⃗ EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-√2），∴EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2λ，0，-√2λ） 得M （2λ，0，√2−√2λ） 又因为AE ⊥平面ABD ，AB ⊥AD 所以AB ⊥平面ADE
因为CM ∥面ADE ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得2λ-1=0∴λ=1
2
故点M 为BE 的中点时CM ∥面ADE ．
【解析】
（Ⅰ）借助空间向量来证 DE ⊥AC ，只需在空间直角坐标系下，证明
=0 即可．以A 为坐
标原点AB ，AD ，AE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，再写出定点E ，A ，B ，D 的坐标，求出C 点坐标，向量
，
坐标，再计算（Ⅱ）
，看是否为0．
（Ⅱ）DE 与平面BEC 所成角，也即DE 与平面BCE 的法向量所成角的余角，设平面BCE 的法向量为
=（x ，y ，z ） 则
根据法向量与平面内任意向量垂直，即可求出平面BCE 的法向量坐标，再求平面BCE 的法向量与DE 所成角，最后求出该角的余角即可．
（III ）先假设直线BE 上存在一点M ，使得CM ∥平面ADE ，向量
垂直于平面ADE 的法向量，
再利用垂直时数量积为0来计算．如能计算出参数λ的值，则存在，否则，不存在． 夲题考查了用空间向量求证线线垂直，线面平行，以及线面角，属于常规题，需掌握．
22.【答案】解：（Ⅰ）设CD 的中点为点N ，则由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可推出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这说明AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD
⃗⃗⃗⃗⃗ ，且M 、P 、N 三点共线， 对A 、B 使用点差法，可得y A -y B =a （x A -x B ）（x A +x B ），即k AB =2a •x M ，同理k CD =2a •x N ， 于是x M =x N ，即MN ⊥x 轴，所以，x M =x P =1为定值； （Ⅱ）由k =2得a =1，设y M =t ∈（1，3），|PM |=3-t ， 联立{y −t =2(x −1)y=x 2
，得x 2-2x +2-t =0．
由韦达定理可得x A +x B =2，x A x B =2-t ．
所以，|x A −x B |=√(x A +x B )2−4x A x B =√22−4(2−t)=2√t −1． 于是，S △PAB =(3−t)√t −1=√(t −1)(3−t)2． 构造函数y =（t -1）（3-t ）2，其中1＜t ＜3． y ′=（3-t ）2+2（t -1）（t -3）=（t -3）（3t -5）． 令y ′=0，得t =5
3∈(1，3)．
当1＜t ＜5
3时，y ′＞0；当5
3＜t ＜3时，y ′＜0． 所以，当t =5
3时，函数y =（t -1）（3-t ）2取得最大值32
27． 此时，△PAB 的面积取到最大值4√6
9
． 【解析】
（Ⅰ）利用向量的线性运算得出AB ∥CD ，于是得出直线AB 和CD 的斜率相等，分别对A 、B 两点以及C 、D 两点使用点差法，可得出点M 和点N 的横坐标相等，再根据对称性可得出点M 的横坐标的值；
（Ⅱ）设点M 的纵坐标为t ，根据已知条件得出t 的取值范围，并写出直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式得出△PAB 的面积关于t 的函数关系式，并利用导数求出该三角形面积的最大值．
本题考查直线与抛物线的综合问题，考查点差法以及韦达定理法，同时也考查了计算能力与推理能力，属于难题．。