第九章 状态空间分析法

Y = CX
系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为： 对于前例，其状态空间描述为：
& X = AX + bu Y = CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为： 多输入多输出系统的状态空间表达式为： 系统的状态空间表达式为
§9.2 传递函数与动态方程的关系
由于一个系统既可以用传递函数（微分方程）来描述，又 由于一个系统既可以用传递函数（微分方程）来描述， 可以用动态方程来描述。因此这两种描述间必然有着内在联系。 可以用动态方程来描述。因此这两种描述间必然有着内在联系。
du1 (t ) C1 dt = i (t ) − i2 (t ) C duc (t ) = i (t ) 2 2 dt u1 (t ) − uc (t ) i2 (t ) = R2 u (t ) − u1 (t ) i (t ) = r R1 y = uc
D U
+
B
+
& X
x
+
∫
A
Y
C
+
四、状态空间表达式的模拟结构图 模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。 模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点： 状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量， 到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量， 到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量， 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), 个状态。 个状态： x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 (t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 量组。 量组。 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时 状态空间描述是系统“输入－状态－输出” 域描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为 域描述，揭示了系统的全部信息。 全面、完善。 全面、完善。 4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而 系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述； 输出方程为代数方程。 输出方程为代数方程。
第九章 状态空间分析法
经典控制理论传递函数描述方法的不足之处： 经典控制理论传递函数描述方法的不足之处： 系统模型为单输入单输出系统； 系统模型为单输入单输出系统； 单输入单输出系统 忽略初始条件的影响； 忽略初始条件的影响； 不包含系统的所有信息； 不包含系统的所有信息； 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。 无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。 复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统 复杂的时变、非线性、多输入－ 的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法－ 的问题，需要用对系统内部进行描述的新方法－ 状态空间分析法。 状态空间分析法。
y = i = x2
x1 y = [0 1] x2
均为输出， uc , i均为输出，则
y1 = uc = x1 y2 = i = x2
二、状态空间表达式： 状态空间表达式：
y1 1 0 x1 y = 0 1 x 2 2
u u du1 (t ) ur (t ) − u1 (t ) u1 (t ) − uc (t ) 1 1 C1 = − & u1 = − − u1 + c + r dt R1 R2 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 ⇒ du (t ) u (t ) − uc (t ) 1 1 C2 c = 1 & uc = u1 − uc dt R2 C2 R2 C2 R2 y = uc
b11 K b1r B= M O M b L b nr n1
u1 u U = 2 M ur
r维输入 向量
y1 y Y = 2 M ym
输出矩阵 m×r维
m维输 出向量
c11 K c1n C = M O M c L cmn m1
du 1 & uc = c = i dt c i = di = − 1 u − R i + 1 u & c dt L L L
& uc 0 向量矩阵表示形式： & 向量矩阵表示形式： i = − 1 L
令
uc 0 + 1 u R − L i L
直接传递 矩阵 m×r维
d11 K d1r D= M O M d L d mr m1
三、状态空间描述的状态图 单线表示一维信号，双线表示多维信号。 单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入 对系统内部状态的因果关系， 对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外 部输出的影响。 部输出的影响。
3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空 状态空间：以状态变量x 为坐标轴,组成的n 间称为状态空间。 间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程， 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称 状态方程： 为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。 为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。
& X = AX + BU Y = CX + DU
x1 其中： 其中： x2 X= M xn
输入矩阵 控制矩阵 n×r维 × 维
N维向量 维向量
a11 K a1n A= M O M a L a nn n1
系统矩阵 n×n方阵 × 方阵
& X = AX + bu
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中， 为输出， 前例中，若取 uc 为输出，则有 y = uc = x1 写出矩阵形式： 写出矩阵形式：
x1 y = [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 为输出， 若指定
§9.1 状态变量描述
一、基本定义
先看一个RLC电路的例子 先看一个RLC电路的例子 图中， 图中，u-输入变量 列写微分方程： 列写微分方程：
d uc C dt = i L di + Ri + u = u c dt
R
u
L
C 图1-1
uc
d 2uc du 消去中间变量后， 消去中间变量后，得： LC + RC c + uc = u dt dt
1 C
x1 = uc x2 = i
& x1 0 x = − 1 &2 L x1 0 + 1 u R − L x2 L
1 C
则其变为
进一步令
0 x1 X = , A = 1 x2 − L
例：写出双 例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
u r ( s ) − u1 ( s ) I (s) = R1 1 u1 ( s ) = [ I ( s ) − I 2 ( s )] ⋅ sC 1 I ( s ) = u1 ( s ) − u C ( s ) 2 R2 消除中间变量: 消除中间变量: I ( s ), u1 ( s ), I 2 ( s ) 1 u (s ) = I (s ) ⋅ 2 C sC 2 uc ( s ) 1 G(s) = = u r ( s ) R1 R2C1C2 s 2 + ( R1C1 + R2C2 + R1p; u1 = − − u1 + c + r C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 1 1 & uc = u1 − uc C2 R2 C2 R2 y = uc
1 1 uc 1 1 − − − 1 − & x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 &= = x x + C1 R1 ur & 1 1 x2 0 − C2 R2 C2 R2 y = x2 = [ 0 1] x
0 , b = 1 R − L L
1 C
则可写为： 则可写为：
& X = AX + bu
1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一 状态变量： 组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值， t=to时刻这组变量值 组变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值， t>=to时输入的时间函数 那么，系统在t>=to 时输入的时间函数， t>=to的任何瞬 和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬 间的行为就完全确定了。 间的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 (t)、 (t)……x (t)是系统一组状态变量 是系统一组状态变量。 如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： 量为： x1 ( t ) x (t ) T X ( t ) = 2 或 X = x1 ( t ) , x 2 ( t )... x n ( t ) ] ... xn (t )