河南省上蔡一高高二期中考试

河南省上蔡一高2004～2005学年度第一学期期中考试 高二数学试卷2004.11 命题人：董九星
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的）
1.下列各命题为真命题的是
A.若b<a<0,且c>0,则ac<bc.
B.若a>b,则
c
b c a >. C.若a<b,c>d,则a -c>b -d. D.若ac 2>bc 2,则a>b.
2.若0,0,0<+<>n m m n 且，则下列不等式中成立的是
A 、m n m n -<<<-
B 、n m m n <-<<-
C 、m n n m -<<-<
D 、n m n m <-<-< 3.下列不等式中解集为实数集R 的是
021110
44222><
->>++-x D x
x C x B x x A 、、、、
4. 已知a ，b ∈R 且ab ＞0，则下列不等式中不正确．．．
的是 A 、|a+b |≥2ab B 、22
2b a +≥|2|b a +
C 、|a+b |＞|a|－|b |
D 、|a|+|b |＞|a+b | 5. 设－2
π＜α＜β＜2
π，则α－β的范围是
A.－2π＜α－β＜0
B.－π＜α－β＜π
C.－π＜α－β＜0
D. －2π＜α－β＜2
π
6.不等式5|4|2<-x x 的解集
A.{x|-1<x<5}
B.{x|x>5}
C.R
D.Φ
7.和直线3x -4y+5=0关于直线y=x 对称的直线方程为
A.4x +3y -5=0
B. 4x -3y -5=0
C. 4x+3y+5=0
D.4x -3y+5=0 8. 直线,31k y kx =+-当k 变动时，所有直线都通过定点
A.（0，0）
B.（0，1）
C.（3，1）
D.（2，1）
9.如果直线l 经过两直线0132=+-y x 和023=--y x 的交点，且与直线x y =垂直，则原点到直线l 的距离是
A.2
B.1
C.2
D.22
1
10. 圆06442
2=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得弦长等于
A ．6
B ．
2
2
5 C ．1 D ．5 11.已知y x ,是正数，且
19
1=+y
x ，则y x +的最小值是 A.6 B.12 C.16 D.24
12.和y 轴相切,并且与半圆x 2+y 2=4（0≤x ≤2）相内切的动圆圆心的轨迹方程是
A 、y 2=4(x －1)（0＜x ≤1）
B 、y 2=4(x +1)（0＜x ≤1）
C 、y 2=－4(x －1)（0≤x ≤1）
D 、y 2=－4(x －1)（0＜x ≤1) 二.填空题：（本大题每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13.过点A(1,-4)且方向向量为a
=(3,-2)的直线方程是
14.若点P （1，1）和Q (2，2)到直线l ：2(a 2－2a )x +2(b 2+4b )y +15=0的距离相等，且分别
在l 的两侧，则a +b =______.
15.若关于x 的不等式ax 2+bx+c<0的解集是{x|x<m,或x>n}(m<n<0),则关于x 的不等式cx 2-bx+a<0的解集为 .
16. 已知f(x)＝ax 2＋bx ，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是
2
上蔡一高2004～2005学年度第一学期期中考试
高二数学试答题卷
二.(4×4’=16’)
13. . 14. .
15. . 16.
.
三.解答题:本大题共6小题，合计74分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
设a ，b ，x ，y ∈R ，且a 2＋b 2＝2，x 2＋y 2＝2， 求证：ax ＋by ≤2。

已知不等式x 2＋mx ＋2n ＜0的解集为｛x|1＜x ＜2
}，
（1） 求m 、n 的值；（2）解不等式06
5x x 2n mx x 22＞－－＋＋。

19.（本小题满分12分）
求过点)5,2(-P 且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍的直线方程；
若对于任意x,y∈R+,不等式1
2x+
1
2y≥
2m
x+y恒成立,求实数m的最大值.
21.（本小题满分12分）
某工厂需要招聘技工与辅助工共20个到50个,其中技工人数不小于辅助工人数的一半,且技工人数至少12个.技工的月工资每人900元,辅助工的月工资每人600元.在这样的条件下,怎样招聘,才能使工厂花费的月工资总数为最小?月工资总数最少是多少元?
5
22. （本小题满分14分）
已知直线L 过直线1L ：0243=-+y x 和2L ：022=++y x 的交点M ，直线L 夹在两条直线3L ：06=--y x 和4L ：02=--y x 之间的线段长为4，且与圆心在直线L 5:y= -2x 上的☉P 相切,试求直线L 和☉P 的方程.
河南省上蔡一高2004～2005学年度第一学期期中考试 高二数学参考答案
一.(12×5’=60’) 二.13. 2x+3y+10=0 14. –1 15. {x|x<,
m
-
或n x ->
} 16. [6,10]
三.解答题:本大题共6小题，合计74分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17. 证明：方法（I ）∵a 2＋x 2≥2ax ，b 2＋y 2≥2by ， ∴a 2＋x 2＋b 2＋y 2≥2(ax ＋by)，∴ax ＋by ≤2
22+＝2.
方法（II ）设a ＝ 2 cos α，b ＝ 2 sin α，x ＝ 2 cos β，y ＝ 2 sin β， 则ax ＋by ＝2cos(α－β)≤2。

方法（III ）要证ax ＋by ≤2，只需证：2－(ax ＋by)≥0。

即证：4－2ax －2by ≥0，只需证a 2＋x 2＋b 2＋y 2－2ax －2by ≥0，即(a －x)2＋(b －y)2≥0 ∵(a －x)2＋(b －y)2≥0成立，∴ax ＋by ≤1 18.解：（1）方法（I ）∵原不等式的解集为｛x|1＜x ＜2｝，
将解集还原成不等式为(x －1)(x －2)＜0，整理得：x 2－3x ＋2＜0， 利用代定系数法，∴可得：m ＝－3，2n ＝2.∴m=3, n=1
方法（II ）依题意，x 1＝1，x 2＝2可看成关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋2n ＝0的两根， 由根与系数关系，可得：x 1＋x 2＝－m ＝3；x 1x 2＝2n ＝2，∴m ＝－3，n ＝1.
（2）不等式 0
65x x 2n mx x 22
＞－－＋＋ 可化为 065x x 23x x 22＞－－＋-，变形得：01)6)(x (x )2x )(1x (＞＋－--， 由图可知
原不等式的解集为｛x|x ＜－1或1＜x ＜2或x ＞6
}
19. 解:由已知直线的斜率存在 ,设直线方程是)2(5+=-x k y
令0=y ，得k
x 5
2-
-= 令0=x ，得k y 25+= 由已知)25(352k k +=-- 解得31-=k ，或2
5
-=k
法二:由a=3b,当b=0时,过原点…;当b ≠0时,
从而求得方程求得由过点方程为,(-2,5),,13b b
y b x =+. 20.解:∵x,y ∈R +, ∴x+y>0 由不等式12x +12y ≥ 2m
x+y 恒成立,
得不等式x+y 4x +x+y
4y ≥m 恒成立.
∵
x+y 4x +x+y 4y =41+y 4x + x 4y +41=21+y 4x + x 4y ≥21+2y x
x y 44⋅
≥21+2
1=1 当且仅当x=y 时,取“=”.
∴要使不等式12x +12y ≥ 2m
x+y 恒成立,只须m ≤1.
故实数m 的最大值为1.
21.解:设技工的招聘人数为x,辅助工的招聘人数为y,则⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧
≥≤+≥+≥≥2,50,20,0,12y x y x y x y x
作出可行域,如图所示.
目标函数为
k=900x+600y. 作直线l 0:900x+600y=0,
即3x+2y=0.将l 0沿n 的方向作平行移动,接触的第一个点即与l 0点是A,所以点A k=900x+600y 的值最小. x
由⎩
⎨⎧=+=,20,
12y x x 得点A 因为点A 的横坐标和纵坐标都是非负整数,符合题意,所以当x=12,y=8时, k 最小值=900×12+600×8=15600.
答:应招聘技工12人,辅助工8人,这时工厂花费的工资总数最小,最小值为15600元.
22. 解:由⎩⎨⎧=++=-+,022,0243y x y x 得⎩
⎨⎧=-=,2,
2y x ∴L 1与L 2的交点是M(-2,2).
∵L 3∥L 4由两平行线间的距离公式得L 3、L 4间的为d=
221
1|)2(6|2
2
=+---.
设L 与L 3(或L 4)的夹角为θ,则sin θ=
2
2
422=,∴θ=45° 又L 3(或L 4)的倾斜角为45°,故所求直线L 的方程为x=-2和y=2.
又由L 与☉P 相切, 知☉P 的圆心必在直线x=-2和直线y=2所成角的平分线 即x+y=0和x-y+4=0上.
由已知☉P 的圆心又在L 5:y=-2x 上,所以由
⎩⎨
⎧-==+,2,0x y y x 和⎩⎨⎧-==+-,
2,04x y y x 得☉P 的圆心坐标为(0,0)和(-38
,34), 半径分别为2和
32
.故所求☉P 的方程为x 2+y 2=4和(x+34)2+(y-38)2=9
4 故所求直线L 的方程为x=-2和y=2, 所求☉P 的方程为x 2+y 2=4和(x+34)2+(y-38)2=9
4
6。