对工科线性代数行列式教学内容的一点思考
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当前的课程 体 系 分 配 给 工 科 线 性 代 数 的 学 时 普 遍 较 少" 三峡大学只有 () 个" 在这样的背景下" 当前把教学重点放在 强调抽象思维的经典理论上的做法" 显然不能满足工科大学 生后续课程使用计算机解决实际问题的需求&对非数学专业" 在经典理论的基础上会用计算机解决高阶的矩阵计算问题应 是线性代数课程改革的大趋势$
科教论坛 !"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%$1))%$9
科技风 "#$% 年 $$ 月
对工科线性代数行列式教学内容的一点思考
曹志杰
三峡大学理学院!湖北宜昌!**&$$"
摘4要本文梳理了行列式在大学工科数学教学体系中的地位和作用 结合近年对非数学专业线性代数内容改革的一些意 见 对行列式内容在工科教材中的取舍进行了分析 并给出了结论&
而 W& " \& " ,& 三个方面就是这个结论在 =_-" 即系数矩 阵是方阵" 时在不同侧面的反映"起沟通作用的是结论)方阵 A 的行列式 fAf$%" 当且仅当 A行满秩* $
二非数学专业线性代数课改的趋势及其对行列式部分的 影响
非数学专业开设数学课" 主要是为大学生提供后续课程 的数学基础和必要的数学应用能力" 这点在线性代数上体现 的更为直接$ 通过这门课的学习" 学生要掌握一些基本概念" 包括矩阵" 行列式" 线性方程组等" 还应能够使用计算机解决 实际问题$ 对工科大学生而言" 就是学会使用计算机求解高阶 的矩阵模型$
关键词行列式大矩阵运算7WUTW\工科线性代数
一工科线性代数的知识体系和行列式在其中的地位与作用 工科线性代数主要研究线性方程组求解" 对于一个确定 的方程组" 具体可分为以下三个方面! %$& 确定它的解是否存在' %)& 若存在" 是一个还是无穷多个' %(&若有无穷多个解" 如何表达它们$ 前两方面通过比较该线性方程组的系数矩阵的秩与增广 矩阵的秩及方程组中未知量的个数这三个数的关系可完全确 定' 如果确认了它有无穷多个解" 要表达这些解" 需引进向量 空间&这无穷多解构成一个向量空间" 找到空间的一组基" 就 能将这些解表达出来$ 在这个体系中" 矩阵和向量无疑是主角" 行列式在其中也 扮演了部分角色" 主要表现有 W& 用以判断系数矩阵为方阵的线性方程组解的存在性的 5YW=SY法则' \& 一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零' ,& 求方 阵 A的 特 征 值" 就 是 求 特 征 方 程 fAg"Lf_%
以陈怀琛教授为代表的国内高校的有识之士已率先启动 这方面的改革" 参见+$, " 并取得了很大的进展$
这个改革架构" 鉴于线性代数的计算部分具有机械性#程 式化的特征" 建议教与学的过程将重点放在对实际问题的数 学建模的分析上" 而将纯程式化的计算过程交由计算机来处 理&线性代数涉及 的 运 算 是 一 种 刻 板# 枯 燥# 但 很 有 规 则 的 简 单运算" 比如对矩阵施行初等变换" 所作的运算无非是加法和 数乘" 但要重复做好多次&由人力演算" 耗时费力" 且无法保
. Al的l根R$ ights Reserved.
只有行数和列数相等的矩阵" 也就是方阵" 才有行列式$ 那么" 行列式在以上三个方面所起的作用就必然是一般矩阵 相应结论的特例$ 对于一般的线性方程组 A=h- i_\
其中 i_% R$ "R) "00"R- & @"\ _% \$ "\) "00"\=& @"当 F % A=h- & _F% A=h- "\& _-% 其中 F% A=h- & 表示矩阵 A=h- 的秩& 时" 该方程组有唯一解$
问题 #&为 什 么 9% :;h< & _9% :;h< " =& 时" 线 性 方 程 组 :;h< >_=有解' 进而" 9% :;h< & _9% :;h< "=& 时" 该方程组有 唯一解-
问题 ##&为什么可以用初等变换% 包括初等行变换和初等 列变换& 来求可逆阵的逆-
问题 ###&线性空间中" 为什么可以由有限表达无限这三个问题" 分别对应着对矩阵的秩#初等矩阵和向量组 的一个极大线性无关组这些基本概念的理解和运用$ 实践部分的教学应在理论教学后进行$ 主要操作上" 陈怀 琛教授在+), 中总结了三点!对于低阶% 三阶及以下& 的线性代 数问题" 用 7WUTW\ 提供图形帮助" 便于直观且深刻地理解课程 后续的理论和概念' 对于高阶的线性代数问题" 借助 7WUTW\ 提 供的程序" 使师生可以快速#准确地进行大量数据的数值计 算' 通过一些应用实例" 使学生了解线性代数知识在各领域的 广泛应用$ 对行列式" 国外有教材+3, 只讲到三阶" 而且强调讲课时推 导的公式不是用来计算的" 只要知道行列式不为零时对应的 矩阵可逆即可$ 这样的处理在当前大矩阵的背景下是合理的$ 在国外的另一本教材+9, 里面" 作者直言") 在柯西的年代" 矩阵 很小" 行列式在数学中起过重要的作用$ 而今天它在大规模矩 阵运算中只有很小的价值* $ 三在课改背景下对行列式教学内容取舍的一些思考 在国内外课程改革背景下"很有必要对教材中行列式部分 的内容做适当的删减" 以顺应当前工科大学生学习和使用线 性代数知识的需求$ 在国内一般的. 线性代数/ 教材" 如+(, 中" 行列式被放在 第一章" 介绍二阶与三阶行列式#全排列及其逆序数#- 阶行列 式的定义#行列式的性质#行列式的按行% 列& 展开及 5YW=SY法 则等内容$ 下面依次分析这些内容在当前课改形势下有无存 在的必要性$ 低阶%二阶与三阶& 行列式具有直观的几何意义" 且容易 计算" 适合作为引入行列式概念的例子$ 借助二阶" 至多三阶 行列式" 来讲行列式" 便于学生形成概念" 并很好的将行列式 与线性方程组和矩阵联系起来$ 将低阶行列式从表示方法#本 质内涵和不同的处理方式等方面与矩阵做比" 加深学生对矩 阵的理解$ 因为低阶行列式易于被人们接受" 它们在线性代数 教材的行列式部分是必不可少的$ 全排列和逆序数对于经典的行列式定义% 即所有取自不同 行和不同列的各元素乘积的代数和" 共 - 项& 是必不可少的" 但若用这种定义来计算行列式" 9 阶行列式直接笔算已相当繁 琐" )9 阶的更已超出了计算机的运算能力$ 因此这部分内容 连同 - 阶行列式的经典定义在工科线性代数教材中宜删去" 而
证每次结果都正确" 因此这种工作不宜由人工来做" 而最适宜 由机器来执行$
线性代数课程还有理论抽象#难懂的特点" 改革后的教学 过程应分为理论教学和实践演练两大块$
在理论教学部分" 不需太详尽的证明" 只要求学生明晰基 本概念#懂得基本理念就可以了$ 但对基本内容一定要讨论清 楚&就是要讲清楚下列基本问题!
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非数学专业开设数学课" 主要是为大学生提供后续课程 的数学基础和必要的数学应用能力" 这点在线性代数上体现 的更为直接$ 通过这门课的学习" 学生要掌握一些基本概念" 包括矩阵" 行列式" 线性方程组等" 还应能够使用计算机解决 实际问题$ 对工科大学生而言" 就是学会使用计算机求解高阶 的矩阵模型$
关键词行列式大矩阵运算7WUTW\工科线性代数
一工科线性代数的知识体系和行列式在其中的地位与作用 工科线性代数主要研究线性方程组求解" 对于一个确定 的方程组" 具体可分为以下三个方面! %$& 确定它的解是否存在' %)& 若存在" 是一个还是无穷多个' %(&若有无穷多个解" 如何表达它们$ 前两方面通过比较该线性方程组的系数矩阵的秩与增广 矩阵的秩及方程组中未知量的个数这三个数的关系可完全确 定' 如果确认了它有无穷多个解" 要表达这些解" 需引进向量 空间&这无穷多解构成一个向量空间" 找到空间的一组基" 就 能将这些解表达出来$ 在这个体系中" 矩阵和向量无疑是主角" 行列式在其中也 扮演了部分角色" 主要表现有 W& 用以判断系数矩阵为方阵的线性方程组解的存在性的 5YW=SY法则' \& 一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零' ,& 求方 阵 A的 特 征 值" 就 是 求 特 征 方 程 fAg"Lf_%
以陈怀琛教授为代表的国内高校的有识之士已率先启动 这方面的改革" 参见+$, " 并取得了很大的进展$
这个改革架构" 鉴于线性代数的计算部分具有机械性#程 式化的特征" 建议教与学的过程将重点放在对实际问题的数 学建模的分析上" 而将纯程式化的计算过程交由计算机来处 理&线性代数涉及 的 运 算 是 一 种 刻 板# 枯 燥# 但 很 有 规 则 的 简 单运算" 比如对矩阵施行初等变换" 所作的运算无非是加法和 数乘" 但要重复做好多次&由人力演算" 耗时费力" 且无法保
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只有行数和列数相等的矩阵" 也就是方阵" 才有行列式$ 那么" 行列式在以上三个方面所起的作用就必然是一般矩阵 相应结论的特例$ 对于一般的线性方程组 A=h- i_\
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证每次结果都正确" 因此这种工作不宜由人工来做" 而最适宜 由机器来执行$
线性代数课程还有理论抽象#难懂的特点" 改革后的教学 过程应分为理论教学和实践演练两大块$
在理论教学部分" 不需太详尽的证明" 只要求学生明晰基 本概念#懂得基本理念就可以了$ 但对基本内容一定要讨论清 楚&就是要讲清楚下列基本问题!