2020-2021学年江苏省无锡市江阴新桥中学高一数学文上学期期末试题含解析

2020-2021学年江苏省无锡市江阴新桥中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象是
A B
C D
参考答案：
C
2. 下列图象表示函数图象的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
【考点】函数的概念及其构成要素；函数的图象．
【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应
而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．
故选C
3. 角的终边过点P（4，－3），则的值为
A.4
B.－3
C.
D.
参考答案：
C
4. 函数f（x）=ax2+（2+a）x+1是偶函数，则函数的单调递增区间为（）
A．[0，+∞） B．（﹣∞，0] C．（﹣∞，+∞）D．[1，+∞）
参考答案：
B
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】利用函数f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），解出a．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间．
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴ax2﹣（2+a）x+1=ax2+（2+a）x+1，化为（2+a）x=0，对于任意实数x恒成立，∴2+a=0，解得a=﹣2．
∴f（x）=﹣2x2+1，其单调递增区间为（﹣∞，0]．
故选B．
5. 从装有2个红球和2个白球的的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数
是
（）
①至少有1个白球与都是白球；②至少有1个白球与至少有1个红球；③恰有1个白球与恰有2个红球；④至少有1个白球与都是红球。

A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
C
6. 函数，那么的奇偶性是（）
A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
参考答案：
略
7. （5分）已知函数f（x）=x+1（x＜0），则f（x）的（）
A．最小值为3 B．最大值为3 C．最小值为﹣1 D．最大值为﹣1
参考答案：
D
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式即可得出．
解答：∵x＜0，∴函数f（x）=x+1=+1=﹣1，当且仅当x=﹣1时取等号．
因此f（x）有最大值﹣1．
故选：D．
点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．
8. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．2
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；
∴该几何体的表面积为
S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC
=×2×1+2××+×2×1
=2+．
故选：B．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．
9. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为
y=f
（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）
A．11 B．9 C．7 D．5
参考答案：
B
【考点】正弦函数的对称性．
【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，
∴，即，（n∈N）
即ω=2n+1，（n∈N）
即ω为正奇数，
∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，
即T=≥，解得：ω≤12，
当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，
∴φ=﹣，
此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；
当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，
∵|φ|≤，
∴φ=，
此时f（x）在（，）单调，满足题意；
故ω的最大值为9，故选：B
10. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《数学九章》中的“秦九韶算法”求多项式的值，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为
A．15 B．3 C．－3 D．－15
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 个正数排成行列:
其中每一行的数由左至右成等差数列,每一列的数由上至下成等比数列,并且所有公比相等,已
知,,,则=
.
参考答案：
12. 在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是
参考答案：
2
13. 阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是____
参考答案：
11
14. 已知圆C的方程为，一定点为A(1,2)，要使过A点作圆的切线有两条，则a的取值范围是____________
参考答案：
【分析】
使过A点作圆的切线有两条，定点在圆外，代入圆方程计算得到答案.
【详解】已知圆C的方程为，要使过A点作圆的切线有两条
即点A(1,2)在圆C外：恒成立.
综上所述：
故答案为：
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，通过切线数量判断位置关系是解题的关键.
15. 给出下列四个命题：
①若f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，，则f （sinθ）＞f（cosθ）；
②若锐角α，β满足cosα＞sinβ，则α+β＜；
③已知扇形的半径为R，面积为2R2，则这个扇形的圆心角的弧度数为4；
④f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，则．
其中真命题的序号为．
参考答案：
②③④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）由已知可得函数在[0，1]上单调递减，结合，可知0＜cosθ＜sinθ＜1，从而可判断（1）
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（）＞sinβ，则有，则可判断（2）
（3）由扇形的面积公式和弧度数公式进行求解判断
（4）根据函数奇偶性的性质，故可判断（4）
【解答】解：（1）由函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，且在[﹣1，0]上是增函数，可得函数在[0，1]上单调递减，
由，可得0＜cosθ＜sinθ＜1，则f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误
（2）由锐角α，β满足cosα＞sinβ可得sin（）＞sinβ，则有即，故②正确
（3）设扇形的弧长为l，则扇形的面积S=lR=2R2，即l=4R，
则这个扇形的圆心角的弧度数α==4，故③正确，
（4）∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=sin2x+cosx，
∴f（﹣）=﹣f（）=﹣（sin+cos）=﹣（+）=﹣，故④正确，
故答案为：②③④
16. 由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名为狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：
①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数
在区间上是单调函数.
正确结论是．
参考答案：
①
17. 奇函数f（x）满足：①f（x）在（0，+∞）内单调递增；②f（1）=0，则不等式x?f（x）＜0的解集为．
参考答案：
（﹣1，0）∪（0，1）
【考点】其他不等式的解法．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】利用奇函数在对称区间上有相同的单调性，结合题意即可求得不等式x?f（x）＜0的解集．【解答】解：∵f（x）在（0，+∞）内单调递增，且f（1）=0，
∴当0＜x＜1时，f（x）＜0；
当x＞1时，f（x）＞0；∴当x＞0时，x?f（x）＜0的解集为（0，1）；①
∵f（x）为奇函数，
∴f（x）在对称区间上有相同的单调性，
∴f（x）在（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣1）=0，
∴当x＜0时，x?f（x）＜0的解集为（﹣1，0）；②
综合①②知，不等式x?f（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．
故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）．
【点评】本题考查奇函数的单调性与对称性，考查解不等式的能力，考查逻辑思维与运算能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分10分)
已知A，B，C的坐标分别为，，,
(1)若，求角的值；
(2)若，求的值。

参考答案：
（1），……….2分
……….4分
由得sin=cos,又………5分
（2）由得得
∴sin+cos=①
又由式①两边平方得
∴……….10分
19. （12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．
（Ⅰ）若||=2，且∥，求向量；
（Ⅱ）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角的正弦值．
参考答案：
（I）∵∥，可设，（1分）∴，，（2分）
∴（4分），∴或（6分）
（II）∵与垂直，∴（）（）＝0
（8分），∴
∴，（10分），与的夹角的正弦值（12分）
20. 求以为直径两端点的圆的方程。

参考答案：
21. 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋，过A作
AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
(1)求证：BC⊥面CDE;
(2)在线段AE上是否存在一点R，使得面BDR⊥面DCB，若存在，求出点R的位置；若不存在，请说明理由.
参考答案：（1）略；（2）
【分析】
（1）由已知中，垂足为，．根据线面垂直的判定定理，我们可得面．由线面垂直的定义，可得，又由，得到平面；（2）取
中点，连接、、、、，求出，解，可得，又由等腰
中，为底边的中点，得到，进而根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．
【详解】（1）由已知得：，,
面．
，又，
面
（2）分析可知，点满足时，面面．
理由如下：取中点，连接、、、、
容易计算，
在中
，
由平行四边形性质得,
所以
可知，
在中，，
．
又在中，，为中点
，
因为
面，因为,
面面．
【点睛】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线平面垂直的判定，熟练掌握空间直线平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．说明：条件“G、F分别为AD、CE的中点，”没有使用，是因为这个题目是改编的，把第2问删除了，第2问是证明GF||平面BCD.
22. 已知向量,函数
(1)求的最小正周期;
(2)当时, 若求的值．
参考答案：
解析：(1)……………………………………………1分
…………………………………………………2分
. ……………………………………………………4分
的最小正周期是
. …………………………………………………………………………6分
(2) 由得………………………………………….8分
∵，∴∴…………………10分∴…………………………………………………………………12分。