高考数学二轮复习 专题限时集训(二十二)分类与整合和化归与转化思想配套作业 理(解析版,新课标)

专题限时集训(二十二)
[第22讲 分类与整合和化归与转化思想]
(时间：45分钟)
1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝35，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪5π6－x ＝( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－45
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，其中B ＝45°，b ＝2，则c ＋a 的最大值为( )
A.2＋ 2 B ．22＋ 2
C.1＋ 2 D ．21＋ 2
3．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )
A ．f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32 D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32<f (－1) 4．S n 是数列{a n }的前n 项和，则“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－x 图象的一条对称轴是( )
A ．x ＝π8
B ．x ＝π4
C ．x ＝π
2
D ．x ＝π
6．设a >0，a ≠1，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差小于1，则a 的取值范围是( )
A ．(0，1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞) D ．(1，＋∞)
7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，则该数列前2 012项的和等于( )
A ．1 340
B ．1 341
C ．1 342
D ．1 343
8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －3a x
＋3)，则使f (x )>0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)
C ．(log a 2，0)
D ．(log a 2，＋∞)
9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，
则2y －3
x ＋1
的最大值为________．
10．如图22－1，圆台上底面半径为1，下底面半径为4，母线AB ＝18；从AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A ，则绳子的最短长度为________．
11．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a
x
(0<a <1)，讨论f (x )的单调性．
12．某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小
时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14，1
2
；一小
时以上且不超过两小时还车的概率分别为12，1
4
；两人租车时间都不会超过三小时．
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.
13．二次函数y ＝23
x 2
的图象如图22－2所示，点A 0位于坐标原点，A 1，A 2，A 3，…，A n ，…
在y 轴的正半轴上，B 1，B 2，B 3，…，B n ，…在二次函数y ＝23
x 2
在第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，
△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A n －1B n A n ，…都是正三角形．
(1)求△A 2 011B 2 012A 2 012的边长；
(2)设△A n －1B n A n 的边长为a n ，b n ＝3n ＋(－1)n ＋1
λ·2a n (λ为非零常数)，是否存在整数λ，使得对任意正整数n ，都有b n ＋1>b n
专题限时集训(二十二)
【基础演练】 1．C [解析] cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫5π6－x ＝cos π2＋π3－x ＝－sin π3－x ＝－35，选C.
2．B [解析] A ＋C ＝3π4⇒C ＝3π4－A ，A ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，3π4，a sin A ＝b sin B ＝2⇒a ＝2sin A ，
c
sin C
＝
b
sin B
＝2⇒c ＝2sin C ＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4－A ＝2cos A ＋2sin A ，
所以c ＋a ＝2cos A ＋(2＋2)sin A ＝22＋2·sin(A ＋φ)，φ为锐角，故最大值是22＋ 2.
3．D [解析] 由于函数f (x )是偶函数，所以f (2)＝f (－2)，因为－2<－3
2
<－1且函数
f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)<f －32<f (－1)，即f (2)<f －32
<f (－1)．
4．D [解析] 若S n 是关于n 的二次函数，则设为S n ＝an 2
＋bn ＋c (a ≠0)，则当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝2an ＋b －a ，当n ＝1时，S 1＝a ＋b ＋c ，只有当c ＝0时，数列才是等差数列，若数列为等差数列，则S n ＝na 1＋
n （n －1）d 2
＝d 2
n 2＋a 1－d
2
n ，当d ≠0时为二次函数，当d ＝0
时，为一次函数，所以“S n 是关于n 的二次函数”是“数列{a n }为等差数列”的既不充分也不必要条件，选D.
【提升训练】
5．B [解析] 因y ＝2sin x ＋π4cos π4－x ＝2sin 2
x ＋π4＝1－cos2x ＋π2
＝1＋sin2x ，易知
x ＝π
4
是其一条对称轴，选B.
6．B [解析] 当a >1时，函数f (x )＝log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ＝log a 2＋1，log a a ＝1，它们的差为log a 2<1，即log 2a >1，故a >2；当0<a <1时，函数
f (x )＝lo
g a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值分别为log a a ＝1，log a 2a ＝log a 2＋1，它们的
差为－log a 2<1，即log a 2>－1，即log 2a <－1，即a <1
2
.正确选项为B.
7．C [解析] 因为a 1＝1，a 2＝1，所以根据a n ＋1＝|a n －a n －1|(n ≥2)，得a 3＝|a 2－a 1|＝0，
a 4＝1，a 5＝1，a 6＝0，…，故数列{a n }是周期为3的数列．又2 012＝670×3＋2，所以该数列
前2 012项和等于670×2＋2＝1 342.故选C.
8．C [解析] 根据对数函数的性质可得不等式0<a 2x
－3a x
＋3<1，换元后转化为一元二次不等式求解．令t ＝a x ，即0<t 2－3t ＋3<1，因为Δ＝(－3)2－4×3＝－3<0，故t 2
－3t ＋3>0恒成立，只要解不等式t 2
－3t ＋3<1即可，即解不等式t 2－3t ＋2<0，解得1<t <2，故1<a x
<2，取以a 为底的对数，根据对数函数性质得log a 2<x <0.正确选项为C.
9．5 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12
对应的平面区域如右图所示：
2y －3x ＋1表示平面上一定点－1，3
2与可行域内任一点连线斜率的2倍，由图易得当该点为(0，4)时，2y －3x ＋1
的最大值是5.
10．21 [解析] 沿母线AB 把圆台侧面展开为扇环AMBB ′M ′A ′，化为平面上的距离求解．设截得圆台的圆锥的母线长度为l ，则l －18l ＝1
4
，解得l ＝24，圆锥展开后扇形的中心角为
2π×424＝π
3
，此时在三角形SAA ′中，AS ＝24(S 为圆锥的顶点)，SM ′＝15，根据余弦定理
AM ′＝
242＋152
－2×24×15×12
＝441＝21.
11．解：f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2
－x ＋1－a
x
2
，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )＝0， 即ax 2
－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a
－1.
(1)若0<a <12，则x 2>x 1.当0<x <1或者x >1a －1时，f ′(x )<0；当1<x <1
a －1时，f ′(x )>0.
故此时函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，1a －1，＋∞，单调递增区间是1，1
a
－1.
(2)若a ＝1
2，则x 1＝x 2，此时f ′(x )≤0恒成立，且仅在x ＝1处等于零，故此时函数f (x )
在(0，＋∞)上单调递减．
(3)若12<a <1，则0<x 2<x 1.当0<x <1a －1或者x >1时，f ′(x )<0；当1
a －1<x <1时，f ′(x )>0.
故此时函数f (x )的单调递减区间是0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是1
a
－1，1.
综上所述：当0<a <12时，函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，1
a －1，＋∞，单调递增区
间是1，1a －1；当a ＝12时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)；当1
2<a <1时，函数f (x )
的单调递减区间是0，1a －1，(1，＋∞)，单调递增区间是1
a
－1，1.
12．解：(1)甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元． 都付2元的概率为P 1＝14×12＝1
8；
都付4元的概率为P 2＝12×14＝1
8；
都付6元的概率为P 3＝14×14＝1
16
，
故所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝18＋18＋116＝5
16.
(2)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.
P (ξ＝4)＝18
；
P (ξ＝6)＝14×14
＋12×12
＝516
； P (ξ＝8)＝14×14
＋12×14
＋12×14
＝516
；
P (ξ＝10)＝14×14＋12×14＝316
； P (ξ＝12)＝14×14＝116
.
故ξ的分布列为
所求数学期望E ξ＝4×8＋6×16＋8×16＋10×16＋12×16＝2
.
13．解：(1)设A n (0，c n )，则A n －1(0，c n －1)，故|A n －1A n |＝c n －c n －1，得线段A n －1A n 的中点坐标为M n 0，c n －1＋c n
2
，则B n 点的纵坐标与M n 点的纵坐标相同，设B n 点的横坐标为x n ，可求出x n
＝
32y n ＝32c n －1＋c n ，因为B n 点的横坐标是线段A n －1A n 长度的3
2
倍， 所以
32c n －1＋c n ＝32
(c n －c n －1)，故可得c 2n －2c n －1·c n ＋c 2
n －1＝c n －1＋c n ，① 则c 2
n ＋1－2c n ·c n ＋1＋c 2
n ＝c n ＋c n ＋1，②
由②－①可得(c n ＋1＋c n －1)(c n ＋1－c n －1)－2c n (c n ＋1－c n －1)＝c n ＋1－c n －1，
因为c n ＋1－c n －1≠0，所以c n ＋1－2c n ＋c n －1＝1，即(c n ＋1－c n )－(c n －c n －1)＝1，所以数列{c n
－c n －1}也就是数列{|A n －1A n |}是以1为公差的等差数列，易得|A 0A 1|＝1，故|A n －1A n |＝1＋(n －1)×1＝n ，易知△A 2 011B 2 012A 2 012的边长为2 012.
(2)由(1)可知a n ＝n ，∴b n ＝3n
＋(－1)n ＋1
λ·2a n ＝3n ＋(－1)
n ＋1
λ·2n
，
则b n ＋1－b n ＝3
n ＋1
＋(－1)
n ＋2
λ·2
n ＋1
－[3n
＋(－1)
n ＋1
λ·2n
] ＝2·3n
－3λ(－1)n ＋1
·2n >0，则2·3n
>3λ(－1)
n ＋1
·2n
，即(－1)
n ＋1
·λ<32
n －1
，
当n ＝2k －1(k ∈N *
)时，可得λ<322k －2对任意正整数k 恒成立，故λ<1；
当n ＝2k (k ∈N *
)时，可得λ>－322k －1对任意正整数k 恒成立，故λ>－32.
故－3
2<λ<1，又λ≠0，所以存在满足条件的整数λ＝－1.
.。