广西贵港市覃塘高中2016-2017学年高二下学期3月月考数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年广西贵港市覃塘高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）
1．已知复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）
A． B． C． D．
2．实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）
A．有理数、零、整数 B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数 D．整数、有理数、零
3．在极坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是（）
A．ρ=cosθ B．ρ=sinθ C．ρcosθ=1 D．ρsinθ=1
4．下面几种推理中是演绎推理的是（）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电
B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为a n=2n+3
C．由正三角形的性质得出正四面体的性质
D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π
5．有下列数据下列四个函数中，模拟效果最好的为（）
A．y=3×2x﹣1 B．y=log2x C．y=3x D．y=x2
6．已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ，给定两点P（0，），Q（﹣2，π），则有（）A．P在曲线C上，Q不在曲线C上B．P、Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上D．P、Q都在曲线C上
7．若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）
A．k＞8？B．k≤8？C．k＜8？D．k=9？
8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
9．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
10．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025．则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）
A．95% B．97.5% C．90% D．无充分根据
11．参数方程为参数）的普通方程为（）
A．y2﹣x2=1 B．x2﹣y2=1 C．D．
12．设P（x，y）是曲线C：为参数，0≤θ＜2π）上任意一点，则的取值范围是（）
A． B．C．
D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．
14．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，a2+b2，2ab中最大的是．
15．已知方程=0.85x﹣82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单
位是cm，的单位是kg，那么针对某个体的残差是．
16．直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方程为ρ=2cos
（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i（m∈R）
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求出y关于x的线性回归方程；假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：b=，．
19．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．
（1）根据所给样本数据完成右边2×2列联表；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
参考公式：K2=，n=a+b+c+d
独立性检验概率表
20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l过点P（1，0），斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2；试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
22．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f（n）．
（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（2）利用归纳推理，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；
（3）猜想f（n）的表达式，并写出推导过程．
2016-2017学年广西贵港市覃塘高中高二（下）3月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求）
1．已知复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数为（）
A． B． C． D．
【考点】A2：复数的基本概念；A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数z满足z的等式，表示出z，进行复数的除法运算分子和分母同乘以分母的共
轭复数，得到代数形式的标准形式，再根据共轭复数的定义，写出
【解答】解：∵复数z满足，
∴
z===
∴复数的共轭复数是
故选B
2．实数系的结构图如图所示，其中1、2、3三个方格中的内容分别为（）
A．有理数、零、整数 B．有理数、整数、零
C．零、有理数、整数 D．整数、有理数、零
【考点】EJ：结构图．
【分析】根据中学阶段数系的分类我们易得实数分有理数和无理数，有理数又可以分为分数和整数，而整数又分为正整数，零与负整数，进而得到答案．
【解答】解：根据中学阶段数系的分类可得：有理数和无理数统称实数，
分数和整数统称有理数，
负整数、零、正整数统称整数，
可得1，2，3三个方格中的内容分别为有理数、整数、零，
故选B．
3．在极坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是（）
A．ρ=cosθ B．ρ=sinθ C．ρcosθ=1 D．ρsinθ=1
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】在直角坐标系中，求出直线的方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极坐标方程．
【解答】解：在直角坐标系中，过点（1，0）并且与极轴垂直的直线方程是 x=1，
其极坐标方程为ρcosθ=1，
故选 C．
4．下面几种推理中是演绎推理的是（）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电
B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为a n=2n+3
C．由正三角形的性质得出正四面体的性质
D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π
【考点】F5：演绎推理的意义．
【分析】本题考查的是演绎推理的定义，判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，能否从推理过程中找出“三段论”的三个组成部分．
【解答】解：选项A是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，
选项B，是由特殊到一般的推理过程，为归纳推理，
选项C：是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，是类比推理，
选项D半径为r圆的面积S=πr2，因为单位圆的半径为1，则单位圆的面积S=π中，
半径为r圆的面积S=πr2，是大前提
单位圆的半径为1，是小前提
单位圆的面积S=π为结论．
故选：D．
5．有下列数据下列四个函数中，模拟效果最好的为（）
A．y=3×2x﹣1 B．y=log2x C．y=3x D．y=x2
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】将（1，3），（2，5.99），（3，12.01），代入四个选项，可得结论．
【解答】解：将（1，3），（2，5.99），（3，12.01），代入四个选项，可得A模拟效果最好．故选：A．
6．已知曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ，给定两点P（0，），Q（﹣2，π），则有（）A．P在曲线C上，Q不在曲线C上B．P、Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上D．P、Q都在曲线C上
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】当时，ρ=2cosπ=﹣2≠0，故点P（0，）不在曲线上，当θ=π时，ρ=2cos2π=2≠﹣2，故点Q（﹣2，π）不在曲线上．
【解答】解：曲线C的极坐标方程ρ=2cos2θ，
当时，ρ=2cosπ=﹣2≠0，故点P（0，）不在曲线上，
当θ=π时，ρ=2cos2π=2≠﹣2，故点Q（﹣2，π）不在曲线上，
故选：B．
7．若框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）
A．k＞8？B．k≤8？C．k＜8？D．k=9？
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据所给的程序运行结果为S=20，执行循环语句，当计算结果S为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．
【解答】解：由题意可知输出结果为S=20，
第1次循环，S=11，K=9，
第2次循环，S=20，K=8，
此时S满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞8．
故选：A．
8．如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出（）
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】本题为对等高条形图，题目较简单，注意阴影部分位于上半部分即可．
【解答】解：由图可知，女生喜欢理科的占20%，男生喜欢理科的占60%，显然性别与喜欢理科有关，
故选为C．
9．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），
又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，
∴38=10×（﹣2）+a，
解得：a=58，
∴=﹣2x+58，
当x=6时， =﹣2×6+58=46．
故选：A．
10．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）=0.025．则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A．95% B．97.5% C．90% D．无充分根据
【考点】BL：独立性检验．
【分析】根据表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论．
【解答】解：根据表中数据得到
5.059，
因为p（K2≥5.024）=0.025，
则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为97.5%．
故选：B．
11．参数方程为参数）的普通方程为（）
A．y2﹣x2=1 B．x2﹣y2=1 C．
D．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】将参数方程的两式平方相减即可消去参数得到普通方程，根据三角函数的性质得出x 的范围．
【解答】解：∵为参数），∴x2=1+sinα，y2=2+sinα，∴y2﹣x2=1．
∵x=sin+cos=sin（），∴|x|≤．
故选：C．
12．设P（x，y）是曲线C：为参数，0≤θ＜2π）上
任意一点，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【考点】J9：直线与圆的位置关系；I3：直线的斜率；QK：圆的参数方程．
【分析】求出圆的普通方程，利用的几何意义，圆上的点与坐标原点连线的斜率，求出斜率的范围即可．
【解答】解：曲线C：为参数，0≤θ＜2π）的普通方程为：（x+2）2+y2=1，
P（x，y）是曲线C：（x+2）2+y2=1上任意一点，则的几何意义就是圆上的点与坐标原点连线的斜率，
如图：
．
故选C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，
甲说：丙没有考满分；
乙说：是我考的；
丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】利用反证法，即可得出结论．
【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；
假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；
故答案为：甲．
14．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，a2+b2，2ab中最大的是a+b ．【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得a2+b2＞2ab，a+b＞2，进而由0＜a＜1，0＜b＜1，可得a2＜a，b2＜b，进而由不等式的性质可得a+b＞a2+b2，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，
则a2+b2＞2ab，a+b＞2，
又由0＜a＜1，0＜b＜1，则a2＜a，b2＜b，
则有a+b＞a2+b2，
故a+b，，a2+b2，2ab中最大的是a+b，
故答案为：a+b．
15．已知方程=0.85x﹣82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的
单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体的残差是﹣0.29 ．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据残差的定义计算出随机值和真实值的差即可．
【解答】解：因为回归方程为=0.85x﹣82.71，所以当x=160时，y=0.85×160﹣82.71=53.29，所以针对某个体的残差是53﹣53.29=﹣0.29．
故答案为：﹣0.29．
16．直线l的参数方程是（其中t为参数），圆c的极坐标方
程为ρ=2cos（θ+），过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是2．【考点】QJ：直线的参数方程．
【分析】首先，将圆的极坐标方程和直线l的参数方程转化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心到直线的距离d，求出d，由勾股定理可求切线长的最小值．
【解答】解：∵圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ﹣
ρsinθ，
∴x2+y2=x﹣y，即（x﹣）2+（y+）2=1，
∴圆C是以M（，﹣）为圆心，1为半径的圆，
化直线l的参数方程（t为参数）为普通方程：x﹣y+4=0，
∵圆心M（，﹣）到直线l的距离为d==5，
要使切线长最小，必须直线l上的点到圆心的距离最小，
此最小值即为圆心M（，﹣）到直线的距离d，
由勾股定理求得切线长的最小值为==2．
故答案为：2．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．已知复数z=m（m﹣1）+（m2+2m﹣3）i（m∈R）
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．
【考点】A2：复数的基本概念．
【分析】（1）虚部为0，则z是实数，即可求出m的值；
（2）虚部不为0，实部为0，z是纯虚数，即可求m的值；
（3）若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）z为实数⇔m2+2m﹣3=0，解得：m=﹣3或m=1；
（2）z为纯虚数⇔，解得：m=0；
（3）z所对应的点在第四象限⇔，解得：﹣3＜m＜0．
18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方
程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率．
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，
求出y关于x的线性回归方程；假设由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
附：参考公式：b=，．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到不相邻两组数据的概率值；
（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归直线方程，利用方程计算并判断所得到的线性回归方程是否可靠．
【解答】解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，
每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，
所以；
（2）由数据，求得=×（10+11+13+12+8）=10.8，
=×（23+25+30+26+16）=24；
由公式，求得
（x i y i）=10×23+11×25+13×30+12×26+8×16=1335，
=102+112+132+122+82=598；
所以==，
=﹣3；
所以y关于x的线性回归方程是；
当x=10时，，|22﹣23|＜2；
同样，当x=8时，，|17﹣16|＜2；
所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
19．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．
（1）根据所给样本数据完成右边2×2列联表；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
参考公式：K2=，n=a+b+c+d
独立性检验概率表
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（1）根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个，根据各种情况的数据，列出表格，填好数据，得到列联表
（2）根据上一问做出的列联表，看出各种情况的数据，代入求临界值的公式，做出观测值，拿观测值同临界值表进行比较，得到2.778＞2.706，得到有90%的把握认为药物有效．
【解答】解：（1）根据服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本，没有服药且没有患病的有20个，
得到列联表
（2）假设检验问题H0：服药与家禽得禽流感没有关系，
K2=≈2.778，
由P（K2≥2.706）=0.10
∴大概有90%的把握认为药物有效．
20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线
l过点P（1，0），斜率为，曲线C：ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的一个参数方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由于直线l过点P（1，0），斜率为，即可得出直线l的一个参数方程；
由ρ=ρcos2θ+8cosθ，化为（ρsinθ）2=4ρcosθ，利用即可得出直角坐标方程．
（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，利用根与系数的关系、直线参数的意义即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过点P（1，0），斜率为，
∴直线l的一个参数方程为（t为参数）；
∵ρ=ρcos2θ+8cosθ，∴ρ（1﹣cos2θ）=8cosθ，即得（ρsinθ）2=4ρcosθ，
∴y2=4x，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（Ⅱ）把代入y2=4x整理得：3t2﹣8t﹣16=0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则，
∴．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．
（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2；试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线l的直角坐标方程为2x﹣y﹣6=0，由于曲线C2的直角坐标方程为：
=1，可得曲线C2的参数
方程．
（Ⅱ）设点P的坐标（cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：
d==
，故当sin（60°﹣θ）=﹣1时，点P（﹣，1），从而得到d的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，直线l的直角坐标方程为：2x﹣y﹣6=0，
∵曲线C2的直角坐标方程为： =1，
∴曲线C2的参数方程为：（θ为参数）．…
（Ⅱ）设点P的坐标（cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离为：
d==
，故当sin60°﹣θ）=﹣1时，点P（﹣，1），
此时d max=2．…
22．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时
对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f（n）．
（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）的值；
（2）利用归纳推理，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；
（3）猜想f（n）的表达式，并写出推导过程．
【考点】8H：数列递推式；F1：归纳推理；RG：数学归纳法．
【分析】（1）根据前4个图形进行归纳，求出f（2），f（3），f（4），推测f（5）的值；（2）利用（1）的结果，归纳推理，通过相邻两个函数值的关系，归纳出f（n+1）与f（n）的关系式；
（3）猜想f（n）的表达式，利用（2）的推导方法，即可写出推导过程．
【解答】解：（1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1；
图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5；
图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13；
图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25；
图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41；（2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41；
∴f（2）﹣f（1）=4=4×1；
∴f（3）﹣f（2）=8=4×2；
∴f（4）﹣f（3）=12=4×3；
∴f（5）﹣f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4×（n﹣1）=4n﹣4．
∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）﹣f（n）=4n．
（3）猜想f（n）的表达式：2n2﹣2n+1．
由（2）可知
f（2）﹣f（1）=4=4×1；
f（3）﹣f（2）=8=4×2；
f（4）﹣f（3）=12=4×3；
f（5）﹣f（4）=16=4×4；
…
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4×（n﹣1）=4n﹣4．
将上述n﹣1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n﹣1））
=
=2n2﹣2n+1．
f（n）的表达式为：2n2﹣2n+1．
2017年8月7日。