考研数学二(多元函数微分学、重积分)历年真题试卷汇编1(题后含

考研数学二（多元函数微分学、重积分）历年真题试卷汇编1(题后
含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2012年试题，一)设函数f(x，y)为可微函数，且对任意的x，y都有则使不等式f(x1，y1)>f(x2，y2)成立的一个充分条件是( )．
A．x1＞x2，y1＜y2
B．x1＞x2，y1＞y2
C．x1如果f(x1，y1)>f(x2，y1)，则x1＞x2，又，如果有f(x2，y1)>f(x2，y2)，则y1＜y2．所以f(x1，y1)>f(x2，y1)>f(x1，y2)时，就有x1＞x2，y1＜y2．因此选A．知识模块：多元函数微分学
2．(2007年试题，一)二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：选项A相当于已知f(x，y)在点(0，0)处连续．选项B相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)存在，因此A,B均不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．选项D相当于已知两个一阶偏导数fx’(0，0)fy’(0，0)存在，但不能推导出两个一阶偏导数fx’(x，y)fy’(x，y)在点(0，0)处连续，因此也不能保证f(x，y)在点(0，0)处可微．对于选项C，若则即fx’(0，0)=0．同理有fy’(0，0)=0．从而有根据可微的定义，知函数f(x，y)在(0，0)处可微．故应选
C．知识模块：多元函数微分学
3．(2005年试题，二)设函数其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由题设可得因为所以选
B．知识模块：多元函数微分学
4．(2010年试题，5)设函数z=z(x，y)，由方程确定．其中，为可微函数，且F2’≠0，则：
A．x
B．z
C．一x
D．一z
正确答案：B
解析：根据题意可得故而有，即正确答案为
B．知识模块：多元函数微分学
5．(2011年试题，一)设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)0 B．f’’(0)0，g’’(0)>0
D．f’’(0)>0，g’’(0)在(0，0)点，A=f’’(0)g(0)，B=f’(0)g’(0)=0，C=f(0)g’’(0)若z=f(x)g(y)在(0，0)有极小值．则AC—B2＞0且A>0→f’’(0)0，故选A．知识模块：多元函数微分学
6．(2009年试题，一)设函数z=f(x，y)的全微分为出=xdx+ydy，则点(0，0)( )．
A．不是f(x，y)的连续点
B．不是f(x，y)的极值点
C．是f(x，y)的极大值点
D．是f(x，y)的极小值点
正确答案：D
解析：由全微分dz=xdx+ydy可得令在(0，0)处又因为在此处A=1>0且AC 一B2=1>0，故可知点(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点．故正确答案为D．知识模块：多元函数微分学
7．(2006年试题，二)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．
A．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0
B．若f’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0
C．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0
D．若f’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0
正确答案：D
解析：用拉格朗日乘数法判断．令F(戈，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，则(x0，y0)满足若fx’(x0，y0)=0，由(1)式→λ或φx(x0，y0)=0，而当λ=0时，由(2)式得fy’(x0;y0)=0；当λ≠0时，由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0．所以排除A，
B．若fx’(x0，y0)≠0，则由(1)式λ→0，再由(2)式及φy’(x0，y0)≠0→fy’(x0，y0)≠0，即fx’(x0，y0)≠0时，fy’(x0，y0)≠0．故选
D．知识模块：多元函数微分学
8．(2010年试题，6)=( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：因故根据积分的几何定义可知．即正确答案为
D．知识模块：重积分
9．(2008年试题，一)设函数f(x)连续，．其中区域Duv为图1-5-1，阴影部分，则( )．
A．vf(u2)
B．
C．vf(u)
D．
正确答案：A
解析：在极坐标系下，则故应选A．知识模块：重积分
10．(2004年试题，二)设函数f(u)连续，区域D=｜(x，y)｜x2+y2≤2y｜，则等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：由题设，从而A不成立；由于仅知f(u)连续，题设并未指出f(xy)是否具有关于坐标轴的对称性，因此B不一定成立；将原积分化为极坐标下二次积分，有所以选择D[评注]由极坐标下面积元dz=rdrdθ可排除(c)，由D的边界曲线x2+(y一1)2=1可排除A，由f(x，y)为抽象函数知B不对，故应选D．知识模块：重积分
11．(2012年试题，一)设区域D由曲线围成，则( )．
A．π
B．2
C．-2
正确答案：D
解析：其中，sinx为奇函数，在对称区间上积为零，应选D 知识模块：重积分
12．(2005年试题，二)设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x>0，y≥0}f(x)为D 上的正值连续函数，a，b为常数,则
A．abπ
B．
C．(a+b)π
D．
正确答案：D
解析：由题意可知，D关于直线Y=X对称，于是从而可得所以选D 知识模块：重积分
13．(2009年试题，一)设函数f(x,y)连续，则
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：[*]的积分区域有两部分：D1={(x，y)｜1≤x≤2，x≤y≤2}，D2={(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤4一y}这两个积分区域可合成一个积分区域D={(x，y)｜1≤y≤2，1≤x≤4一y}，所以题干中的二重积分等于[*]y)dx．故正确答案为C．知识模块：重积分
14．(2007年试题，一)设函数f(x，y)连续，则二次积分等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：由二次积分的积分上、下限可知积分区域为的反函数为x=π—arcsiny，则上述区域等价于，所以积分变换为故应选
B．[评注]关键在于先确定x和y的范围，再交换积分次序，确定y的范围时应注意，当时，y=sinx=sin(π一x)于是π一x=arcsiny，从而x=π—arc-siny 知识模块：重积分
15．(2006年试题，二)设f(x，y)为连续函数，则等于( )．
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：用排除法．若选择先y后x的积分顺序，则要分块积分．由于选项并未分块积分，故A,B错误．又其中D如图1一5—4所求，其极坐标表示为0≤r≤1，0≤θ≤现转换为先x后y的积分顺序：因为y=x与x2+y2=1在第一象限的交点为所以从而故选
C．知识模块：重积分
填空题
16．(2012年试题，二)设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则__________.
正确答案：将x=0代入方程x2+y+1=ey，得y=0，在方程x2一y+1=ey两端对x求一阶导，得2x—y’=y’ey，将x=0，y=0代入得y’(0)=0再在2x—y’=y’ey 两端对x求一阶导，得2一y’’=y’’ey+(y’)2ey，将x=0，y=0，y’(0)=0代入得y’’(0)=1，即涉及知识点：多元函数微分学
17．(2004年试题，一)设函数z=z(x，y)由方程x=e2x-3x+2y确定，则_________.
正确答案：由方程z=e2x-3x+2y两边分别对x，y求偏导得于是所以
解析：在函数f(x，y，z)中x,y，z都是相互独立的自变量，求隐函数偏导数有三种方法：按复合函数求导；代公式；利用全微分的形式不变性．知识模块：多元函数微分学
18．(2006年试题，三(20))设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数．且z=f 满足等式(I)验证(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1，求函数f(u)的表达式．
正确答案：(I)用复合函数求导法验证．令，则式(1)+式(2)，得(Ⅱ)因为(已证)，所以uf’’(u)+f’(u)=0，即[uf’(u)]’=0积分得uf’(u)=C1由f’(1)=1→C1=1，于是再积分得f(u)=In｜u｜+C2由f(1)=0→C2=0，所以f(u)=In｜u｜．涉及知识点：多元函数微分学
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19．(2012年试题，二)设。

其中函数f(u)可微，则
正确答案：涉及知识点：多元函数微分学
20．(2011年试题，三)设函数z=f(xy，yg(x))，其中函数厂具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x=1处取得极值g(1)=1,
正确答案：由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1，所以g’(1)=0．涉及知识点：多元函数微分学
21．(2010年试题，19)设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定a，b的值，使等式在变换ξ=x+ay，η=x+by下化简为
正确答案：由复合函数的求导法则可得又有等式，将上述各式代入可得因为简化后为故有解得又或(一2，一2)时，10ab+12(a+b)+8=0，舍去．从而满足题意的(a，b)为涉及知识点：多元函数微分学
22．(2009年试题，17)设z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与
正确答案：由z=f(x+y，x一y，xy)可得则=(f1’+f2’+f3’)dx+(f1’一f2’+xf3’)dy，=f11’’一f12’’+f13’’+f21’’一f22’’+xf23’’+f3’+y(f31’’一f32’’+xf33’’)=f3’+f11’’+(x+y)f13’’一f22’’+(x一y)f23’’+xyf33’’涉及知识点：多元函数微分学
23．(2008年试题，二)已知
正确答案：在的两边取对数得到在其两边对x求偏导数有将(x，y)=(1，2)代入可得涉及知识点：多元函数微分学
24．(2007年试题，二)设f(u，v)是二元可微函数，
正确答案：已知则于是涉及知识点：多元函数微分学
25．(2004年试题，三(7))设z=f(x2-y2，exy，其中f具有连续二阶偏导数，求
正确答案：由已知z=f(x2一y2，exy)，则涉及知识点：多元函数微分学
26．(2007年试题，20)已知函数f(u)具有二阶导数，且f’(0)=1，函数y=y(x)由方程y=xey-1=1所确定．设x=f(1ny—sinx)，求
正确答案：在y一xey-1=1中，令x=0，得y=1．由y—xey-1=1两边对x求导得y’一ey-1一xey-y’=0．再对x求导得y’’一ey-1y’一ey-1y’一xey-1y12一xey-1y’’=0将x=0，y=1代入上面两式得y’(0)=1,y’’(0)=2，故涉及知识点：多元函数微分学
27．(2008年试题，21)求函数u=x2+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值和最小值．
正确答案：令F(x，y，z)=x2+y2+z2+λ1(x2+y2一z)+λ2(x+y+z一4)，分别对各参数求导并令为0，得到如下方程组即有umax=(一2)2+(一2)2+82=72;umin=12+12+22=6[评注]先构造拉格朗日函数F(x，y，z，λ，u)=f(x，
y，z)+λφ(x，y，z)+uφ(x，y，z)，解出极值点后，直接代入目标函数计算函数值再比较大小确定相应的极值(或最值) 涉及知识点：多元函数微分学
28．(2005年试题，20)已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2，求f(x，y)在椭圆域上的最大值和最小值．
正确答案：根据题意，得(1)求f(x，y)的表达式．由已知有dz=dx2一dy2=d(x2一y2)→z=x2一y2+C又因为f(1，1)=2，所以C=2，从而z=f(x，y)=x2一y2+2(2)求f(x，y)在D内驻点及相应函数值，解得(x，y)=(0，0)，即f(x，y)在D内有唯一驻点(0，0)，且f(0，0)=2(3)求f(x，y)在D的边界y2=φ(1一x2)上的最大值和最小值．将y2=φ(1一x2)(｜x｜≤1)代入z=x2一y2+2得z(x)=x2一φ(1一x2)+2=5x2一2显然，z(x)在[一1，1]上的最大值为3，最小值为一2．综上所述，z=f(x，y)在D上的最大值是max{2，3，一2}=3，最小值是min{2，3，一2}=一2．
解析：[评注]根据全微分的表达式先求出要求极值的函数，然后再求极值．知识模块：多元函数微分学
29．(2011年试题，三)已知函f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0,f(x，1)=0y)dxdy=a其中D=｜(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分
正确答案：涉及知识点：重积分
30．(2006年试题．三(17))设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分
正确答案：依题意，如图1—5—2所示，D为右半单位圆，且关于x轴对称，所以所以令x=rcosθ，y=rsiinθ，作极坐标变换则有D1:，从而涉及知识点：重积分
31．(2008年试题，三(18))求二重积分其中D={(x1，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}．
正确答案：因为所以有涉及知识点：重积分
32．(2007年试题，三(22))设二元函数计算二重积分，其中D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤2}
正确答案：设区域D1={(x，y)｜x｜+｜y｜≤1}，D2={(x，y)｜1
解析：将区域D2转化为区域D减去D1，用以计算．比较简便，因为区域D和D1方便积分．知识模块：重积分
33．(2005年试题，三(21))计算二重积分其中D={(x，y)10≤x≤1，0≤y≤1}
正确答案：此题用分块积分法，如图1—5—3所示．在D中用分块积分法得而所以作极坐标变换求，I1：又所以涉及知识点：重积分
34．(2012年试题，三)计算二重积分，其中区域D为曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成
正确答案：令x=ρcosθ，y=ρsinθ≤θ≤π则涉及知识点：重积分
35．(2011年试题，二)设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所组成，则二重积分
正确答案：涉及知识点：重积分
36．(2010年试题，20)计算二重积分其中
正确答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则积分区域等价于则二重积分涉及知识点：重积分
37．(2009年试题，三(19))计算二重积分其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y—1)2≤2,y≥x}
正确答案：令x=ρcosθ，y=ρsinθ，其中0≤θ≤2π，则由(x一1)2+(y 一1)2≤2和y≥x可得0≤ρ≤2(sinθ+cosθ)且sinθ≥cosθ．由可解得所以涉及知识点：重积分。