2021-2022学年度强化训练华东师大版九年级数学下册第27章 圆综合练习试卷(含答案解析)

华东师大版九年级数学下册第27章 圆综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD ＝∠DEF ＝90°，AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A ，G ， H 三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（ ）
A B C ．D 2、如图，AB 与O 相切于点B ，连接OA 交O 于点C ，点D 为优弧BDC 上一点，连接DB ，DC ，若30BDC ∠=︒，O 的半径2OC =，则AB 的长为（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．1
3、在ABC 中，45B ∠=︒，6AB =，给出条件：①4AC =；②8AC =；③外接圆半径为4．请在给出的3个条件中选取一个，使得BC 的长唯一．可以选取的是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①或③
4、如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，点C 在O 上，且58ACB ∠=︒，则APB ∠等于（ ）
A ．54°
B ．58°
C ．64°
D ．68°
5、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A =20°，则∠D 等于（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．50°
D ．40°
6、如图，C 与AOB ∠的两边分别相切，其中OA 边与⊙C 相切于点P ．若90AOB ∠=︒，4OP =，则OC 的长为（ ）
A ．8
B ．
C ．
D ．7、如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦．50CAB ∠=，则∠D ＝（ ）度
A ．30
B ．40
C ．50
D ．60
8、如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 在对角线BD 上，以OB 为半径作O 交BC 于点E ，连接DE ；若DE 是O 的切线，此时O 的半径为（ ）
A ．716
B ．2110
C ．2116
D ．3516
9、如图，在ABC 中，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，O 的切线DE 交BC 于点E ，若30CAB ∠=︒，DE BC ⊥于点E 且1BE =，则O 的半径为（ ）．
A ．4
B ．
C ．2
D 10、如图，CD 是ABC 的高，按以下步骤作图：
（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点． （2）作直线GH 交AB 于点E ．
（3）在直线GH 上截取EF AE =．
（4）以点F 为圆心，AF 长为半径画圆交CD 于点P ．
则下列说法错误的是（ ）
A ．AE BE =
B ．GH CD ∥
C ．AB =
D ．45APB ∠=︒
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 为x 轴正半轴上一点．已知点)(0,2A ，)(0,8B ，M 为ABP △的外接圆．
（1）点M 的纵坐标为______；
（2）当APB ∠最大时，点P 的坐标为______．
2、如图，已知P 的半径为1，圆心P 在抛物线21
12
y x =-+上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的横坐标为______．
3、如图，已知菱形ABCD ，∠DAB ＝60°．AC 、BD 交于点O ，以O 为圆心，以DO 的长为半径画圆，与菱形相交，则图中阴影部分的面积为 ___．
4、两直角边分别为6、8，那么Rt ABC 的内接圆的半径为____________．
5、如图，若AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，58ABD ∠=︒，则BCD ∠=______．
6、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AB =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，两弧分别交AB 于点D 、F ，则图中阴影部分的面积是_________．
7、在同一平面上，O 外有一点P 到圆上的最大距离是8cm ，最小距离为2cm ，则O 的半径为______cm ．
8、如图，AB 是O 的直径，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ．若AC =30OAC ∠=︒，则图中阴影部分的面积为__．（结果保留)π
9、如图，正三角形ABC 的边长为a ，D 、E 、F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2
a 长为半径作圆，图中阴影部分面积为______．
10、有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________
三、解答题（5小题，每小题8分，共计40分）
1、如图1，对于PMN 的顶点P 及其对边MN 上的一点Q ，给出如下定义：以P 为圆心，PQ 长为半径的圆与直线MN 的公共点都在线段MN 上，则称点Q 为PMN 关于点P 的内联点．
在平面直角坐标系xOy 中：
(1)如图2，已知点()6,0A ，点B 在直线1
42y x =-+上．
①若点()4,2B ，点()4,0C ，则在点O ，C ，A 中，点______是AOB 关于点B 的内联点；
②若AOB 关于点B 的内联点存在，求点B 横坐标m 的取值范围；
(2)已知点()3,0D ，点()6,3E ，将点D 绕原点O 旋转得到点F ，若EOF △关于点E 的内联点存在，直接写出点F 横坐标n 的取值范围．
2、如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD BD =，AC 为直径，过点D 作BC 的垂线，垂足为E ．
(1)求证：CD 平分∠ACE ．
(2)若AC ＝9，CE ＝3，则CD 的长为 ．
3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，F 为AB 延长线上一点，连接CF ，DF ．
（1）若OE ＝3，BE ＝2，求CD 的长；
（2）若CF 与⊙O 相切，求证DF 与⊙O 相切．
4、如图，在平面直角坐标系中，ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到DEF ，其中A 、B 、C 分别和D 、E 、F 对应．
(1)请通过画图找出旋转中心M ，点M 的坐标为______．
(2)直接写出点A 经过的路径长为______．
5、如图，ABC 内接于圆O ，AB 为直径，CD AB ⊥与点D ，E 为圆外一点，EO AB ⊥，与BC 交于点G ，与圆O 交于点F ，连接EC ，且EG EC =．
(1)求证：EC 是圆O 的切线；
(2)当22.5ABC ∠=︒时，连接CF ，
①求证：AC CF =；
②若1AD =，求线段FG 的长．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM 再设,PQ x 利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.
【详解】 解：如图，记过A ，G ， H 三点的圆为,Q 则Q 是HG ，AG 的垂直平分线的交点，,QH QG QA 记,PM EF 的交点为,N ,HG PM 的交点为,M 延长AB 交QM 于,P PM 为HG 的垂直平分线，结合正方形的性质可得：,AP PM
四边形HGFE 为正方形，则,HG EF ∥
,,QM HG QM EF
设,PQ x 而AB ＝2，CD ＝3，EF ＝5，结合正方形的性质可得：
5,NQ x
而22
2,HM MQ HQ 115,5,5510,2
22HM HG EF MN EF MQ x x 222510,4
HQ x 又222,AQ PQ AP 而51523,22AP 22215
,2AQ x
2225
22510,44x x 解得：5,2
x 25225
250510.4442
AQ 故选A
【点睛】
本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A ，G ， H 三点的圆的圆心是解本题的关键.
2、B
【解析】
【分析】
连接OB ，根据切线性质得∠ABO =90°，再根据圆周角定理求得∠AOB =60°，进而求得∠A =30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：连接OB，
∵AB与O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠BDC=30°，
∴∠AOB=2∠BDC=60°，
在Rt△ABO中，∠A=90°－60°=30°，OB=OC=2，
∴OA=2OB=4，
∴2222
AB OA OB，
4223
故选：B．
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的锐角互余、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
3、B
【解析】
【分析】
画出图形，作AD BE
，交BE于点D．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出AD的长，再由AD和AC的长作比较即可判断①②；由前面所求的AD的长和AB的长，结合该三角形外接圆的半径长，即可判断该外接圆的圆心可在AB上方，也可在AB下方，其与AE的交点即为C点，为两点不唯
一，可判断其不符合题意．
【详解】
如图，45ABE ∠=︒，6AB =，点C 在射线AE 上．作AD BE ⊥，交BE 于点D ．
∵45ABE ∠=︒，
∴ABD △为等腰直角三角形，
∴42
BD AD AB ===>， ∴不存在4AC =的三角形ABC ，故①不符合题意；
∵6AB =，=AD AC =8，
而AC >6，
∴存在8AC =的唯一三角形ABC ，
如图，点C 即是．
∴8AC =，使得BC 的长唯一成立，故②符合题意；
∵4AD =>，68AB =<，
∴存在两个点C 使ABC 的外接圆的半径等于4，两个外接圆圆心分别在AB 的上、下两侧，如图，点Ｃ和C '即为使ABC 的外接圆的半径等于4的点．
故③不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外接圆的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
连接OB，OA，根据圆周角定理可得2116
∠=∠=︒，根据切线性质以及四边形内角和性质，
AOB ACB
求解即可．
【详解】
解：连接OB，OA，如下图：
∴2112AOB ACB ∠=∠=︒
∵PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点
∴90OBP OAP ∠=∠=︒
∴由四边形的内角和可得：36064APB OBP OAP AOB ∠=︒-∠-∠-∠=︒
故选C ．
【点睛】
此题考查了圆周角定理，切线的性质以及四边形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5、C
【解析】
【分析】
连接CO 利用切线的性质定理得出∠OCD =90°，进而求出∠DOC =40°即可得出答案．
【详解】
解：连接OC ，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=20°，
∴∠OCA=20°，
∴∠DOC=40°，
∴∠D=90°-40°=50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质以及三角形外角性质等知识，根据已知得出∠OCD=90°是解题关键．
6、C
【解析】
【分析】
如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接CP，
∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，
∴∠CPO=90°，∠COP=45°，
∴∠PCO=∠COP=45°，
∴CP=OP=4，
∴
OC=，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
由AB是⊙O的直径，推出∠ACB=90°，再由∠CAB=50°，求出∠B=40°，根据圆周角定理推出
∠D=40°．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∴∠D=40°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，余角的性质，关键在于推出∠A 的度数，正确的运用圆周角定理．
8、D
【解析】
【分析】
设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，根据等腰三角形性质BF EF =，根据四边形ABCD 为矩形，得出∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，可证BOF BDC ∽．得出BF BO BC BD
=，根据勾股定理
10BD ，代入数据810BF BO =，得出4455
BF EF OB r ===，根据勾股定理在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2
225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，根据DE 为O 的切线，利用勾股定理()2
22222618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝，解方程即可． 【详解】
解：设O 半径为r ，如解图，过点O 作OF BE ⊥，
∵OB =OE ，
∴BF EF =，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠C =90°=∠OFB ，∠OBF =∠DBC ，
∴BOF BDC ∽． ∴BF BO BC BD
=， ∵6,8AB AD ==，
∴10BD ==， ∴
810BF BO =，
∴4455
BF EF OB r ===， ∴885
EC r =-． 在Rt DCE 中，222EC CD DE +=，即2
225688r DE ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=， 又∵DE 为O 的切线，
∴OE DE ⊥， ∴()2
2222
2618850E E r r O D r ⎛⎫+=++=⎭-- ⎪⎝， 解得3516
r =或0（不合题意舍去）． 故选D ．
【点睛】
本题考查矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线，勾股定理，一元二次方程，掌握矩形性质，等腰三角形性质，圆的切线性质，勾股定理，一元二次方程，矩形性质，等腰三角形性质，圆的半径相等，勾股定理，一元二次方程，是解题关键．
9、C
【解析】
【分析】
连接OD 、BD ，利用三角形外角的性质得到∠BOD =60°，证得△BOD 是等边三角形，再利用切线的性质以及含30度角的直角三角形的性质求得BD =2BE =2，即可求解．
【详解】
解：连接OD、BD，
∵∠CAB=30°，OD=OA，
∴∠CAB=∠ODA=30°，
∴∠BOD=∠CAB+∠ODA=60°，
∵OD=OB，
∴△BOD是等边三角形，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠BDE=30°，
∵DE⊥BC于点E且BE=1，
∴BD=2BE=2，
∴OB=BD=2，
即⊙O的半径为2，
故选：C．
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线，灵活应用定理是解决问题的关键．
10、C
【解析】
【分析】
连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，再根据EF AE =可得∠AFE =45°，进而得出∠AFB ＝90°，根据等腰直角三角形和圆周角定理可判断哪个结论正确．
【详解】
解：连接AF 、BF ，由作法可知，FE 垂直平分AB ，
∴AE BE =，故A 正确；
∵CD 是ABC 的高，
∴GH CD ∥，故B 正确；
∵EF AE =，AE BE =，
∴2AB EF =，故C 错误；
∵EF AE =，
∴∠AFE =45°，
同理可得∠BFE =45°，
∴∠AFB ＝90°，
1452
APB AFB ∠=∠=︒，故D 正确； 故选：C ．
【点睛】
本题考查了作垂直平分线和圆周角定理，解题关键是明确作图步骤，熟练运用垂直平分线的性质和圆周角定理进行推理证明．
二、填空题
1、 5 (4，0)
【解析】
【分析】
（1）根据点M 在线段AB 的垂直平分线上求解即可；
（2）点P 在⊙M 切点处时，APB ∠最大，而四边形OPMD 是矩形，由勾股定理求解即可．
【详解】
解：（1）∵⊙M 为△ABP 的外接圆，
∴点M 在线段AB 的垂直平分线上，
∵A (0，2)，B (0，8)，
∴点M 的纵坐标为：
8252
+=， 故答案为：5；
（2）过点)(0,2A ，)(0,8B ，作⊙M 与x 轴相切，则点M 在切点处时，APB ∠最大，
理由：
若点P'是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，
设AP'交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，
∵∠AEB是ΔA P'E的外角，
∴∠AEB>∠A P'B，
∵∠APB>∠A P'B，即点P在切点处时，∠APB最大，
∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，
∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，
∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，
设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=1
2
AB=3，BM=MP=5，
而∠POD=90°，
∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，由勾股定理，得
MD4
=，
∴OP=MD=4，
∴点P的坐标为(4，0)，
故答案为：(4，0)．
【点睛】
本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．
2、2或2
-或0
【解析】
【分析】
当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．
【详解】
x2+1，x=0．
解：当y=1时，有1=-1
2
x2+1，x=2±．
当y=-1时，有-1=-1
2
故答案是：2或2
-或0．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标．
3、6π##16
π
【解析】
【分析】
根据菱形的性质，求出圆的半径和相应扇形圆心角的度数，再根据面积之间的关系进行计算即可．
【详解】
解：如图，连接OE ，OA 与O 相交于点F ，
菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，
30DAO BAO ∴∠=∠=︒，AC BD ⊥，
903060OBE ∴∠=︒-︒=︒，
12OB OE BE AB ∴==== BOE OBE S S S ∆∴=-阴影部分①扇形
260
123602π⨯=-
12π
=
AOB BOE EOF S S S S ∆∆=--阴影部分②扇形
230
112
22360π⨯=--
24
π， ()4S S S ∴=⨯+阴影部分阴影部分①阴影部分②
4()1224
ππ=⨯
6π
=， 故答案为：6π
．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法，等边三角形的判定和菱形的性质是正确计算的前提．
4、5
【解析】
【分析】
直角三角形外接圆的直径是斜边的长．
【详解】
解：由勾股定理得：AB ，
∵∠ACB =90°，
∴AB 是⊙O 的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10，
∴这个三角形的外接圆半径长为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．
5、32︒##32度
【解析】
【分析】
先根据AB 是O 的直径得出90ADB ∠=︒，故可得出∠A 的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解： AB 为直径，
90ADB ∴∠=︒，
58ABD ∠=︒，
905832A ∴∠=︒-︒=︒，
BCD ∠和A ∠都是BD 所对圆周角，
32BCD ∴∠=︒．
故答案为：32︒．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角等于90°，解题的关键是熟知在同圆和等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．
6、512π-【解析】
【分析】
根据直角三角形30度角的性质及勾股定理求出AC 、BC ，∠A =60°，利用扇形面积公式求出阴影面积．
【详解】
解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AB =，
∴AC =1，
BC ==A =60°，
∴图中阴影部分的面积=ABC CAD CBE S S S
+-扇形扇形
=2601113602π⨯⨯
=512π
故答案为：
512π 【点睛】
此题考查了直角三角形30度角的性质，勾股定理，扇形面积的计算公式，直角三角形面积公式，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
7、5或3##3或5
【解析】
【分析】
分点P 在圆内或圆外进行讨论．
【详解】
解：①当点P 在圆内时，⊙O 的直径长为8+2=10（cm ），半径为5cm ；
②当点P 在圆外时，⊙O 的直径长为8-2=6（cm ），半径为3cm ；
综上所述：⊙O 的半径长为 5cm 或3cm ．
故答案为：5或3．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8、83
π
【解析】
【分析】
连接OC ．根据圆周角定理即可求得260COD OAC ∠=∠=︒，根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余，求得30D ∠=︒，即可证明AC CD =，再根据阴影部分的面积即为Rt ΔOCD 的面积减去扇形OCB 的面积，计算即可．
【详解】
解：连接OC ．
∵∠OAC =30°．
260COD OAC ∴∠=∠=︒． DC 切O 于点C ，
OC DC ∴⊥．
90OCD ∴∠=︒，
30D ∴∠=︒．
OAC D ∴∠=∠．
AC DC ∴==
在Rt ΔOCD 中，tan OC D CD ∠=
，
4OC ∴=
，
Δ11422OCD S CD OC =⋅=⨯=260483603
COB S ππ⋅⨯==扇形，
Δ83
OCD COB S S S π∴=-=阴影扇形，
故答案为83π．
【点睛】
本题主要考查切线的性质及扇形面积的计算，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
9、2π8a ⎫-⎪⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】 阴影部分的面积等于等边三角形的面积减去三个扇形面积，而这三个扇形拼起来正好是一个半径为
2
a 半圆的面积，即阴影部分面积=等边三角形面积−半径为2a 半圆的面积，因此求出半圆面积，连接AD ，则可求得AD 的长，从而可求得等边三角形的面积，即可求得阴影部分的面积．
【详解】
连接AD ，如图所示
则AD ⊥BC
∵D 点是BC 的中点 ∴1
122
BD BC a == 由勾股定理得22221322AD AB BD a a a ∴211332224
ABC S BC AD a a a ∵S 半圆=22111228
a a ∴S 阴影=S △ABC −S 半圆22233
4848a a a 故答案为：23
48a 【点睛】
本题是求组合图形的面积，扇形面积及三角形面积的计算．关键是把不规则图形面积通过割补转化为规则图形的面积计算．
10、在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.
【解析】
【分析】
如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.
【详解】
解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C
连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.
故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.
【点睛】
本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键.
三、解答题
1、 (1)①C ，A
②06m ≤≤
(2)0n ≤≤125
n ≤≤ 【解析】
【分析】
（1）①由内联点的定义可知C ，A 满足条件
②结合图象可知当点B 为圆心的圆与AO 线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故06m ≤≤时均符合题意．
（2）由（1）问可知，当OE 与OF ，或OF 与EF 垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可
作图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得0n ≤≤125
n ≤≤ (1)
①如图所示，由图像可知C ，A 点是AOB 关于点B 的内联点
②如图所示，当点B 为圆心的圆与AO 线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义
故06m ≤≤．
(2)
如图所示，以O 为圆心的圆O 为点F 点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO 或∠FOE 为90°时，EOF △关于点E 的内联点存在且只有一个，故当F 点运动到12F F 和34
F F 的范围内时，EOF △关于点E 的内联点存在．
设F 点坐标为（x ，y ），则229x y +=，由图象即题意知
当F 点在1F 点时，11OF EF ⊥，即111OF EF k k ⋅=-有
10F x =，13F y =
当F 点在2F 点时，2OF EO ⊥，即21OF EO k k ⋅=-有
22222OF EO EF +=
即222+=
当F 点在3F 点时，3OF EO ⊥，即31OF EO k k ⋅=-有
22233OF EO EF +=
即222+=
解得x =x =
故3F x =2F x = 当F 点在4F 点时，44OF EF ⊥，
22244OF EF OE +=
即222+=
化简得2263x y x y +=-
且14OE F F ⊥
即14
1OE F F k k ⋅=- 即33160
y x -⋅=-- 化简得23y x =-+
联立2263x y x y +=- 解得125x =
或x =0 故4125
F x =
综上所述，F 点的横坐标n 取值范围为0n ≤≤125
n ≤≤．
【点睛】
本题考查了有关圆和三角形的新定义概念的综合题目，结合题意作出图象，运用数形结合的思想，熟练应用勾股定理以及斜率是解题的关键．
2、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质和同角的补角相等可得：∠BAD=∠DCE，再根据AD BD
=可得：
∠BAD=∠ACD，即可证得结论；
∆∆，根据相似三角形的性质可得结论．
（2）证明ACD DCE
(1)
证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE +∠BCD =180°，
∴∠BAD =∠DCE ，
∵AD BD =，
∴∠BAD =∠ACD ，
∴∠ACD =∠DCE ，
∴CD 平分∠ACE ；
(2)
∵DE CE ⊥
∴90DEC ∠=︒
∵AC 是⊙O 的直径
∴90ADC ∠=︒
∴ADC DEC ∠=∠
由（1）知CD 平分∠ACE
∴ACD DCE ∠=∠
∴ACD DCE △△ ∴AC CD CD CE
= ∴29327CD AC CE ==⨯=
∴CD =
故答案为：【点睛】
本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解答本题的关键．
3、（1）8；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，利用勾股定理求解CE ＝4，再利用垂径定理可得答案；
（2）证明90,,OCF CF DF 再证明,OCF ODF ≌ 可得90,ODF
从而可得结论.
【详解】
（1）解：连接OC ，
∵CD ⊥AB ，
∴CE ＝DE ，
∴OC ＝OB ＝OE ＋BE ＝3＋2＝5，
在Rt△OCE 中，∠OEC ＝90°，由勾股定理得：CE 2＝OC 2－OE 2，
∴CE2＝52－32，
∴CE ＝4，
∴CD ＝2CE ＝8.
（2）解：连接OD ，
∵CF与⊙O相切，
∴∠OCF＝90°，
∵CE＝DE，CD⊥AB，
∴CF＝DF，
又OF＝OF，OC＝OD，
∴△OCF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OCF＝90°，即OD⊥DF．
又D在⊙O上，
∴DF与⊙O相切．
【点睛】
本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，切线的性质与判定，证明△OCF≌△ODF得到∠ODF＝∠OCF＝90°是解本题的关键.
-
4、 (1)(1,1)
π
(2)3
2
【解析】
【分析】
（1）根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，可得结论．
（2）根据A 经过的路径长为以M 为圆心，3为半径的圆周长的14
即可求解． (1)
解：连接,AD BE ，分别作,AD BE 的垂直平分线交点M 即为所求，如下图：
(1,1)M ∴-，
故答案是：(1,1)-；
(2)
解：由题意及下图，
知点A 经过的路径长为以M 为圆心，3为半径的圆周长的14
， ∴点A 经过的路径长为：1
3242
r ππ⨯=， 故答案是：
32π．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是理解旋转中心是对应点连线段的垂直平分线的交点．
5、 (1)见解析
(2)①见解析；②2
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，根据OC OB =，可得OCB B ∠=∠，再由EO AB ⊥，EG EC =，可得
90OCB ECG B OGB ∠+∠=∠+∠=︒，即可求证；
（2）①根据圆周角定理，可得45AOC ∠=︒，再由EO AB ⊥，可得45COF ∠=︒，从而得到AC CF =，即可求证；
②作CM OE ⊥于M ，根据AB 为直径，可得90ACB ∠=︒，从而得到67.5A OGB ∠=∠=︒，再由45COF ∠=︒，OC OF =，可得GFC FGC ∠=∠，进而得到FM GM =，再由角平分线的性质定理，可得CD CM =，从而得到Rt ACD Rt FCM ≌△△，即可求解．
(1)
证明：如图，连接OC ，
∵OC OB =，
∴OCB B ∠=∠，
∵EO AB ⊥，
∴90OGB B ∠+∠=︒，
∴ECG EGC ∠=∠，
∵EGC OGB ∠=∠，
∴90OCB ECG B OGB ∠+∠=∠+∠=︒，
OC CE ∴⊥，
∴EC 是圆O 的切线；
(2)
①证明：∵22.5ABC ∠=︒，OCB B ∠=∠，
∴45AOC ∠=︒，
∵EO AB ⊥，
∴45COF ∠=︒，
∴AC CF =，
∴AC CF =；
②作CM OE ⊥于M ， AB 为直径，
∴90ACB ∠=︒，
∵22.5ABC ∠=︒，90GOB ∠=︒，
∴67.5A OGB ∠=∠=︒，
∴67.5FGC ∠=︒，
∵45COF ∠=︒，OC OF =，
∴67.5OFC OCF ∠=∠=︒，
∴GFC FGC ∠=∠，
∴FM GM =，
∵AOC COF ∠=∠，CD OA ⊥，CM OF ⊥，
∴CD CM =，
在Rt ACD △和Rt FCM △中，
∵AC GF CD CM
=⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACD Rt FCM HL ≌△△，
∴1FM AD ==，
∴22FG FM ==．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理，圆内接三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，角平分线的性质定理等知识熟练掌握相关知识点是解题的关键．。