台州市初中数学向量的线性运算真题汇编附答案

台州市初中数学向量的线性运算真题汇编附答案
一、选择题
1．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
的结果是（ ）．
A ．CA u u u r
B ．A
C u u u r C ．0r
D ．A
E u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r
AC =u u u r ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
2．如图，ABCD Y 中，E 是BC 的中点，设AB a,AD b ==u u u r r u u u r r ，那么向量AE u u u r 用向量a b
r r 、表示为（ ）
A ．12a b +r r
B ．12a b -r r
C ．12
a b -+r
r
D ．12
a b --r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，只要求出BE u u u r
即可解决问题. 【详解】
解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，
AD BC AD BC ∴∥，＝， BC AD b ∴==u u u r u u u r r ，
BE CE Q ＝，
1BE b 2∴=u u u r r ，
AE AB BE,AB a =+=u u u r u u u r u u u r u u u r r Q ， 1AE a b 2
∴=+u u u r r r ，
故选：A. 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.
3．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．3a b =r r
B ．3a b =-r r
C ．3b a =r r
D ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】
∵1,3a b ==v v
，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.
故选D ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
4．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反，可得两者的关系，即可求解.
【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反 ∴
32
a b =-v v 故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
5．若0a r
、0b r
都是单位向量，则有（ ）．
A ．00a b =r r
B ．00a b =-r r
C ．00a b =r r
D ．00a b =±r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由0a r 、0b r 都是单位向量，可得00a b =r r
．注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】
解：∵0a r
、0b r 都是单位向量
∴00a b =r r
故选C. 【点睛】
本题考查了平面向量的知识．注意掌握单位向量的定义．
6．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r r
B ．00a ⋅=r
C ．()
a b b a -=--r
r r r
D ．km k m =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】
解：A. 0a a -=r
r r
，故本选项错误； B. 00a ⋅=r
r
，故本选项错误；
C. ()
a b b a -=--r
r r r ，故本选项正确；
D. km k m =⋅r r
，故本选项错误.
故选：C. 【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
7．如图，ABCD □对角线AC 与BD 相交于点O ，如果AB m =u u u r u r ，AD n =u u u r r
，那么下列
选项中，与向量()
12
m n +u
r r 相等的向量是（ ）.
A ．OA u u u r
B ．OB uuu r
C ．OC u u u r
D ．OD uuu r
【答案】C 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形根据平行四边形法则，可求得BC AD n ==u u u r u u u r r
，然后由三角形法则，求得AC u u u r 与BD u u u r
，继而求得答案． 【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC AD n ==u u u r u u u r r
，
∴AC u u u r ＝AB BC m n +=+u u u r u u u r u r r ，=BD AD AB n m -=-u u u r u u u r u u u r r u r
，
∴()11=-22OA AC m n =-+u u u r u u u r u
r r ，()
11=22
OC AC m n =
+u u u r u u u r u r r ()
11=-22OB BD n m =--u u u r u u u r r u
r ，()
11=22OD BD n m =-u u u r u u u r r u r
故选：C ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握三角形法则与平行四边形法则的应用是解此题的关键．
8．如果向量a r 与单位向量e r 的方向相反，且长度为3，那么用向量e r 表示向量a r
为（ ）
A ．3a e =v v
B ．3a e =-v v
C ．3e a =v v
D ．3e a =-v v
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义解答即可． 【详解】
解：∵向量e r 为单位向量，向量a r 与向量e r
方向相反， ∴3a e r r =-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，已知△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G ，设
，
，则向量
关于
、的分解式表示正确的为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
由△ABC 中，两条中线AE 、CF 交于点G 可知，，求出的值即可解答.
【详解】 ∵ ∴ ∵
∴
故本题答案选B. 【点睛】
本题考查向量的减法运算及其几何意义，是基础题．解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用．
10．下列说法中，正确的是（ ）
A ．如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0
B ．如果e r 是单位向量，那么e r
＝1
C ．如果|b r |＝|a r |，那么b r ＝a r 或b r ＝﹣a r
D ．已知非零向量a r ，如果向量b r ＝﹣5a r
，那么a r ∥b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】
解：A 、如果k ＝0，a r 是非零向量，那么k a r ＝0，错误，应该是k a r ＝0r
．
B 、如果e r 是单位向量，那么e r
＝1，错误．应该是e r ＝1．
C 、如果|b r
|＝|a r
|，那么b r
＝a r
或b r
＝﹣a r
，错误．模相等的向量，不一定平行． D 、已知非零向量a r
，如果向量b r
＝﹣5a r
，那么a r
∥b r
，正确． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.
11．已知a r
、b r
、c r
都是非零向量，下列条件中，不能判断//a b r
r
的是（ ）
A ．a b =r r
B ．3a b =r
r
C ．//a c r r
，//b c r r
D ．2,2a c b c ==-r
r
r r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平行向量的定义（两个向量方向相同或相反，即为平行向量）分析求解即可求得答案． 【详解】
解：A 、||||a b =r r
只能说明a r 与b r 的模相等，不能判定a r ∥b r ，故本选项符合题意;
B 、3a b =r r 说明a r 与b r 的方向相同，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意;
C 、a r ∥c r ，b r ∥c r ，能判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意;
D 、2a c =r r ，2b c =-r r 说明a r 与b r 的方向相反，能判定a r ∥b r ，故本选项不符合题意．
故选：A ． 【点睛】
此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握平行向量与向量的模的定义是解此题的关键．
12．下列说法不正确的是( ) A ．设e r
为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，那么这个四边形一定是平行四
边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设e r
为单位向量，那么||1e =r ，此选项说法正确；
B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正
确；
C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，即AD=BC ，不能判定这个四边形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
13．在ABCD Y 中，AC 与BD 相交于点O ，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么OD uuu r
等于（ ）
A ．1122a b +r r
B ．1122a b --r r
C ．1122a b -r r
D ．1122a b -+r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得12
OD BD =u u u r u u u r ，，又由BD BA AD =+u u u r u u u r u u u r
，即可求得
OD uuu r
的值．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD=
1
2
BD ， ∴12OD BD =u u u r u u u r ，
∵BD BA AD a b =+=-+u u u r u u u r u u u r r r ， ∴12OD BD =u u u r u u u r =111()222
a b a b -+=-+r r r r
故选：D ． 【点睛】
此题考查了向量的知识．解题时要注意平行四边形法则的应用，还要注意向量是有方向的．
14．已知点C 在线段AB 上，3AC BC =，如果AC a =u u u r r ，那么BA u u u r 用a r
表示正确的是（ ）
A ．34
a r
B ．34a -r
C ．43a r
D ．43
a -r
【答案】D
【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】
∵点C 在线段AB 上，3AC BC =，AC a =u u u r r
，
∴BA=
4
3
AC ， ∵BA u u u r 与AC u u u
r 方向相反， ∴BA u u u r =43
a -r ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键.
15．已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r ，那么向量a r 与b r
的方向关系是（ ） A ．a r
∥b r
，并且a r 和b r
方向一致 B ．a r ∥b r ，并且a r 和b r
方向相反 C ．a r 和b r
方向互相垂直 D ．a r 和b r
之间夹角的正切值为5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平行向量的性质解决问题即可． 【详解】
∵已知a r ，b r 为非零向量，如果b r ＝﹣5a r
， ∴a r ∥b r ，a r 与b r
的方向相反， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
16．已知e r 是单位向量，且2,4a e b e =-=v v v v
，那么下列说法错误的是（ ）
A ．a r
∥b r
B ．|a r |=2
C ．|b r |=﹣2|a r |
D ．a r =﹣12
b r
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：∵e v 是单位向量，且2a e =-v v ，4b e =v v ，
∴//a b v v ，2a =v ，
4b =v ， 12
a b =-v v ， 故C 选项错误，
故选C.
17．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，下列
式子中正确的是（ ）
A ．DC a b =+u u u r r r
B ．D
C a b =-u u u r r r
； C ．DC a b =-+u u u r r r
D ．DC a b =--u u u r r r
．
【答案】C 【解析】 【分析】
由平行四边形性质，得DC AB =u u u r u u u r ，由三角形法则，得到OA AB OB +=u u u r u u u r u u u r
，代入计算即可得到答案. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC AB =u u u r u u u r
，
∵OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r
，
在△OAB 中，有OA AB OB +=u u u r u u u r
u u u r ， ∴AB OB OA b a a b =-=-=-+u u u r u u u r u u u r r
r r
r
， ∴DC a b =-+u u u r
r r
； 故选择：C. 【点睛】
此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
18．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r
的是（ ）
A ．=a b r r
B ．a r ∥c r ，b r ∥c r
C ．a +b r ＝0
D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】
解：A 、该等式只能表示两a r 、b r
的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12
c r
，则a r 、b r 的方向相反，可
以判定a r ∥b r
，故本选项不符合题意；
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.
19．若a v ＝2e v ，向量b v 和向量a v 方向相反，且|b v |＝2|a v
|，则下列结论中不正确的是
（ ） A ．|a v
|＝2 B ．|b v
|＝4
C ．b v
＝4e v
D ．a v
＝12
b v -
【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件可以得到：b v
＝﹣4e v
，由此对选项进行判断．
【详解】
A 、由a v ＝2e v 推知|a v |＝2，故本选项不符合题意．
B 、由b v ＝-4e v
推知|b v |＝4，故本选项不符合题意．
C 、依题意得：b v ＝﹣4e v
，故本选项符合题意．
D 、依题意得：a v
＝-12
b v
，故本选项不符合题意． 故选C ． 【点睛】
考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
20．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r
可以用点P 的坐标
表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r
，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r
互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()01
3,2019,3,1OC OD -==-u r u r B
．
))
1,1,1,1OE OF =u r u r
C
．(
()
21,,82OG OH ⎛
⎫= ⎪
⎝⎭
u r u r D
．
,OM +⎭
u r
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可．
【详解】
A.()1033
201910-⨯-+⨯=，正确；
B.))11112⨯+⨯=，错误；
C.(21842+⨯=，错误；
D.))222⨯+=，错误； 故答案为：A ．
【点睛】
本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．。