最新高考数学(文)一轮总复习模拟演练 第6章 不等式、推理与证明 6-3及答案

(时间：40分钟)
1．若x ，y 满足⎩⎨⎧
2x －y ≤0，
x ＋y ≤3，
x ≥0，
则2x ＋y 的最大值为( )
A ．0
B ．3
C ．4
D ．5
答案 C
解析 画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1,2)时，z 最大，z max ＝4.故选C.
2．设关于x ，y
的不等式组⎩⎨⎧
2x －y ＋1>0，
x ＋m <0，
y －m >0
表示的平面区域内存在点
P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，43
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，13
C.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－23
D.⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－53
答案 C
解析 图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝1
2
x －1上的点，只
需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m <－12m －1，即m <－2
3.
故选C.
3．已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥x ，
x ＋y ≤2，
x ≥m ，
且z 的最大值是最小值的4
倍，则m 的值是( )
A.17
B.16
C.15
D.14 答案 D
解析 画出线性约束条件
⎩⎨⎧
y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m
的可行域，如图阴影部分所示．由可行域知：目标函z ＝
2x ＋y 过点(m ，m )时有最小值，z min ＝3m ；过点(1,1)时有最大值，z max ＝3，因为z
的最大值是最小值的4倍，所以3＝12m ，即m ＝1
4
.
4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A ．50,0
B ．30,20
C ．20,30
D ．0,50 答案 B
解析 设种植黄瓜x 亩，种植韭菜y 亩，因此，原问题转为在条件
⎩⎨⎧
x ＋y ≤50，
1.2x ＋0.9y ≤54，x ≥0，y ≥0
下，
求z ＝0.55×4x ＋0.3×6y －1.2x －0.9y ＝x ＋0.9y 的最大值．画出可行域如图．利用线性规划知识可知，当x ，y 取⎩⎨
⎧
x ＋y ＝50，1.2x ＋0.9y ＝54
的交点(30,20)时，
z 取得最大值．故选B.
5．变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
y ≥－1，
x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，
若使z ＝ax ＋y 取得最大值的
最优解有无穷多个，则实a 的取值集合是( )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1} 答案 B
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与
x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，
∴a ＝－1或a ＝3.
6．不等式组⎩⎨⎧
x ＋y －2≥0，
x ＋2y －4≤0，
x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为________．
答案 4
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12
×2×(2＋2)＝4.
7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y －2≥0，
x －y －2≤0，
y ≥1，
则目标函z ＝x ＋2y 的最
小值为________．
答案 3
解析 画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．
由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，作直线l ：y ＝－1
2
x ，平移l ，由图形可知当
l 经过可行域中的点A (1，1)时，z 取最小值，所以z min ＝1＋2×1＝3.
8．设变量x ，y 满足⎩⎨⎧
x －y ≤10，
0≤x ＋y ≤20，
0≤y ≤15，
则2x ＋3y 的最大值为________．
答案 55
解析 不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函变为y ＝－2
3x
＋z
3
，因此截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于⎩⎨
⎧
x ＋y ＝20，y ＝15
⇒⎩⎨
⎧
x ＝5，y ＝15，
故点A 的坐标为(5,15)，代入z ＝2x ＋3y ，
得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.
9．当x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥0，
y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为负常)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．
解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．
当直线y ＝－13x ＋1
3
z 经过区域中的点A 时，截距最大．
⎩2x ＋y ＋k ＝0，得x ＝y ＝－k
3
.
∴点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－k
3，－k 3， 则z 的最大值为－k
3＋3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－k 3＝－43k ，
令－
4k
3
＝12，得k ＝－9. ∴所求实k 的值为－9.
10．变量x ，y 满足⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0，
3x ＋5y －25≤0，
x ≥1.
(1)设z ＝y x
，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；
(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．
解 由约束条件
⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1
作出(x ，y )的可行域如图所示．
⎩3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎨
⎧ x ＝1，
x －4y ＋3＝0，
解得C (1,1)．
由⎩⎨
⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，
解得B (5,2)．
(1)因为z ＝y x ＝y －0
x －0，所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．
观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5
.
(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29，所以2≤z ≤29.
(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，
d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝－3－
2
＋－
2
＝8.所以16≤z ≤64.
(时间：20分钟)
11．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ≥2，
3x －y ≥1，
y ≥x ＋1，
则下列不等式恒成立的是( )
A ．x ≥3
B ．y ≥4
C ．x ＋2y －8≥0
D ．2x －y ＋1≥0
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图象可知x ≥2，
y ≥3，A 、B 错误；点(3,8)在可行域内，但不满足2x －y ＋1≥0，D 错误；设z ＝x ＋2y ，y ＝－12x ＋1
2
z ，由图象可知当其经过点(2,3)时，z 取得最小值8.
12．设不等式组⎩⎨⎧
2x ＋y ≥2，
x －2y ≥－4，
3x －y ≤3
所表示的平面区域为M ，若函y ＝k (x
＋1)＋1的图象经过区域M ，则实k 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ． D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－12，1
答案 D
解析 画出不等式组
⎩⎨⎧
2x ＋y ≥2，x －2y ≥－43x －y ≤3
，所表示的平面区域M ，如图中阴影部分所示，函y ＝k (x
＋1)＋1的图象表示一条经过定点P (－1,1)的直线，当直线经过区域M 内的点
A (0,2)时斜率最大，为1，当直线经过区域M 内的点
B (1,0)时斜率最小，为－12
，
故实k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，1，选D.
13．若变量x ，y 满足⎩⎨
⎧
|x |＋|y |≤1，
xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．
答案
解析 作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1,0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为．
14．某肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮．
(1)用x ，y 列出满足生产条件的学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．
解 (1)由已知，x ，y 满足的学关系式为
⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，
3x ＋10y ≤300，
x ≥0，y ≥0.
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：
(2)设利润为z 万元，则目标函为z ＝2x ＋3y .
考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23
，随z 变的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3
取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3
最大，即z 最大． 解方程组⎩⎨⎧ 4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．
所以z max ＝2×20＋3×24＝112.
答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。