河北省石家庄市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析

河北省石家庄市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）
A．64
81
B．
32
27
C．
8
9
D．16
27
【答案】B
【解析】
【分析】
根据循环语句，输入1
x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】
输入1
x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第1次循环：
2
3
x=，24
i=<，不满足判断条件；
第2次循环：
8
9
x=，34
i=<，不满足判断条件；
第4次循环：
32
27
x=，44
i=≥，满足判断条件；输出结果
32
27
x=.
故选：B
【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳
出循环的判定语句，本题较为基础.
2．
2020
1i i
=-（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．1
4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘方和除法法则将复数2020
1i i
-化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.
【详解】
()
505
2020
4505
1
1i
i
===，
()()20201111
111122
i i i i i i i +===+---+，
因此，202012i i ==
-. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ）
A ．3
B ．3
C D ．
32
【答案】D 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于
P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()2
6399y x =-+≥，进而得到所求最小值.
【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值． 设(),P x y ，则()
()2
2
33y x y =
-+-，化简得：()2
3690x y --+=，
则()2
6399y x =-+≥，解得：32
y ≥
， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32
. 故选：D . 【点睛】
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.
4．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
2()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式
(34)5f x +>-的解集为（ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,)-+∞
C ．(,2)-∞-
D ．(2,)-+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由(0)0f =可得1a =，所以2
2()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+
增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决. 【详解】
因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，
22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以
()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，
故有342x +>-，解得2x >-. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题. 5．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
≤≤ ⎪⎝
⎭
个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．
12
π B ．
6
π C ．
3
π D ．
4
π 【答案】D 【解析】 【分析】
利用三角函数的图象变换求得函数的解析式，再根据三角函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
将将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位长度， 可得函数()sin[2()]sin(22)g x x x ϕϕ=+=+ 又由函数()g x 为偶函数，所以2,2
k k Z π
ϕπ=+∈，解得,4
2
k k Z π
π
ϕ=
+
∈， 因为02
π
ϕ≤≤，当0k =时，4
π
ϕ=
，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且
1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（ ）
A ．01a <<或a =
B ．1a <<
C ．01a <<或1
e a e = D ．01a <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不动点的定义，利用换底公式分离参数可得ln ln x
a x =；构造函数()ln x g x x
=，并讨论()g x 的单调性与最值，画出函数图象，即可确定a 的取值范围. 【详解】
由log a x x =得，ln ln x
a x
=
.
令()ln x
g x x =
， 则()2
1ln x
g x x -'=
， 令()0g x '=，解得x e =，
所以当()0,x e ∈时，()0g x '>，则()g x 在()0,e 内单调递增； 当(),x e ∈+∞时，()0g x '<，则()g x 在(),e +∞内单调递减； 所以()g x 在x e =处取得极大值，即最大值为()ln 1
e g e e e
==， 则()ln x
g x x
=
的图象如下图所示：
由()f x 有且仅有一个不动点，可得得ln 0a <或1ln a e
=， 解得01a <<或1
e a e =. 故选：C 【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，由导数确定函数的单调性与最值，分离参数法与构造函数方法的应用，属于中档题.
7．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>
C ．()()2
2
112a b -+-< D ．228a b +>
【答案】C 【解析】 【分析】
根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；
∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；
∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；
()()
()()23222
2
3211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；
∵()()()2
2
232223log log 2log 2323log 2a b =+++++
232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确
故C ． 【点睛】
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式
222a b ab +≥的应用，属于中档题
8．已知等差数列{}n a 的公差为2-，前n 项和为n S ，1a ，2a ，3a 为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120︒，若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则实数m =（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
若n m S S ≤对任意的*n ∈N 恒成立，则m S 为n S 的最大值，所以由已知，只需求出n S 取得最大值时的n 即可. 【详解】
由已知，1a >2a >30a >，又三角形有一个内角为120︒，所以222
12323a a a a a =++，
22211111(2)(4)(2)(4)a a a a a =-+-+--，解得17a =或12a =（舍），
故2(1)
7(2)82
n n n S n n n -=+⨯-=-+，当4n =时，n S 取得最大值，所以4m =. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.
9．已知集合{|M x y =，2{|40}N x N x =∈-≥，则M N ⋂为( ) A ．[1,2] B ．{0,1,2}
C ．{1,2}
D ．(1,2)
【答案】C 【解析】 【分析】
分别求解出,M N 集合的具体范围，由集合的交集运算即可求得答案. 【详解】
因为集合{}|1M x x =≥，{}
{}220,1,2N x N x =∈-≤≤=， 所以{}1,2M N =I 故选：C 【点睛】
本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算，考查基本运算能力. 10．若非零实数a 、b 满足23a b =，则下列式子一定正确的是（ ） A ．b a > B ．b a < C ．b a < D ．b a >
【答案】C 【解析】 【分析】
令23a b t ==，则0t >，1t ≠，将指数式化成对数式得a 、b 后，然后取绝对值作差比较可得． 【详解】
令23a
b
t ==，则0t >，1t ≠，2lg log lg 2t a t ∴==
，3
lg log lg 3
t
b t ==， ()
lg lg lg lg 3lg 20lg 2lg 3lg 2lg 3
t t t a b -∴-=
-=>⋅，因此，a b >. 故选：C. 【点睛】
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 11．已知点(m,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜c ＜b
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，
∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，
∵
2
3m n =，1＜lnπ＜3，n ＝3， ∴m
ln n n
π＜＜， ∴a ＜b ＜c ， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
12．已知椭圆22
2
2
:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）
A ．⎛ ⎝⎭
B ．⎫
⎪⎪⎝⎭
C ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】
设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以2
2
2
99,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点
()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由
于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心
率2
2910,92e a ⎛⎫
=
∈ ⎪+⎝⎭，所以0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
∈. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知平面向量a r 、b r 的夹角为56
π
，且1a b +=r r ，则232a a b +⋅r r r 的最大值是_____．
【答案】323+ 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，设AOC θ∠=，可得1OC =u u u r ，进而可得出2sin OB θ=u u u r ，52sin 6OA πθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
u u u r ，由此将232a a b +⋅r r r
转化为以θ为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果. 【详解】
根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r
，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC a b =+u u u r r r
，
设AOC θ∠=，则56BOC ACO πθ∠=∠=-，6
OAC OBC π
∠=∠=，且1OC =u u u r ，
在OBC ∆中，由正弦定理1
sin sin 6OB
πθ=
u u u r
，得2sin OB θ=u u u r ，即2sin b θ=r
，
在OAC ∆中，由正弦定理15sin sin 66OA ππθ=⎛⎫- ⎪
⎝⎭
u u u r ，得52sin 6OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，即52sin 6a πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r . 22a a =r r ，5555cos 2sin 2sin cos 23sin 6666a b a b ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫
⋅=⋅=⋅-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
r r r r ， 则
2
2553232sin 43sin 66a a b ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=⨯--- ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦r r r 25512sin 43sin 66ππθθθ⎛⎫⎛⎫
=--- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
51cos 23131243cos 222πθθθθ⎛⎫
-- ⎪
⎛⎫⎝⎭=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭
2
1361cos 226sin 322θθθθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
1cos 263cos 233sin 263sin 2323sin 22
θ
θθθθ-=-+-⨯
-=+， 当sin 21θ=时，2
32a a b +⋅r r r
取最大值323+. 故答案为：323+. 【点睛】
本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题． 14．已知二项式
的展开式中的常数项为
，则
__________．
【答案】2 【解析】 【分析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值． 【详解】 二项式
的展开式中的通项公式为
，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15．将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为__________. 【答案】920
【解析】 【分析】
先求出总的基本事件数，再求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根据古典概型求解． 【详解】
6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件总数共
有3
620n C ==个，
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：21212
232339m C C C C C =++=个，
所以甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为920
m p n ==. 故答案为：920
【点睛】
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 16．已知3sin 45πα⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，且344
ππα<<，则cos α=__________． 【答案】210
- 【解析】
试题分析：因
34
4
π
πα<<
,故,所以，
,应填210
-
. 考点：三角变换及运用．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.
（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；
（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --25
. 【答案】（1）3
π
（2）()1,3,2P 【解析】
试题分析：（1）因为AB ⊥AC ，A 1B ⊥平面ABC ，所以以A 为坐标原点，分别以AC 、AB 所在直线分别为x 轴和y 轴，以过A ，且平行于BA 1的直线为z 轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A 1B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA 1与BC 上的两个向量，由向量的夹角求棱AA 1与BC 所成的角的大小； （2）设棱B 1C 1上的一点P ，由向量共线得到P 点的坐标，然后求出两个平面PAB 与平面ABA 1的一个法
向量，把二面角P-AB-A 1
的平面角的余弦值为25
5
，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P 点的坐标． 试题解析：
解（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，
则()()()()112,0,0,0,2,0,0,2,2,0,4,2C B A B ，
()()1110,2,2,2,2,0AA BC B C ===-u u u v u u u v u u u u v
.
1111cos ,288AA BC AA BC AA BC
⋅==
=-⋅⋅u u u v u u u v
u u u v u u u v u u u v u u u v ， 故1AA 与棱BC 所成的角是3
π
. （2）P 为棱11B C 中点，
设()1112,2,0B P B C λλλ==-u u u v u u u u v
，则()2,42,2P λλ-.
设平面PAB 的法向量为()1,,n x y z =u v ，()2,42,2AP λλ=-u u u v
，
则11
32002000x y z z x n AP y y n AB λ⎧++==-⋅=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨==⋅=⎪⎩⎩⎩u v u u u v u v u u u v ，
故()11,0,n u v
λ=-
而平面1ABA 的法向量是()21,0,0n =u u v ，则12122
1225cos ,51n n n n n n λ⋅===⋅+u v u u v
u v u u v u v u u v 解得1
2
λ=
，即P 为棱11B C 中点，其坐标为()1,3,2P . 点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
18．已知函数()()3
2
16f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x
=
-的导函数
()h x '在5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在零点.
()1求实数a 的取值范围；
()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值； ()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.
【答案】()1[]
10,28；()24；()312. 【解析】 【分析】
()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5
,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求出实数a 的取值范围；
()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单
调性的研究，得出正实数b 的最大值；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所
以切线斜率()2
113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点
为()22,ln x a x ，因为()a g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121
022x G x x x x -=
-=>'， 所以()G x 在5,7
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最后求出实数a 的值. 【详解】
()1由题意可知，()2
ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x a
h x x x x
--'=--=
， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，解得[]
10,28a ∈；
()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，
①当()412160a ∆=--+≤，即47
103
a ≤≤
时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,b 上单调递增，不符题意；
②当
47
163
a <<时，令()232160f x x x a =--+='， 解得：
x =
=
，
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意；
③当1628a ≤≤时，()2
32160f x x x a =--+=
'，
解得：1103x -
=
<，2103
x =>
且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()3
2
160b b a b ---≤，
整理得216b b a -≤-，
因为存在[]
16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，
因为()()2
3216f x x x a =---'，所以切线斜率()2
113216k x x a =---，
即切线方程()()()2
3
2
111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦
整理得：()2
3
2
111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦
由题意可知，3211212x x -+=-，即32
112120x x --=，
即()()
2
11122360x x x -++=，解得12x =
所以切线方程为()2412y a x =--，
设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ， 因为()a
g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+，
整理得22
ln a
y x a x a x =
+-. 所以
2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，消去a ，整理得2
211ln 022x x +-=， 且因为
[]()22410,28a
a a x =-∈，解得257
x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()22
1121
022x G x x x x -=-=>'， 所以()G x 在5,7
⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，
因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =. 【点睛】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.
19．如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，213AB =，4AC =，3AD =.
（1）求边BC 的长；
（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）60
7
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可得cos ∠ADB ＝﹣cos ∠ADC ，由已知利用余弦定理可得：9+BD 2﹣52+9+BD 2﹣16＝0，进而解得BC 的值．（2）由（1）可知△ADC 为直角三角形，可求S △ADC 1
432
=
⨯⨯=6，S △ABC ＝2S △ADC ＝12，利用角平分线的性质可得2
5
ACE BCE S S =V V ，根据S △ABC ＝S △BCE +S △ACE 可求S △BCE 的值． 【详解】
（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，
在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222
022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC
+-+-+=⨯⨯，
因为213AB =4AC =，3AD =，BD DC =，
所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.
（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以1
4362
ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，
所以
1
sin 21sin 2
ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42
105
AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以60
7
BCE S ∆=
. 即BCE ∆的面积为607
. 【点睛】
本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
20．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠） （1）求数列{}n a 的通项公式：
（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232
n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2n
n a t =（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项.
（2）由{}n b 为等比数列可得1
3t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证123
2
n c c c ++⋯+<.
【详解】
（1）由题意，得：()21
n n t
S a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）
， 当1n =时，得()1121
t
S a t =
--，得12a t =. 由()()11212(2)
1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩
，
故()111
n n n n n t
S S a a a t ---==
--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =.
（2）由()()211221111
n
n n n t t b S t t t t =-=-
-=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又223
12312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故
()()()2
22
3122121222t t t t t
t --=----，化简得到3262t t =，
所以1
3
t =
或0t =（舍）. 所以，12,33n
n n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，则3212log 333n
n n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333n
n n T =
++⋯+ 23112423333
n n n
T +=++⋯+，相减可得 123233
2232
n n n n T c c c +=+++=
-<⋅L 【点睛】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n
S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
21．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为
4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =u u u r u u u r
，点Q 的轨迹为2C ．
（1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程； （2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A B ，，当
MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程．
【答案】（1）2cos 4sin ρθθ=+，()()2
2
125x y -+-=；（2）10x y +-=. 【解析】 【分析】
（1）设点,P Q 极坐标分别为()0,ρθ,(),ρθ，由2OP OQ =u u u r u u u r 可得01
2cos 4sin 2
ρρθθ==+,整理即可
得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；
（2）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1=MA t ，2=MB t ，将直线l 的参数方程代入2C 的直角坐
标方程中,再利用韦达定理可得()122cos sin t t αα+=+，123t t =-，则
1212MA MB t t t t -+=+==求得MA MB +取最小值时α符合的条件,进而求得直线l 的普通方程. 【详解】
（1）设点,P Q 极坐标分别为()0,ρθ，(),ρθ，
因为2OP OQ =u u u r u u u r ,则01
2cos 4sin 2
ρρθθ==+，
所以曲线2C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+， 两边同乘ρ,得2
2cos 4s in ρρθρθ=+，
所以2C 的直角坐标方程为2
2
24x y x y +=+,即()()22
125x y -+-=.
（2）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1=MA t ,2=MB t ，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t α
α
=⎧⎨
=+⎩（t 参数），代入2C 的直角坐标方程()()2
2
125x y -+-=中，整理得()2
2cos sin 30t t αα-+-=.
由韦达定理得()122cos sin t t αα+=+，123t t =-， 所以
1212MA MB t t t t +=+===-=当且仅当sin 21α=-时，等号成立，则tan 1α=-，
所以当MA MB +取得最小值时，直线l 的普通方程为10x y +-=. 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系． 22．设函数()223f x x a x =++-. （1）当1a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若不等式()4f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{}
12x x -≤≤（2）(][),71,-∞-+∞U 【解析】 【分析】
(1) 利用分段讨论法去掉绝对值,结合图象,从而求得不等式()6f x ≤的解集; (2) 求出函数()f x 的最小值,把问题化为()min 4f x ≥,从而求得a 的取值范围.
【详解】
（1）当1
a=时，
则()
1 42,,
2
13 4,,
22
3 42,,
2
x x
f x x
x x
⎧
-+≤-
⎪
⎪
⎪
=-<<
⎨
⎪
⎪
-≥
⎪⎩
所以不等式()6
f x≤的解集为{}
12
x x
-≤≤.
（2）()4
f x≥等价于2234
x a x
++-≥，
而2233
x a x a
++-≥+，
故()4
f x≥等价于34
a+≥，
所以34
a+≥或34
a+≤-，
即1
a≥或7
a≤-，
所以实数a的取值范围为(][)
,71,
-∞-+∞
U.
【点睛】
本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度一般.
23．如图，正方体1111
ABCD A B C D
-的棱长为2，E为棱
11
B C的中点.
（1）面出过点E且与直线1A C垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求1
BD与该平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2
）1 3 .
【解析】
【分析】
（1）1A C与平面1
BDC垂直，过点E作与平面
1
BDC平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中F，G，H，I，J分别为边11
C D，
1
DD，AD，AB，
1
BB的中点，则1A C垂直于平面EFGHIJ.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则()
2,2,0
B，()
1
0,0,2
D，()
1,0,0
H，()
2,1,0
I，()
0,0,1
G，所以()
1
2,2,2
BD=--
u u u u r
，()
1,1,0
HI=
u u u r
，()
1,0,1
HG=-
u u u r
.
设平面EFGHIJ的一个法向量为()
,,
n x y z
=
r
，则
x y
x z
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
.
不妨取()
1,1,1
n=-
r
，则1
1
cos,
3
233
BD n==
⨯
u u u u r r
，
所以1
BD与该平面所成角的正弦值为
1
3
.
（若将
1
AC
u u u r
作为该平面法向量，需证明1A C与该平面垂直）
【点睛】
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.。