专题3：直线和抛物线的位置关系学案(解析版)

专题2：直线和抛物线的位置关系
【教学目标】
重点、难点
重点：通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意义;
难点：根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键； 学科素养
通过观察实例,深刻理解各种随机现象。

培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识。

【知识清单】
1. 直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线
，)0( p
① 联立方程法：
⎩⎨⎧=+=px
y b
kx y 22
⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=
， 2
2
10y y y += ② 点差法：
设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得
12
12px y = 22
22px y =
将两式相减，可得
)(2))((212121x x p y y y y -=+- 2
121212y y p
x x y y +=
--
a. 在涉及斜率问题时，2
12y y p
k AB +=
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，
021*******y p
y p y y p x x y y ==+=--， 即0
y p k AB =
， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p
x p x p x x k AB 0
021222==+=
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不
等于零）
【经典例题】 题型一：求直线
例1如图，直线:l y x b =+与抛物线2
:4C x y =相切于点A .
（1）求实数b 的值；
（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 例1（1）1b =-；（2）2
2
(2)(1)4x y -+-=. 【解析】 【分析】
（1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程0∆=，即可求得b 的值；
（2）将（1）中所得b 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程. 【详解】
（1）直线:l y x b =+与抛物线2
:4C x y =相切于点A .
则24y x b x y =+⎧⎨=⎩
，得2440x x b --=，（*）
因为直线l 与抛物线C 相切， 所以2
(4)4(4)0b ∆=--⨯-=， 解得1b =-.
（2）由（1）可知1b =-，故方程（*）即为2440x x -+=， 解得2x =，代入2
4x y =，得1y =. 故点(2,1)A ，
因为圆A 与抛物线C 的准线相切，
所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的距离， 即|1(1)|2r =--=，
所以圆A 的方程为2
2
(2)(1)4x y -+-=. 【点睛】
本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题. 例2：已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上任一点到点(),0F m 的距离减去它到y 轴距离的差都是m ，N 为
该曲线上一点，且4NF OF =，NFO S =△（1）求曲线C 的方程；
（2）过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，8
AB =，求直线l 的方程
例2：（1）()2
40y x x =>；（2）1122y x =
-或11
22
y x =-+. 【解析】 【分析】
（1）根据题意，设出点P 的坐标，对已知条件进行等价转化，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则问题得解. 【详解】
（1）设点(),P x y 是曲线C 上任意一点，
那么点(),P x y ()0x m x -=>.
化简得曲线C 的方程为()2
40y mx x =>. 设(),N N N x y ，依题意44NF OF m == 由抛物线定义4N x m m +=，即3N x m =
所以N y =±，又由NFO S =△
得
1
2
m ⨯⨯=1m =（1m =-舍去） 所以曲线C 的方程为()2
40y x x =>. （2）由（1）得()1,0F ，
设直线l 的方程为()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y . 由()2
14y k x y x
⎧=-⎨
=⎩，得(
)
22
2
2
240k x k x k -++=.
因为2
16160k ∆=+>，故2122
24
k x x k
++=
所以()()212122
44
112k AB AF BF x x x x k +=+=+++=++=. 由题设知22
41
8k k
+=.解得12k =或12k =-. 因此直线l 的方程为1122y x =-或1122
y x =-+. 【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，以及由抛物线中的弦长求直线的斜率，属中档题 题型二：求最值
例3：已知AB 为抛物线2y
x 上的动弦，且AB a =（a 是常数且1a ≥），F 为抛物线的焦点，求弦AB
的中点M 到x 轴的距离的最小值． 例3：
()1
214
a -． 【解析】 【分析】
设点A ，M ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，F 为抛物线的焦点，A ，M ，B 三点在抛物线准线上的射影分别为A '，M '，B '，分别连接AA '，MM '，BB '，AF ，BF ，画出图形，由抛物线定义可得
114AF AA y '==+，31
4
BF BB y '==+，然后根据中点坐标公式，结合不等式的性质进行计算即可得
解. 【详解】
设点A ，M ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，3y ，F 为抛物线的焦点，
A ，M ，
B 三点在抛物线准线上的射影分别为A '，M '，B '，
分别连接AA '，MM '，BB '，AF ，BF ，如图所示， 由抛物线的定义，知114AF AA y '==+，31
4
BF BB y '==+， 所以114y AF =-
，31
4
y BF =-， 又M 是线段AB 的中点， 所以()2131
2
y y y =
+ 1122AF BF ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
1122AB ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
()1
214
a =
-， 当且仅当AB 过焦点F 时，等号成立， 即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时， 点M 到x 轴的距离最小，最小距离为
()1
214
a -．
【点睛】
本题考查抛物线定义的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题. 题型三：求弦长
例4：已知抛物线2:
2C y px =的焦点为F ，点0(4,)P y 在抛物线C 上，且||5PF =．
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）设抛物线C 的准线与x 轴交于点D ，过点D 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点F ，求线段AB 的长 例4：（1）2
4y x =；（2）43【解析】 【分析】
()1由抛物线的定义可得p 2=，从而可得抛物线C 的方程；
()2联立直线l 与抛物线消去x 得2y 4my 40-+=，利用韦达定理和FA FB ⊥列式可解得2m 2=，再用
弦长公式可得弦长． 【详解】
()1当p 0<时，抛物线C 不过点()0P 4,y ，故p 0>．
由抛物线的定义有p
452
+
=，解得p 2=， 所以抛物线C 的方程为2
y 4x =．
()2设()11A x ,y ，()22B x ,y ，直线l 的方程为x my 1=-，
由x my 12
y 4x =-⎧=⎨⎩
消去x 并整理得：2y 4my 40-+=， 得12y y 4m
12y y 4+=⎧=⎨⎩
，由题意，0>，所以2m 1>， 以线段AB 为直径的圆过点F ，所以FA FB ⊥，所以()()1212x 1x 1y y 0--+=， 又11x my 1=-，22x my 1=-，
所以()()()()()
()2
121212121212x 1x 1y y my 2my 2y y m 1y y 2m y y 40--+=--+=+-++=，
()
224m 18m 40∴+-+=，解得2m 2=满足题意．
由
AB =
，得AB =
【点睛】
本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求法，考查设而不求法，考查函数与方程思想，考查计算能力，属中档题．
题型四：焦点弦 例5：斜率为12
的直线l 经过抛物线2
4x y =的焦点，且与抛物线相交于A B ，两点，求线段AB 的长. 例5：5
【解析】试题分析：求得抛物线的焦点，可得直线l 的方程，代入抛物线方程，由韦达定理和弦长公式，计算即可得到
试题解析：由已知可知，抛物线2
4x y =的焦点为()0,1F ，所以直线l 的方程为1
12
y x =
+. 由21
1,{ 2
4,
y x x y =
+=得()2
224y y -=，即2310y y -+=．
设()()1122,,,A x y B x y ，则123y y +=，所以12325AB y y p =++=+=. 考点：直线与抛物线相交的弦长问题 题型五：中点弦
例6：已知抛物线C ：y 2
＝4x ，设直线与抛物线两交点为A 、B ，且线段AB 中点为M （2，1），求
直线l 的方程.
例6：解：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，
代入抛物线方程，得1214x y = 22
24x y = 将两式相减，可得
)(4))((212121x x y y y y -=+- 2
121214
y y x x y y +=-- 因为21y y +=2
所以斜率k=2
直线方程为：y-1=2(x-2)即2x-y-3=0
题型六：定点问题
例7：已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点F 是椭圆22
143
x y +=的一个焦点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）设P ，M ，N 为抛物线C 上的不同三点，点()1,2P ，且PM PN ⊥.求证：直线MN 过定点. 例7：（1）2
4y x =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）椭圆22
143
x y +=的焦点为()1,0±，由题意可知12p =，由此即可求出抛物线的方程；
（2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得，可得211244y y y y m n ==-+，，再根据
PM PN ⊥，可得0PM PN ⋅=，列出方程代入211244y y y y m n ==-+，，化简可得
2264850n n m m ---+=，再因式分解可得25n m =+或21n m =-+，再代入方程进行检验，即可求出
结果.
【详解】
（1）因为椭圆22
143
x y +=的焦点为()1,0±，
依题意，
12
p
=，2p =，所以C ：24y x = （2）设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线联立得2
440y my n --=， 设()11,M x y ，()22,N x y ， 则211244y y y y m n ==-+，，
由PM PN ⊥，则0PM PN ⋅=，即()()11221,21,20x y x y --⋅--=， 所以()()()()121211+220x x y y ----=
即()()()()121211+220my n my n y y +-+---=，
整理得到()
()()()2
2
121212+140m y y mn m y y n ++--+-+=，
所以()
()()2
2
4142+140n m m mn m n -++---+=，
化简得2264850n n m m ---+=即()()22
341n m -=-， 解得25n m =+或21n m =-+.
当25n m =+时，直线MN 的方程为25x my m =++，即为()52x m y -=+，即直线过定点()5,2-； 当21n m =-+时，直线MN 的方程为21x my m ，即为()12x m y -=-，即直线过定点()1,2，此
时与点P 重合，故应舍去， 所以直线MN 过定点()5,2-. 【点睛】
本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【课堂达标】
1．已知抛物线2:4C y x =，以()1,1为中点作C 的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A ．210x y --=
B ．210x y -+=
C ．230x y +-=
D ．230x y ++=
1．A 【解析】 【分析】
设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点，可得出1212
2
2x x y y +=⎧⎨+=⎩，利用点差法可求得直
线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程. 【详解】
设过点()1,1的直线交抛物线C 于()11,A x y 、()22,B x y 两点. 若直线AB 垂直于x 轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合乎题意.
所以，直线AB 的斜率存在，由于点()1,1为线段AB 的中点，则12122
2x x y y +=⎧⎨+=⎩，
由于点()11,A x y 、()22,B x y 在抛物线C 上，可得211
22
244y x y x ⎧=⎨=⎩，
两式作差得()()()2
2
121212124y y y y y y x x -=+⋅-=-，
所以，直线AB 的斜率为121212
4
2AB y y k x x y y -=
==-+，
因此，直线AB 的方程为()121y x -=-，即210x y --=. 故选：A. 【点睛】
本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定理求解，考查计算能力，属于中等题.
2．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，PA l ⊥，垂足为A ，若直线AF
的斜率为
，则PF 等于（ ）
A ．8
B
．C ．4
D
．
2．C
【解析】
【分析】
求出直线AF 的方程，求出点A 和P 的坐标，利用抛物线的定义即可求||PF 的值．
【详解】 解：抛物线方程为2
4y x =， ∴焦点(1,0)F ，准线l 方程为1x =-，
直线AF 的斜率为3-， 直线AF 的方程为3(1)y x ，
当1x =-时，23y =，
可得A 点坐标为()
1,23- PA l ⊥，A 为垂足，
P ∴点纵坐标为23，代入抛物线方程，得P 点坐标为(3,23)，
||||3(1)4PF PA ∴==--=．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，利用抛物线的定义是解决本题的关键，属于中档题．
3．已知抛物线28x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且6PF =，点Q 为抛物线准线与其对称轴的交点，
则PFQ ∆的面积为( )
A ．
B ．
C ．
D ．3．D
【解析】
【分析】
先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点Q 的坐标，再由定义求出点P 坐标，结合三角形面积公式可得出结果.
【详解】 因为2
8x y =，所以其焦点()02F ，，准线为y 2=-,所以()0,2Q -
设().P m n ,由6PF =得26n +=，所以4n =，所以m =±
则11S 422
PFQ FQ m ∆=
⨯⨯=⨯⨯=【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，属于基础题型.
4．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上的一点，过P 作PQ x ⊥轴于Q ，若3PF =，则线段PQ 的长为（ ）
A
B ．2
C ．
D ．4．C
【解析】
【分析】
根据3PF =求得P 的横坐标，由此求得P 的纵坐标，从而求得PQ 的长.
【详解】
抛物线的准线方程为1x =-，由于3PF =，
根据抛物线的定义可知2P x =，
将2P x =代入抛物线方程得28,P y y ==±
所以PQ =.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
5．若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 5．B
【解析】
【分析】
直接利用抛物线焦半径公式得到答案.
【详解】 根据题意：63622p PF x =+
=+=. 故选：B.
【点睛】
本题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.
6．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =-及3y x 的垂线，垂足分别为G ，H ，则PG PH +的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．12+
D 2+
6．B
【解析】
【分析】 根据抛物线的性质，PG PH +的最小值等价于PF PH +的最小值，即焦点F 到直线的距离.
【详解】
由题可知1x =-是抛物线的准线，交点()1,0F ， 由抛物线的性质可知PG PF ,
PG PH PF PH ∴+=+，
如图，当,,F P H 在一条直线上时，PF PH +取得最小值为FH ， 利用点到直线距离公式可以求出103222FH ，
所以PG PH +的最小值为22故选：B.
【点睛】
本题考查求抛物线上的点到两直线的距离之和最小问题，利用抛物线的性质是关键，属于基础题.
7．若抛物线x 2＝ay 的准线与抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +1相切，则a ＝（ ）
A ．8
B ．﹣8
C ．﹣4
D ．4 7．B
【解析】
【分析】
求出抛物线x 2＝ay 的准线为4a y =-
，根据抛物线x 2＝ay 的准线与抛物线()222112y x x x =--+=-++相切可得24
a y =-
=，得出答案. 【详解】
抛物线()222112y x x x =--+=-++
抛物线x 2＝ay 的准线为4a y =-
则4
a y =-与抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +1相切， 所以24
a y =-=，所以8a =- 故选：B
【点睛】
本题考查抛物线的准线方程，考查抛物线的切线，属于基础题.
8．已知F 是抛物线28C y x =：的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |=______.
8．6
【解析】
【分析】
求出抛物线的焦点坐标，推出M 坐标，然后求解即可．
【详解】
解：抛物线28C y x =：的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．
若M 为FN 的中点，
可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±
|FN |＝2|FM |＝6=．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
9．已知()2,6P 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，抛物线C 的焦点为F ，则PF =______. 9．132
【解析】
【分析】
()2,6P 代入抛物线方程可得9p =，从而可得答案.
【详解】
由()2,6P 为抛物线()2
:20C y px p =>上一点， 得264p =，可得9p =. 则913222
PF =+
=. 故答案为：132. 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程与定义，考查运算求解能力,属于基础题.
10．设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点，若()4,2B ，则PB PF +的最小值为______. 10．5
【解析】
【分析】
求出抛物线的准线方程，把P 到焦点F 距离转化为它到准线的距离，然后利用三点共线性质得最小值．
【详解】
如图，过P 作PM 与准线1x =-垂直，垂足为M ，则PF PM =， ∴PF PB PM PB +=+，易知当,,B P M 三点共线时，PM PB +最小，最小值为
4(1)5--=．∴PB PF +的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查抛物线的定义，考查抛物线上的点到焦点和到定点距离之和的最小值，解题方法是利用抛物线的定义把点到焦点的距离转化为点到准线距离．
11．已知抛物线C ：2
2x py =-()0p >的焦点F 与22
184y x +=的一个焦点重合，过焦点F 的直线与C 交于A ，B 两不同点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线相交于点M ，且M 的横坐标为2，则弦长AB =______. 11．10
【解析】
【分析】
首先根据已知条件得到抛物线方程为28x y ，设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，利用导数的几何意义得到两条切线分别为21148x x y x =-+和22248
x x y x =-+，联立切线得到122M x x x +=，从而得到124x x +=，联立直线AB 与抛物线，利用韦达定理即可得到12k =-
，再求焦点弦长即可. 【详解】
由题意可得()0,2F -，则4p =，抛物线方程为28x y .
设直线AB 方程为2y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 其中2118x y =-，2228
x y =-. 由2
8
x y =-得4x y '=-，所以在点A 处的切线方程为()1114x y y x x -=--，
化简得21148
x x y x =-+①， 同理可得在点B 处的切线方程为22248
x x y x =-+②. 联立①②得122
M x x x +=，又M 的横坐标为2， 124x x ∴+=.
将AB 方程代入抛物线得28160x kx +-=，1284x x k ∴+=-=，
12k ∴=-，()1212144462
y y k x x ∴+=+-=-⨯-=-， 1210AB p y y ∴=--=.
故答案为：10
【点睛】
本题主要考查抛物线的焦点弦，同时考查导数的几何意义，属于中档题.
12．已知焦点为F 的抛物线24y x =上有一动点P ，点(2,2)A ，则||||PA PF +的最小值是
_______________.
12．3
【解析】
【分析】
作出准线l ，过P ，作PM l ⊥，垂足为M ，利用PF PM =转化为可求得最小值．
【详解】
如图，设l 是抛物线的准线，作PM l ⊥于M ，则PF PM =， ∴PA PF PA PM +=+，
由已知准线方程为1x =-，显然当,,A P M 三点共线时，PA PF +取得最小值2(1)3--=． 故答案为：3．
【点睛】
本题考查抛物线上点到焦点和定点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到焦点的距离．
【能力提升】
13．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且||4AF =．
（1）求抛物线的方程；
（2）不过原点的直线:l y x m =+与抛物线交于不同两点,P Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值．
13．（1）28y x =（2）8m =-
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义可得242
p +=，即可求出p ，进而可得抛物线的方程； （2）由题意易知：直线l 的方程为y x m =+，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和向量数量积的坐标运算代入即可解出．
【详解】
解：（1）已知抛物线22(0)y px p =>过点()02,A y ，且||4AF =
则242
p +
=， ∴4p =， 故抛物线的方程为28y x =；
（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，
联立28y x m y x
=+⎧⎨=⎩，得22(28)0x m x m +-+=， 22(28)40m m ∆=-->，得2m <，
1282x x m ∴+=-，212x x m =，
又OP OQ ⊥，则12120OP OQ x x y y ⋅=+=，
()()()22212121212121222(82)0x x y y x x x m x m x x m x m m m x m m ∴+=+++=+++=+-+=， 8m ∴=-或0m =，
经检验，当0m =时，直线过坐标原点，不合题意，
又82m =-<，
综上：m 的值为-8．
【点睛】
本题重点考查了利用一元二次方程的根与系数的关系研究直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为12
的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，||5AB =.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点F 的直线l 交抛物线C 于D ，E 两点.过D ，E 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点M ，若直线l 与抛物线C 的准线交于第四象限的点N ，且MN DE =，求直线l 的方程.
14．（1）24x y =；（2）220x y +-=.
【解析】
【分析】
（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB 的方程为122
p
y x =
+，然后联立直线AB 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理得出弦长12||AB y y p =++，求解出p ，则可得出抛物线的标准方程；
（2）设直线l 的方程为(1)x m y =-，33(,)D x y ，44(,)E x y ，利用导数的几何意义得出抛物线2
4x y =在
点D ，E 处的切线斜率，然后写出在点D ，E 处切线的方程，联立解得M 的坐标，再联立直线l 的方程与准线方程，解出点N 的坐标，写出MN ，利用弦长公式解出DE ，利用MN DE =解出m 的值. 【详解】
解：（1）由抛物线的方程可得焦点(0,)2
p F ，由题意可得直线AB 的方程为：122p
y x =+，即2x y p =-，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立直线AB 与抛物线的方程：222x y p
x py =-⎧⎨=⎩
，
整理可得22460y py p -+=
1232y y p +=，2
124
p y y =
由抛物线的性质可得123||52
p
AB y y p p =++=+=，解得2p =， 所以抛物线的方程为：2
4x y =
（2）易知直线l 的斜率存在且不为零，又由（1）知(0,1)F
故可设直线l 的方程为(1)x m y =-，代入抛物线的方程2
4x y =得， 22222(2)0m y m y m -++=
设33(,)D x y ，44(,)E x y ，则34242y y m +=
+，341y y =，344
x x m
+=，344x x =- 342
4||||||4DE DF EF y y p m
∴=+=++=
+，
由抛物线2
4x y =得214y x =
，则1
2
y x '=， 所以抛物线在33(,)D x y ，44(,)E x y 两点处的切线的斜率分别为312x ，41
2
x ，
故两切线的方程分别为333()2x y y x x -=
-，444()2
x
y y x x -=-， 即332()y y x x =+，442()y y x x =+，
解得两切线的交点为3434(
,)24x x x x M +，即2
(,1)M m
-， 又准线的方程为1x =-，由(1)
1
x m y y =-⎧⎨=-⎩，得(2,1)N m --
则1
||2||MN m m
=+
， 由MN DE =，得2112||41m m m ⎛
⎫+
=+ ⎪⎝⎭
，得2m =±， 因为直线l 与准线交于第四象限的点N ， 故有2m =-，
从而直线l 的方程为.2(1)x y =--，即220x y +-=. 【点睛】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的切线及弦长问题，难度较大. 15．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，准线方程为12y =
，F 为抛物线C 的焦点，点P 为直线1
23
=+y x 上任意一点，以P 为圆心，PF 为半径的圆与抛物线C 的准线交于A 、B 两点，过A 、B 分别作准线的垂线交抛物线C 于点D 、E .
（1）求抛物线C 的方程；
（2）证明：直线DE 过定点，并求出定点的坐标.
15．（1）2
2x y =-；（2）证明见解析，定点1
,23M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）设抛物线C 的标准方程为()2
20x py p =->，根据抛物线的准线方程可求得p 的值，由此可求得抛
物线C 的方程；
（2）设点P 的坐标为(),t s ，求出圆的方程，与直线1
2
y =
方程联立，可得出关于t 、s 的二次方程，并设点211,2x D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、2
2
2,2x E x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，可列出韦达定理，并求得直线DE 的方程，进而可求得直线DE 所过定点的坐标. 【详解】
（1）设抛物线C 的标准方程为()2
20x py p =->，
依题意，
1
122
p p =⇒=，抛物线C 的方程为22x y =-； （2）10,2F ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，设(),P t s ，则123s t =+，2
22
1532PF t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，
于是圆P 的方程为()()2
22
2
12x t y s t s ⎛⎫
-+-=++ ⎪⎝
⎭，
令1
2
y =
，得2220x tx s --=，① 设211,2x D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭、2
22,2x E x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，由①式得122x x t +=，122243x x s t =-=--，②
直线DE 的斜率为
22
121212222
DE
x x x x
k t x x -+
+==-=--，
则直线DE 的方程为()221121211212121222222
x x x x x x x x x x x x
y x x x y x +++++=--=-
+⇒=-+， 代入②式就有11223
3y tx t y t x ⎛⎫=---⇒+=-+
⎪⎝⎭
， 因为上式对t ∈R 恒成立，故110,33202x x y y ⎧⎧
+==-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩
，即直线DE 过定点1,23M ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中直线过定点问题的证明，求出直线的方程是解题的关
键，考查计算能力，属于中等题.
16．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为()1,0F -. （1）求C 的方程；
（2）设P 为C 的准线上一点，Q 为直线PF 与C 的一个交点且F 为PQ 的中点，求Q 的坐标及直线PQ 的方程.
16．（1）24y x =-；（2）点(1,P 或(1,-0y +-=0y ++=.
【解析】 【分析】
（1）根据焦点坐标可求出抛物线方程；
（2）设点P 坐标，根据中点坐标和抛物线方程，由点斜式方程可得答案. 【详解】
（1）由题可设抛物线方程为2
2y px =-，又∵焦点（−1，0）可得12
p
-
=- ∴2p =，∴2
4y x =-
（2）设点P 坐标为()11,y ，()22,Q x y ， ∵F 为PQ 中点，∴
2
112
x +=-，∴23x =-
∵Q 在抛物线上，将23x =-代入得2y =±
∴(
3,Q -或(3,--
当2y =12
02y y +=得1y =-
当2y =-1
2
02
y y +=得1y =
∴点(
1,P 或(1,-；∴21
21
PQ y y k x x -=
=-
0y +-=0y ++= 【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系.
17．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到直线:l y x =-
的距离为
2．
（1）求抛物线C 的方程； （2）如图，若1,02N ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，与直线l 相交于点M ，且||||AM MB =，求ABN 面积的取值范围．
17．（1）2
x y =；（2）10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得p 的值，即得抛物线的方程； （2）设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '
-=+≠-，()()1122,,,A x y B x y .将直线l '的方程与
抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得2k m =-.求出点N 到直线AB 的距离d ，根据弦长公式求出
AB ，故ABN 的面积1
||2
ABN
S
AB d =
，可求面积的取值范围． 【详解】
（1）抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 焦点到直线:l y x =-2， 2212
4822p
p ==∴=
. ∴抛物线C 的方程为2x y =．
（2）由题意可设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '
-=+≠-， 将直线l '的方程代入抛物线的方程2
x y =，消去y ，得20x kx km m ---=．
直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，
224()440k km m k km m ∴∆=---=++>．
设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x k +=.
||||,AM MB M =∴是线段AB 的中点，122,2k x m x m ∴+∴=-=-，
代入2440k km m ∆=++>，解得01m <<． 又1k ≠-，21m ∴-≠-，12
m ∴≠
， 102m ∴<<
或1
12
m <<． ∴直线l '的方程为222y mx m m =--+.
点N 到直线AB
的距离d =
=
，
又2
122x x m m =-
，
12||AB x ∴=-==
21
||22
ABN
S
AB d m m ∴=
⋅=-
令t =32ABN
S
t =．
102m <<
或1
12
m <<，102t ∴<<
3120,4t ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，即10,4ABN S
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． ABN ∴△面积的取值范围为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
18．已知抛物线E ：()2
20y px p =>的焦点为F ，P 是E
上一点，且在第一象限，满足(2,PF =-.
（1）求点P 的坐标和抛物线E 的方程；
（2）已知过点P 的直线l 与E 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.
17．（1）2
x y =；（2）10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）写出抛物线的焦点坐标，根据点到直线的距离公式列方程，解方程可得p 的值，即得抛物线的方程； （2）设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '
-=+≠-，()()1122,,,A x y B x y .将直线l '的方程与
抛物线的方程联立，利用根与系数的关系可得2k m =-.求出点N 到直线AB 的距离d ，根据弦长公式求出
AB ，故ABN 的面积1
||2
ABN
S
AB d =
，可求面积的取值范围． 【详解】
（1）抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点坐标为0,
2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 焦点到直线:l y x =-
，
1482p ==∴=
. ∴抛物线C 的方程为2x y =．
（2）由题意可设(,)(0)M m m m ->，直线:()(1)l y m k x m k '
-=+≠-， 将直线l '的方程代入抛物线的方程2
x y =，消去y ，得20x kx km m ---=．
直线l '与抛物线C 相交于,A B 两点，
224()440k km m k km m ∴∆=---=++>．
设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x k +=.
||||,AM MB M =∴是线段AB 的中点，122,2k x m x m ∴+∴=-=-，
代入2440k km m ∆=++>，解得01m <<． 又1k ≠-，21m ∴-≠-，1
2
m ∴≠
， 102m ∴<<
或1
12
m <<．
∴直线l '的方程为222y mx m m =--+.
点N 到直线AB
的距离d =
=
，
又2
122x x m m =-
，
12||AB x ∴=-==
21
||22
ABN
S
AB d m m ∴=
⋅=-
令t =32ABN
S
t =．
102m <<
或1
12
m <<，102t ∴<<
3120,4t ⎛⎫
∴∈ ⎪⎝⎭
，即10,4ABN S
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． ABN ∴△面积的取值范围为10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于较难的题目．
19．已知抛物线24y x =．
（1）求过点()0,1P 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程；
（2
）过焦点F 的直线与抛物线交于两点M ，N ，求MN 的长． 19．（1）0x =，1y =，1y x =+；（2）16
3
． 【解析】 【分析】
（1）分类讨论，再设出直线方程与抛物线方程联立，即可得到结论；
（2）先求出直线方程，联立方程组，求出点M ，N 的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出． 【详解】
解：（1）由题意，斜率不存在时，直线0x =满足题意，
斜率存在时，设方程为1y kx =+，代入2
4y x =，可得2
2
(24)10k x k x +-+=， 当0k =时，1y =，满足题意，
当0k ≠时，22
(24)40k k ∆=--=，1k ∴=，直线方程为10x y -+=， 综上，直线l 的方程为0x =或1y =或10x y -+=； （2）抛物线2
4y x =的焦点坐标为(1,0)，
则过焦点F
1)y x =-，
联立21)4y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，解得133x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
或3x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩
不妨令(M
，1,33N ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
16
3
MN ∴=． 【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于基础题．
20．已知抛物线()2
:20C y px p =>，Q 为C 上一点且纵坐标为4，QP y ⊥轴于点P ，且1
2
QP QF =
，其中点F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点122M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，，A ，B 是抛物线C 上不同的两点，且满85AM BM k k +=-，证明直线AB 恒过
定点，并求出定点的坐标.
20．（1）2
8y x = （2）证明见解析
【解析】 【分析】
(1) 设()0,4Q x ,根据条件可得00122p x x ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，即02
p
x =，代入抛物线方程，即可求出答案. (2) 设AB 的方程为：x my n =+，()()1122,,,A x y B x y ,由方程联立可得12128,
8y y m y y n +=⋅-，根据
1288
22
AM BM k k y y +-=
+-，可得32n m =-，从而得答案. 【详解】
（1）设()0,4Q x ，根据抛物线的定义可得02
QF p x =+ 又QP y ⊥轴于点P ，则0QP x =
12
QP QF =
，所以00122p x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，则02p
x =
所以,42p Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由Q 在抛物线C 上，1622p p =⨯⨯，解得4p =
所以抛物线C 的方程为2
8y x = （2）证明：点122M ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，在抛物线28y x =上. 设AB 的方程为：x my n =+，()()1122,,,A x y B x y
由2
8x my n
y x
=+⎧⎨=⎩ 得2880y my n --= 12128,
8y y m y y n +=⋅-
12122212122222
1111228282
AM BM y y y y k k y y x x +++++=
+=+----
()()121212128328864328222+4816+45
y y m y y y y y y n m +--=
+===----+-- 所以()()6432581648m n m -⨯=+-⨯，整理得32n m =-
将32n m =-代入x my n =+得32x my m =+-，即()23x m y +=+.
所以直线AB 恒过定点()23--，
【点睛】
本题考查求抛物线的方程，考查直线过定点问题，属于中档题.。