宁津县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

宁津县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 定义在上的偶函数满足，对且，都有
R ()f x (3)()f x f x -=-12,[0,3]x x ∀∈12x x ≠，则有（ ）
1212
()()
0f x f x x x ->-A ． B ．(49)(64)(81)f f f <<(49)(81)(64)f f f <<C. D ．(64)(49)(81)f f f <<(64)(81)(49)
f f f <<2． 设复数（是虚数单位），则复数（ ）1i z =-i 2
2z z +=A.
B.
C.
D. 1i -1i +2i +2i
-【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．3
． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（
）
A ．2sin 2cos 2
αα-+ B ．sin
3αα-+C. 3sin 1αα+
D ．2sin cos 1
α
α-+4． 单位正方体（棱长为1）被切去一部分，剩下部分几何体的三视图如图所示，则（
）
A ．该几何体体积为
B ．该几何体体积可能为
C ．该几何体表面积应为+
D ．该几何体唯一
5． 已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a n
n n a 2
728-+=*
∈N n n a M 和，则（
）
m =+m M
A ．
B ．
C ．
D ．
2
11
2
27
32
259
32
4356． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3）
C ．（，2）
D ．（，0）
7． 已知，若存在，使得，则的()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->0(1,)x ∈+∞00()'()0g x g x +=b a
取值范围是（
）
A ．
B ．
C.
D ．(1,)-+∞(1,0)-(2,)-+∞(2,0)
-8． 已知等差数列的前项和为，且，在区间内任取一个实数作为数列{}n a n S 120a =-()3,5{}n a 的公差，则的最小值仅为的概率为（ ）
n S 6S A ．
B ．
C ．
D ．
1
5
1
63
14
13
9． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦，C.1
(][1)
7
-∞-+∞ ，，
D ．[1)
+∞，10．已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则
=（
）
A ．﹣1
B ．2
C ．﹣5
D ．﹣3
11．下列正方体或四面体中，、、、分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图形是
P Q R S （
）
12．某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π
2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.
二、填空题
13．设函数有两个不同的极值点，，且对不等式32
()(1)f x x a x ax =+++1x 2x 12()()0f x f x +≤恒成立，则实数的取值范围是
．
14．在中，，，为的中点，，则的长为_________.ABC ∆90C ∠=
2BC =M BC 1
sin 3
BAM ∠=
AC 15．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于_________. n 16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7
17．，分别为双曲线在双曲线上，满足，
1F 2F 22
22x y a b
-P 120PF PF ⋅= 若______________.
12PF F ∆【命题意图】意在考查
基本运算能力及推理能力．
三、解答题
18．求下列曲线的标准方程：（1）与椭圆
+
=1有相同的焦点，直线y=
x 为一条渐近线．求双曲线C 的方程．
（2）焦点在直线3x ﹣4y ﹣12=0 的抛物线的标准方程．
19．已知函数f （x ）=lnx 的反函数为g （x ）．
（Ⅰ）若直线l ：y=k 1x 是函数y=f （﹣x ）的图象的切线，直线m ：y=k 2x 是函数y=g （x ）图象的切线，求证：l ⊥m ；
（Ⅱ）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P=g （），Q=
，R=
，试比较P ，Q ，R 的
大小，并说明理由．
20．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；
{}n a n a n n S （2）设是等比数列，且，求数列的前n 项和．
(){}
1n
n n b a --257,71b b =={}n b n T 【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、n 运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．
21．如图所示，两个全等的矩形和所在平面相交于，，，且
ABCD ABEF AB M AC ∈N FB ∈，求证：平面．
AM FN =//MN BCE
22．已知函数f （x ）的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}，且对定义域内的任意x ，y 都有f （x ﹣y ）=成立，且f （1）=1，当0＜x ＜2时，f （x ）＞0．（1）证明：函数f （x ）是奇函数；
（2）试求f （2），f （3）的值，并求出函数f （x ）在[2，3]上的最值．　
23．设锐角三角形的内角所对的边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c 2sin a b A =（1）求角的大小；
B
（2）若，，求．
a =5c =
24．已知双曲线过点P（﹣3，4），它的渐近线方程为y=±x．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．
宁津县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A 【解析】
考
点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.1111]2． 【答案】A 【
解
析
】
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()
ααcos 22cos 2-112
2
1-=+=S ；利用三角形知识得出四个等
腰三角形面积ααsin 2sin 112
1
42=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.
考点：余弦定理和三角形面积的求解.
【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角
形面积公式ααsin 2
1
sin 1121=⨯⨯⨯=
S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()
αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()
ααcos 22cos 2-112
21-=+=S ，最后得到
答案.
4． 【答案】C
【解析】解：由已知中三视图可得该几何体是由一个边长为1的正方体，截掉一个角（三棱锥）得到且该三棱锥有条过同一顶点且互相垂直的棱长均为1
该几何体的表面积由三个正方形，有三个两直角边为1的等腰直角三角形和一个边长为
的正三角形组成
故其表面积S=3•（1×1）+3•（×1×1）+•（）2=
．
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图分析出该几何的形状及各边边长是解答本题的关键．　
5． 【答案】D 【解析】
试题分析：数列，， n n n a 2728-+=112528++-+=∴n n n a 11
2527
22n n n n
n n a a ++--∴-=-，当时，,即；当时,,()11
2522729
22n n n n n ++----+==
41≤≤n n n a a >+112345a a a a a >>>>5≥n n n a a <+1即.因此数列先增后减,为最大项，，,最
...765>>>a a a {}n a 32259,55==∴a n 8,→∞→n a n 2
11
1=a ∴小项为，的值为．故选D.211M m +∴32
43532259211=
+考点：数列的函数特性.6． 【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y 化为y=﹣2x+u ，u 相当于直线y=﹣2x+u 的纵截距，故由图象可知，
使u=2x+y 取得最大值的点在直线y=3﹣2x 上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x 上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D ．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．　
7．【答案】A
【解析】
考
点：1、函数零点问题；2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值.
【方法点晴】本题主要考查函数零点问题、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.
8． 【答案】D 【解析】
考
点：等差数列．9． 【答案】D 【
解
析
】
考点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
10．【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2==﹣2，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则===﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
11．【答案】D
【解析】
考
点：平面的基本公理与推论．12．【答案】
A
二、填空题
13．【答案】1(,1],22⎡⎤-∞-⎢⎥
⎣
⎦
【解析】
试题分析：因为,故得不等式,即
12()()0f x f x +≤()()
()3
3
2
2
12121210x x a x x a x x ++++++≤,由于
()()
()()()2
2
1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦
,令得方程,因 , 故
()()2'321f x x a x a =+++()'0f x =()23210x a x a +++=()2410a a ∆=-+>，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，()12122133x x a a
x x ⎧
+=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
()1a +()2
2520a a -+≥1a ≤-122a ≤≤因此, 当或时, 不等式成立,故答案为.
1a ≤-122a ≤≤()()120f x f x +≤1(,1],22⎡⎤
-∞-⎢⎥⎣⎦
考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.
【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出
()f x ()'0f x =
的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实
1212,x x x x +12()()0f x f x +≤数的取值范围.111]
14．【解析】
考点：1、正弦定理及勾股定理；2诱导公式及直角三角形的性质.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及勾股定理、诱导公式及直角三角形的性质，属于难题，高考三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正弦定理、余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可， 对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小，有时也要考虑特殊三角形的特殊性质（如正三角形，直角三角形等）.15．【答案】
6【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，；第2次运行后，
9,2,2,S T n S T ===>；第3次运行后，；第4次运行后，13,4,3,S T n S T ===>17,8,4,S T n S T ===>；第5次运行后，，此时跳出循环，输出结果21,16,5,S T n S T ===>25,32,6,S T n S T ===<6
n =程序结束．
16．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
17．1
【解析】
三、解答题
18．【答案】
【解析】解：（1）由椭圆+=1，得a2=8，b2=4，
∴c2=a2﹣b2=4，则焦点坐标为F（2，0），
∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，
∴设双曲线方程为（λ＞0），
即，则λ+3λ=4，λ=1．
∴双曲线方程为：；
（2）由3x﹣4y﹣12=0，得，
∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3），
∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为：
y2=16x或x2=﹣12y．
【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线为一条渐近线的双曲线方程是关键，是中档题．
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx的反函数为g（x）．
∴g（x）=e x．，f（﹣x）=ln（﹣x），
则函数的导数g′（x）=e x，f′（x）=，（x＜0），
设直线m与g（x）相切与点（x1，），
则切线斜率k2==，则x1=1，k2=e，
设直线l与f（x）相切与点（x2，ln（﹣x2）），则切线斜率k1==，则x2=﹣e，k1=﹣，
故k2k1=﹣×e=﹣1，则l⊥m．
（Ⅱ）不妨设a＞b，
∵P﹣R=g（）﹣=﹣=﹣＜0，∴P＜R，
∵P﹣Q=g（）﹣=﹣==
，
令φ（x）=2x﹣e x+e﹣x，则φ′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，则φ（x）在（0，+∞）上为减函数，
故φ（x）＜φ（0）=0，
取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴P＜Q，
⇔==1﹣
令t（x）=﹣1+，
则t′（x）=﹣=≥0，
则t （x ）在（0，+∞）上单调递增，故t （x ）＞t （0）=0，取x=a ﹣b ，则﹣1+
＞0，
∴R ＞Q ，综上，P ＜Q ＜R ，
【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用以及利用作差法比较大小，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．　
20．【答案】
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，{}n a 1a d 则由，，得，解得，……………3分
990S =15240S =1193690
15105240
a d a d +=⎧⎨
+=⎩12a d ==所以，即，
2(n 1)22n a n =+-⨯=2n a n =，即．……………5分(1)
22(1)2
n n n S n n n -=+
⨯=+1n S n n =+（
）
21．【答案】证明见解析．
【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
22．【答案】
【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x﹣y）=，
所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]====
==，
故函数f （x ）奇函数．
（2）令x=1，y=﹣1，则f （2）=f[1﹣（﹣1）]= =
，
令x=1，y=﹣2，则f （3）=f[1﹣（﹣2）]= =
=
，
∵f （x ﹣2）==
，
∴f （x ﹣4）=，
则函数的周期是4．
先证明f （x ）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x ＜3时，f （x ）＜0，设2＜x ＜3，则0＜x ﹣2＜1，则f （x ﹣2）=，即f （x ）=﹣
＜0，
设2≤x 1≤x 2≤3，
则f （x 1）＜0，f （x 2）＜0，f （x 2﹣x 1）＞0，则f （x 1）﹣f （x 2）=，
∴f （x 1）＞f （x 2），
即函数f （x ）在[2，3]上为减函数，
则函数f （x ）在[2，3]上的最大值为f （2）=0，最小值为f （3）=﹣1．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．　
23．【答案】（1）；（2）．
6
B π
=b =【解析】1111]
（2）根据余弦定理，得
，
2222cos 2725457b a c ac B =+-=+-=
所以.
b =
考点：正弦定理与余弦定理．24．【答案】
【解析】解：（1）设双曲线的方程为y 2﹣x 2=λ（λ≠0），
代入点P （﹣3
，4），可得λ=﹣16，
∴所求求双曲线的标准方程为
（2）设|PF 1|=d 1，|PF 2|=d 2，则d 1d 2=41，又由双曲线的几何性质知|d 1﹣d 2|=2a=6，∴d 12+d 22﹣2d 1d 2=36即有d 12+d 22=36+2d 1d 2=118，又|F 1F 2|=2c=10，
∴|F 1F 2|2=100=d 12+d 22﹣2d 1d 2cos ∠F 1PF 2
∴cos ∠F 1PF 2=
【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P 的情况下求它的标准方程，并依此求∠F 1PF 2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．　。