基本不等式(导学案)
基本不等式导学案
基本不等式导学案一、 教学目标1、 通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地通过配凑、变形及“1”的恒等变换利用基本不等式解决实际问题;2、 理解用不等式a+b 2≥√ab 求最值的条件，并能灵活地求实际问题的最大值或最小值；3、 通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、配凑、转化等数学意识与数学能力.二、 课前准备1、基础预测（1）不等式a+b 2≥√ab 中的a,b 的取值范围是_____，等号成立的条件是______。
（2）不等式22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 中的a,b 的取值范围是______，等号成立的条件是______ 2、基本不等式的理解：1、x,y∈R +，x+y 2为x,y 的算术平均数，√xy 为x,y 的几何平均数，算术平均数不小于几何平均数.2、结构特点：左边为和式，右边为积式.3、如果x,y ∈ℝ+，x +y =p 为定值时，它们的积xy 有最_____值； 如果x,y ∈ℝ+，xy =s 为定值时，它们的和x +y 有最_____值.三、 自我测验练习1、设a >0,b >0,给出下列不等式 (1)a +1a ≥2, (2)(a +1a )(b +1b )≥4,(3)(a +b )(1a +1b )≥4, (4)a 2+2+1a 2+2≥2,其中成立的是_____等号能成立的是_____练习2、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=x5+5x(x∈ℝ，x≠0) B、y=lgx+1lgx（1<x<10）C、y=3x+3−x(x∈R)D、y=sinx+1sinx (0<x<π2)四、学以致用例1、求函数y=1x−3+x(x>3)的最小值例2、已知：0<x<13,求函数y=x(1-3x)的最大值例3、已知正数x、y，求(x+y)(1x+1y)的最小值思考：已知正数x,y满足2x+y=1,求1x+1y的最小值。
基本不等式导学案
基本不等式【学习目标】1.理解基本不等式ab ≤2b a +的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。
2.掌握用均值不等式求函数的最值问题.【学习重难点】理解利用基本不等式ab ≤2b a +求函数的最值问题 【类法通解】 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式ab b a ≥+2成立的前提条件，0,0>>b a ； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【合作探究】【探究一】 (1)已知0,>n m ，且16=+n m ，求mn 21的最大值． (2)已知3>x ，求()34-+=x x x f 的最小值； (3)设0,0>>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值．【探究二】 (1)已知2lg lg =+b a ,求b a +的最小值；(2)已知0,0>>y x ，且632=+y x ，求xy 的最大值．(3)已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值．【探究三】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？【达标检测】1．已知())0(21<-+=x x x x f ，则()x f 有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－42．若0>>b a ，则下列不等式成立的是( )A ．ab b a b a >+>>2B ．b ab b a a >>+>2 C ．ab b b a a >>+>2D ．b b a ab a >+>>23．若0,0>>y x ，且14=+y x ，则xy 的最大值为________．4．已知0,0>>y x ，1lg lg =+y x ，则yx z 52+=的最小值为________． 5.若对任意的a x x x x ≤++>13,02恒成立,则a 的取值范围是____________________. 6.已知两正数,4,=+y x y x 且若不等式m yx ≥+41恒成立,则实数m 的取值范围是____. 7.设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z ++++的最小值为________________. 8.若不等式012≥++ax x 对于一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 成立，则a 的取值范围是9.若存在实数[]4,2∈x ,使2250x x m -+-<成立，则m 的取值范围为 10.设y x y x xy y x +=+->则且,1)(,0,的取值范围是___________________.11.设正数,a b 满足3ab a b =++，求ab 的最小值．。
基本不等式导学案
§2．2．2基本不等式（第二课时）（预习教材P 46~P 48，回答下列问题）复习：基本不等式：．（1）基本不等式成立的条件：．（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．【知识点一】利用基本不等式求最值（最值使用）已知,x y 都是正数，,P S 是常数．（1）xy P =⇒x y +≥（当且仅当x y =时，“=”成立）（2）x y S +=⇒xy ≤（当且仅当x y =时，“=”成立）自我检测1：利用基本不等式求最值时应注意什么？【知识点二】利用基本不等式证明有关不等式问题（放缩使用）自我检测2：你能证明下面两个常见的放缩不等式吗？（12a b +≤≤,a b R +∈）．（2）222a b c ab bc ca ++≥++．【知识点三】利用基本不等式解决实际中的问题（1）问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等．题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；（2）经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及(0,by ax a x=+>0)b >等．自我检测3：求函数()1f x x x=+的最值，并猜想该函数的图像的形状？第二章一元二次函数、方程和不等式-2-题型一利用基本不等式求最值问题【例1】求下列代数式的最值（1）已知x >0，y >0，且191x y+=，求x y +的最小值．（2）求函数()271011x x y x x ++=>-+的最小值．（3）求函数2y =的最小值．（4）已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy =9，求x ＋3y 的最小值．（5）若正数a ，b 满足111a b +=，求1911a b +--的最小值．【例2-2】已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9．题型三利用基本不等式解决实际问题【例3】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？第二章一元二次函数、方程和不等式-4-1．已知0,0x y >>,且21x y +=，则11x y+的最小值为．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y =−x 2＋18x −25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．4．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为．【参考答案】2a b +≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>．（2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号．24P 【自我检测1】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）正确定义（凑配）重要不等式中的,a b ，如构造“1”的代换等．（2）使用重要不等式求最值时，一定要检验“一正、二定、三相等”缺一不可且检验顺序不可改变．（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．【自我检测2】（1）【解析】左边：由a ＋b2≥ab 2a b +≤；右边：要证2a b +≤只需证()22242a b a b ++≤，只需证()204a b -≥，显然成立．所以，原命题得证．（2）【解析】∵a 、b 、c 互不相等，∴a 2＋b 2＞2ab ，b 2＋c 2>2ac ，a 2＋c 2>2ac ．∴2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )．即a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ．【自我检测3】函数()()0af x x a x=+>图像的形状如右图第二章一元二次函数、方程和不等式-6-【例1】求下列代数式的最值（1）【解析】∵x >0，y >0，且191x y+=，∴199()()101016y x x y x y x y x y+=++=++≥+，当且仅当9y xx y=，即4,12x y ==时，等号成立．所以函数的最小值为16．（2）【解析】∵1x >-，∴10x +>，∴()()22151471011x x x x y x x ++++++==++()415591x x =+++≥=+．当且仅当411x x +=+，即1x =时，等号成立．所以函数的最小值为9．（3）【解析】22y ==，当且仅当=，即245x +=，显然21x =，即1x =±时，等号成立．所以函数的最小值为（4）【解析】因为9=x ＋3y ＋xy =x ＋3y ＋13·(x ·3y )≤x ＋3y ＋213(32x y +⋅，所以(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )−108≥0．所以x ＋3y ≥6或x ＋3y ≤−18(舍去)，当且仅当x =3，y =1时取“=”．（5）【解析】解法一：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ⇒(a −1)·(b −1)=1，所以1911a b +≥--当且仅当43a =，b =4时取“=”)．解法二：因为111a b+=，所以a ＋b =ab ，所以19199910111b a b a a b ab a b -+-+==+-----+119(9)()101910b a b a a b a b =+⋅+-=+++-≥6=(当且仅当43a =，b =4时取“=”)．【例2-2】【解析】∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·bc＝3＋2＋2＋2＝9．∴1a ＋1b ＋1c>9．第二章一元二次函数、方程和不等式-8-1．【解析】∵21xy +=,0,0x y >>,∴11112(2)()33y x x y x y x y x y +=++=++≥+(当且仅当2y xx y=,即x =时，取“=”)．又∵21x y +=,∴112x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴当1x =,212y =-时，11x y+有最小值，为3+．3．【解析】每台机器运转x 年的年平均利润为2518(y x x x=-+，而x >0，故188yx≤-=，当且仅当x =5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．4．【解析】由题意得，22111434433xy xy x y z x xy y y x==≤=-+-+-，当且仅当2x y =时等号成立，此时22z y =，22212121(1)11x y z y y y+-=-+=--+≤，当且仅当1y =时等号成立，故所求的最大值为1．。
基本不等式配套导学案
《3.4 基本不等式a b 2+【学习目标】1．了解基本不等式的几何背景、能在教师的引导下探究基本不等式的证明过程． 2．理解基本不等式的代数意义、几何解释，知道什么是基本不等式，明确等号成立条件． 3．能用基本不等式解决简单的最值问题．4．体会数形结合的思想，感受我国辉煌的数学文化史。
【教学重难点】教学重点：应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式a b2+证明过程．教学难点：在几何背景下抽象并理解基本不等式．【教学过程】Ⅰ．创设情境 引入课题【情境1】思考：小欧拉智圈羊圈的故事中，只有100尺的篱笆，如何使得羊圈的面积最大？【情境2】透过折纸实验：你能通过比较面积大小的方式读懂他们想要表达的内容吗？图1取出两个正方形纸张，记一张面积为a ，另一张面积为b 。
把两张纸沿对角线对折，而后沿对角线将其靠拢，此时靠拢的两张纸的下半部分可看成一个矩形（图1）。
则两个三角形的面积之和： ；矩形的面积： ；显然，两个三角形的面积和大于矩形面积，当 时，二者面积相等。
得到不等式： 。
Ⅱ．自主探究 深化认识1. 代数证明，得出结论【问题1】讨论：当a ，b 为何值时不等式a b2+知识梳理：基本不等式（均值不等式）： 如果 a 、b ∈R +，那么a b2+a=b 时，等号成立。
代数意义：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值.公式辨析：判断下列推理是否正确：1102 2（1）若，则由 得的最小值是.≠+≥=+a a a a a22x 0x +1x +1 2x （2）若，则由 得的最小值为.≥≥44x 3x+4x+ 4x x （3）若，则由 得 的最小值是.≥≥=七字方针：“一 、二 、三 ”2. 几何证明，相见益彰【问题2】在图3中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上任意一点，AC a =,BC b =．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 、OD ．你能利用这个图形得出基本不等式a b2+ 易证Rt ACD ∆∽Rt DCB ∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD= .OD= ，显然，OD 大于或等于CD ，即 ，当且仅当点C 与圆心重合，即 时，等号成立.几何意义：“圆的半径不小于半弦”图3ABDC EbO aⅢ．实际运用巩固提升【例】用一段长为100尺的篱笆围成矩形羊圈，问这个矩形的长宽各为多少时，羊圈面积最大？最大面积是多少？【变式】用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？总结：两个正数的和为常数时，它们的积有最大值，即.两个正数的积为常数时，它们的和有最小值，即.Ⅳ．回顾反思拓展延伸基本不等式：运用基本不等式求最值的条件（七字方针）：核心素养总结：思想方法总结：【当堂检测】A级：1、已ab＞0，则的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2、做一个体积为32m3、高为2m的长方体纸盒，底面的长与宽取什么值时用纸最少？B级：若x＞3，函数3x1xy-+=，当x为何值时，函数有最小值，并求其最小值.【课后作业】必做题:课本P100-101习题3.4 A组1、4；选做题：课本P100-101习题3.4 B组1、2思维拓展：基本不等式与不等式a2+b2≥2ab的关系如何？有何异同点？22+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭a bab+≥a bb aa b+。
基本不等式(1)导学案
3.4基本不等式(第一课时)学习要求1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.自学评价1.算术平均数：2.几何平均数3.设a ≥0,b ≥0则2a b +的关系为 4.基本不等式的证明方法：【基本不等式的证明】例1：（1）设a 、b 为实数，证明：ab b a 222≥+（重要不等式）（2）设a 、b 为正数, 证明：ab b a ≥+2（基本不等式）1.常用不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法2.本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b 时成立．3.把不等式ab b a ≥+2(a ≥0,b ≥0)称为基本不等式 4.两正数的算术平均数是2b a +，两个正数的几何平均数是ab 即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等5. 基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．6. 基本不等式的变形：ab b a 2≥+ ；2)2(b a ab +≤ 【基本不等式的应用】例2：教材99页例题1总结归纳：用基本不等式求最值1.求最值的两种情况：若b a ,都是正数，(1)如果积ab 是定值P , 根据ab b a 2≥+， 则当且仅当b a =时， 和b a +有最小值 ．.(2)如果和b a +是定值S , 根据2)2(b a ab +≤，则当且仅当b a =时, 积ab 有最大值 ． 2.利用基本不等式求最值满足的条件：“一正、二定、三相等”例3：当0>x 时，求xx 1+的最小值。
拓展：（1）设0>x 时，求xx 12+的最小值。
（2）设1>x 时，求11-+x x 的最小值 （3）当0<x 时，求xx 1+的最大值。
（4）设0≠ab ，求ba ab +的最值。
导学案034基本不等式
基本不等式考纲要求会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 考情分析1.利用基本不等式求最值是命题热点．2.客观题突出变形的灵活性，主观题在考查基本运算能力的同时又着重考查化归思想、分类讨论思想的应用．3.各种题型都有，难度中、低档. 教学过程基础梳理一、基本不等式ab ≤a ＋b21．基本不等式成立的条件： .2．等号成立的条件：当且仅当 时取等号． 二、几个重要的不等式a 2＋b 2≥ (a ，b ∈R)；b a ＋ab ≥ (a ，b 同号)．ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R)；(a ＋b 2)2 a 2＋b 22(a ，b ∈R)．三、算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，基本不等式可叙述为： ． 四、利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则1．如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 .(简记：积定和最小) 2．如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 .(简记：和定积最大)双基自测1．(教材习题改编)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值 为 ( ) A.13 B.12C.34D.232．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2433．(教材习题改编)在下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的 是 ( ) A ．y ＝－x －4x B ．y ＝lg x ＋1lg xC ．y ＝x 2＋1＋1x 2＋1D ．y ＝x 2－2x ＋34．已知x >0，则y ＝x 2－4x ＋1x 的最小值为________．5．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．1．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条 件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用， 例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典例分析考点一、利用基本不等式求最值[例1] (2011·重庆高考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝ ( ) A ．1＋2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·济南模拟)若x >0，则x ＋4x的最小值为 ( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4[冲关锦囊]利用基本不等式求最值的关键在于变形创设“一正二定三相等”这一条件．常见的变形的方法有：变符号、凑系数、拆项、添项、分子分母同除等方法.考点二、利用基本不等式求条件最值 [例2] (2011·浙江高考)若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________若本例条件变为：若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 2．(2012·郑州模拟)设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是 ( ) A ．6 B ．4 2C ．2 6D ．8[冲关锦囊]利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用，主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解． (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值.考点三、基本不等式的实际应用 [例3] (2011·湖北高考)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·嘉兴模拟)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面为铁栅，造价40元/米，两侧墙砌砖，造价45元/米，顶部造价每平方米20元．试算：仓库底面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面的铁栅应设计为多长？[冲关锦囊]在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点 (1)设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域； (3)在定义域内，求出函数的最值；(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．一、选择题1．(2012·杭州模拟)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( ) A.1a ＋1b有最大值4 B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2D ．a 2＋b 2有最小值222．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有 ( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2012·福州模拟)设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a >0，b >0，则2a ＋3b 的最小值为( )A.256 B.83 C.113D ．44．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P ≥QB ．P <QC ．P ≤QD ．P >Q5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件二、填空题6．(2011·上海十三校联考)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．7．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x 的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．三、解答题8．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c .9．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．10．(2012·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y ＝f (x )的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？ 解：(1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为： 4 000×2 000＝8 000 000(元)＝800(万元)，从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(万元)，写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列， 所以函数表达式为：y ＝f (x )＝800x ＋x (x －1)2×20＋9 000＝10x 2＋790x ＋9 000(x ∈N *)；(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为： g (x )＝f (x )2 000x ×10 000＝5(10x 2＋790x ＋9 000)x＝50⎝⎛⎭⎫x ＋900x ＋79≥50×(2900＋79)＝6 950(元)． 当且仅当x ＝900x，即x ＝30时等号成立．答：该写字楼建为30层时，每平方米平均开发费用最低．。
基本不等式(第一课时)导学案
3.4a b2+≤（第一课时）学习目标：1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的代数、几何背景.(重点）2.基本不等式的简单应用.课堂探究：从课本P97“探究”出发，阅读课本P97-98内容，然后结合课本探究本节课的知识点。
探究点一：探究基本不等式1．设AE=a,BE=b, 则正方形ABCD 的面积是________， 这4个直角三角形的面积之和是_________， 结合图形可知，S 正方形ABCD 4S 直角三角形，222.a b ab +>即问：222a b ab +=成立吗？【提升总结】一般地，对于任意实数a ，b ，我们有222,a b ab +≥当且仅当a=b 时，等号成立.我们把它称为重要不等式。
问：你能给出它的证明吗？2.对重要不等式中，a >0,b >0,如果,a b ,可得a b +≥(0,0).2a ba b +≤>> 问：能用不等式的性质直接推导吗？证明：要证2a b+≥ 只要证a b +≥ ① 要证①，只要证0a b +-≥ ②要证②，只要证2()0-≥ ③显然, ③是成立的.当且仅当a=b 时, ③中的等号成立. 【提升总结】(0,0).2a ba b +≤>> 注意：（1）a,b 均为正数； （2）当且仅当a=b 时取等号.3.对基本不等式的理解：(1)几何理解（阅读课本P 98探究）以a+b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a ，CB=b.过点C 作垂直于直径AB 的弦DE ，则因为圆的半径为a b 2+，所以a b 2+≥点C 与圆心重合，即a=b 时，等号成立， 则该定理又可以叙述为：半径不小于半弦. (2)数列理解如果把a b 2+看作是正数a ，ba ，b 的等比中项，则该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.探究点2 基本不等式在求最值中的应用例1 当0x >时，1x x+的最小值为 ，此时x = .例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？【提升总结】由（1）当xy 的值是常数P 时，当且仅当x=y 时，x+y有最小值 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.由（2）当x+y 的值是常数S 时，当且仅当x=y 时，xy 有最大值21.4S结论2 两个正数和为定值，则积有最大值. 综上，“两个正数积为定值，则和有最小值.两个正数和为定值，则积有最大值. ”注意：①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件. 简记：一“正”，二“定”，三“相等”.例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4 800 m 3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?课堂小结：1.两个重要的不等式（1）22a,b R,a b 2ab (a b )∈+≥==那么当且仅当时取“”号； （2a b(a 0,b 0)(a b ).2+≤>>==当且仅当时取“”号 2.不等式的简单应用：主要是求最值， 把握 “六字方针”，即 “一正，二定，三等”.课堂训练：1.给出下面四个推导过程： ①因为a ，b ∈(0，+∞)，所以ba 2ab a b+≥=； ②因为x ，y ∈(0，+∞)，所以lgx+lg y ≥ ③因为a ∈R ，a ≠0，所以4a 4a +≥=； ④因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y x y [()()] 2.y x y x +=--+-≤-=- 其中正确的推导过程为（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④2.在下列函数中，最小值为2的是（ ）A. 5(,0)5x y x R x x =+∈≠ B. 1lg (110)lg y x x x=+<< C. 33()x x y x R -=+∈ D. 1sin (0)sin 2y x x x π=+<< ()43.函数y =x +x >0的值域为______.x4.已知0,0,x y >> 且2520,x y +=则xy 的最大值为_____.。
高中数学选修4《基本不等式》导学案
1 §1.1.2基本不等式一、学习目标1．理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题．2.能运用平均值不等式(两个正数的)解决某些实际问题．【重点、难点】教学重点：均值不等式定理的证明及应用。
教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
二、学习过程【情景创设】1.我们已经学过重要不等式()R b a ab b a ∈≥+,222，该不等式是怎么推导的？ 2.根据1中重要不等式推导b a ab b a ++,,22),(+∈R b a 的不等关系.并思考它们如何应用.【导入新课】自学探究：（阅读课本第5-7页，完成下面知识点的梳理）1.定理1：如果R b a ∈,，那么 ，当且仅当 时，等号成立.2.定理2（基本不等式）如果0,>b a ，那么ab b a ≥+2，当且仅当 时，等号成立. 说明：1. 基本不等式ab ≤a ＋b 2(1) 基本不等式成立的条件：a>0，b>0；(2) 等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号；(3) 结论：两个非负数a ，b 的算术平均数不小于其几何平均数．2. 应用基本不等式的条件：（1）、一正：各项为正数；（2）、二正：“和”或“积”为定值；（3）、三等：等号一定能取到，这三个条件缺一不可。
“积定和最小；和定积最大”。
三 、典例分析例1.(1) 若x>0,求9()4f x x x =+的最小值; (2)若x<0,求9()4f x x x =+的最大值.例2.(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；2例3.已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．【变式拓展】变式1：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。
变式2：若26x y +=，求24x y +的最小值四、总结反思1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，这三个条件缺一不可。
基本不等式导学案
3.4基本不等式（1）【学习目标】1.探索并了解基本不等式的证明过程；2.了解基本不等式的代数及几何背景；3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
【学习重点】：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程。
【学习难点】：基本不等式成立的条件及应用。
【学法指导】：先仔细阅读教材必修五P97—P100，用红色笔进行勾画；有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；规范独立完成导学案的预习案部分，并总结规律方法。
找出自己的疑惑和需要解决的问题，写到我的疑问处。
【预习案】【探究新知】【知识探究一】：重要不等式 1、 探究： 如图所示，这是我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
你知道这其中含有哪些相等关系或不等关系吗？设小直角三角形的两条直角边为、a b （a b ≠），则正方形的边长为 ，正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。
4正方形三角形S S ⨯<⇒ < 。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 , (4正方形三角形S S ⨯=) ⇒ 。
结论：一般地，对于任意实数a 、b ，我们有 当且仅当 时，等号成立。
此不等式称为重要不等式请你用所学的知识证明重要不等式。
222a b a b+≥⋅【知识探究二】：基本不等式2,上式中的a,b ,可得 。
我们通常把上式写成称之为基本不等式（也叫均值不等式）。
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。
若两个数a,b , 且00a ,b >>, 2a b +是a,b 的 ，叫做a,b 的算术平均数a,b 的 ，叫做a,b 的几何平均数， 结论：基本不等式的代数意义是：a,b 的等比中项 a ,b 的等差中项（,≥≤）， 即两个正数的几何平均数 它们的算术平均数.32a b +（0,>b a ）4. 2a b +≤的几何意义是什么？ 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，a AC =，b BC =． 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接BD AD ,．则圆的半经长为 ，半弦长CD 等于 ,由图形可知两者间有怎样的不等关系？结论：基本不等式的几何意义是：圆内半弦长 圆的半径A B【预习效果检测】:1、判断下列推理是否正确：（1）、若a R ∈，则12a a +≥= （ ） （2）、若01x <<(1)122x x +-≤= （ ） （3）、若,0a b >且18a b +=，则2218()()8122a b a b +⋅≤== （ ） 2、0x > 函数1y x x =+，当x 取什么值y 有最小值，最小值是多少？【预习小结】：【我的疑惑】：3.4 基本不等式（1）课 中 案深 化 认 识 加 强 理 解基本不等式：学以致用，我们可以用基本不等式来解决什么样的问题呢？1、它沟通了两个正数的和与积的不等关系，在实际问题中有广泛的应用（求最值)。
基本不等式的导学案孙文艳
§3.4 基本不等式：ab 2ba +≤导学案 设计者：孙文艳 时间：2014.04.14 学习目标1.通过本节探究，应学会推导并掌握基本不等式，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
教学重点：学会推导并掌握基本不等式。
教学难点：会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
学习过程 一、互助探究探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？若,0a b >，则ab b a 2_____22+． 思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？ 2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?新知：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当b a __时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？新知：2a b+)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？思考三：基本不等式的变形为ab ≤__________，基本不等式以及它的变形在实用时应注意①___________ ②_____________ ③_______________ 二、典型例题A. B. C.三、巩固练习1、22,ab a b ≠+若0<a<1,0<b<1,且a b,则中最大的一个是（） A. 22a b +B. C. 2ab D. a b +2、40,x x x>+若则的最小值为（）A.2B.3C. 4D. 四、提高创新1.0<x<1,y=x (1-x)∙设求函数的最大值2.13x -若x>3,求函数y=x+的最小值五、小结提升11 x>0,x+x例若求的最小值。
导学案：基本不等式
§基本不等式（一）本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。
要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。
变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的研究奠定基础。
两个定理的证明要注重严密性，老师要帮助学生分析每一步的理论依据，培养学生良好的数学品质。
一、【学习目标】1、理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；2、理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵；二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第97—100页内容，然后回答问题提问1:我们把“风车”造型抽象成图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？22a b +）提问2：那4个直角三角形的面积和是多少呢？ （ ）提问3：根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？（当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=）1、一般地，对于任意实数 、，我们有222a b ab +≥，当且仅当时，等号成立。
提问4：你能给出它的证明吗？证明:222)(2b a ab b a +=-+ 0)(2>-≠b a ，b a 时当 0)(2=-=b a ，b a 时当所以 222a b ab +≥注意强调 （1） 当且仅当时, 222a b ab +=(2)特别地,如果,0,0>>b a 用和代替、，可得ab b a 2≥+,(0,0)2a b a b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导提问5：观察图形,你能得到不等式0,0)2a b a b +≥>>的几何解释吗？ 的算术平均数，为称b a b a ,2.2+ . , 的几何平均数为b a ab 为两两不相等的实数，已知例c b a ,,1. . 222ca bc ab c b a ++>++求证： 练习、已知：,0,0,0>>>c b a 求证：c b a cab b ac a bc ++≥++ , ,,, 2. 都是正数已知例d c b a .4 ))(( abcd bd ac cd ab ≥++求证：例3、若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R += 比较R P 、、Q 、的大小 例4、当1->x 时，求函数113)(2++-=x x x x f 的值域。
数学必修5导学案：3-3 第1课时 基本不等式
§3基本不等式第1课时基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都是非负数，那么2ba+≥ab,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b) 2,当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD２=CA·CB,即CD=ab.这个圆的半径为2ba+，显然，它大于或等于CD，即2ba+≥ab， 其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式ab ≤2b a +（a ≥0,b ≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高. 4.关于a 2+b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a,b >0）（1）两个不等式：a 2+b 2≥2ab 与2b a +≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a,b 都是实数，后者则要求a,b 都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的， 而()()243-+-≥()()43-⨯-是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件. (2)两个不等式：a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b 时取‘＝’”这句话的含义是“a=b ”时，a 2+b 2≥2ab ，2b a +≥ab 中只有等号成立，反之，若a 2+b 2≥2ab ,2b a +≥ab中的等号成立时,必有“a=b ”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值 利用基本不等式2b a +≥ab ，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地： x,y都为正数时，（1）若x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy 取得最大值42S;（2）若xy=p （积为定值），则当x=y 时，和x+y 取得最小值2p .证明：∵x,y 都为正数， ∴2y x +≥xy(1)和式为定值S 时，有xy ≤2S ，∴ xy ≤41S 2.上式当“x=y ”时取“＝”号，因式当x=y 时，积xy 有最大值41S 2；(2)积式xy为定值p时，有2yx+≥p,∴x+y≥2p.上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2p. 注意：（1）在应用均值不等式ab≤2ba+求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么，当且仅当时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数.2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b ≥,等号当且仅当a=b时成立.［答案］ 1.2ba+≥ab a=b2ba+ab2.(1)最大值42M(2)最小值2p思路方法技巧命题方向利用基本不等式比较代数式的大小［例1］已知0＜a＜1,0<b<1,则a+b,2ab,a2+b2,2ab中哪一个最大？［分析］由已知a,b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来加以解决.［解析］方法一：∵a>0,b>0,∴a+b≥2ab,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0<b<1,∴a2+b2-(a+b)=a2-a+b2-b=a (a -1)+b (b -1)<0,∴a 2+b 2<a+b ,∴a+b 最大． 方法二：令a=b =21,则a+b =1,2ab =1, a 2+b 2=21,2ab =2×21×21=21,再令a =21,b =81,a+b =21+81=85,2ab =28121⨯＝21，∴a+b 最大.［说明］ 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件.特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性. 变式应用1已知m=a +21-a (a >2),n =22-b2(b ≠0),则m 、n 的大小关系是（ ）A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定 ［答案］ A［解析］ ∵a >2,∴a -2>0, 又∵m=a +21-a =(a -2)+21-a +2≥２()212-⋅-a a +2=4,当且仅当a -2=21-a ,即（a -2）2=1,又a -2>0，∴a -2=1,即a =3时取等号.∴m ≥4. ∵b ≠0, ∴b 2≠0, ∴2-b 2<2, ∴22-b2<4,即n <4， ∴m>n .命题方向 利用基本不等式求最值［例2］ （1）若x >0，求函数f (x )=x12 +3x 的最小值；（2）若x <0，求函数f (x )= x12+3x 的最大值.［分析］ 利用基本不等式求最值，必须同时满足3个条件：①两个正数；②其和为定值或积为定值；③等号必须成立.三个条件缺一不可.对（1），由x >0,可得x12>0,3x >0.又因为x12·3x =36为定值，且x12=3x (x >0)时，x =2,即等号成立，从而可利用基本不等式求最值.对（2），由x <0，得x12<0,3x <0,所以-x12>0,-3x >0,所以对 (-x12)+(-3x )可利用基本不等式求最值.［解析］ （1）因为x >0，所以x12>0,3x >0,所以f (x )= x12+3x ≥2x x312⋅=236=12.当且仅当x12=3x ,即x =2时，等号成立.所以当x =2时，f (x )取得最小值12. （2）因为x <0,所以-x >0, 所以-f (x )= (-x 12)+(-3x )≥2()x x 312-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=12,所以f (x )≤-12 . 当且仅当-x12=-3x ,即x =-2时，等号成立.所以当x =-2时，f (x )取得最大值-12.［说明］ 利用基本不等式求函数最值时，要注意体会“一正、二定、三相等”，当两个数均为负数时，首先将它们变为正数，即在前面加一个负号，再利用基本不等式求解. 变式应用2设x >0，求y =2-x -x4的最大值.［解析］ ∵x >0,∴x +x4≥2xx 4⋅=4,∴y =2- (x +x4)≤2-4=-2.当且仅当x =x4，即x =2时等号成立，y取最大值-2.［例3］ （1）已知x <45，求函数y =4x -2+541-x 的最大值；（2）已知0<x <31,求函数y=x (1-3x )的最大值.［分析］ 此题不容易看出积或和为定值，必须对函数解析式进行拼凑，让其产生定值. ［解析］ （1）因为x <45，所以4x -5<0,即5-4x >0,所以y =4x -2+541-x =- (5-4x +x451-)+3.因为5-4x +x451-≥2()xx 45145-⋅-=2,所以y ≤-2+3=1,当且仅当5-4x =x451-,即x =1时等号成立，所以当x =1时，函数y 取得最大值1.（2）因为0<x <31，所以1-3x >0,所以y=x (1-3x )=31·3x (1-3x )≤31 [()2313x x -+]2=121.当且仅当3x =1-3x ,即x =61时等号成立，所以当x =61时，函数y 取得最大值121.［说明］ 解决本题的关键是拼凑.（1）中将4x -2拼凑成4x -5.(2)中将x 拼凑成3x ,从而可产生定值.（1）中是积为定值.（2）中是和为定值. 变式应用3求函数y =31-x +x (x >3)的最小值.［解析］ y =31-x +x =31-x +(x -3)+3,∵x >3,∴x -3>0, ∴31-x +(x -3)≥2()331--x x =2,当且仅当31-x =x -3,即x -3=1,x =4时，等号成立. ∴当x =4时，函数y =31-x +x (x >3)取最小值2+3=5.命题方向 利用基本不等式解决有关实际应用问题［例4］ 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件x 元（50<x ≤80）时，每天销售的件数为p =()254010-x ,若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？［分析］ 首先据题意建立关于利润的函数模型，利润＝销售件数×（销售价格-进货价格）.再应用基本不等式解决最值问题.［解析］ 解法一：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x=(x -50)·()()1005020501025+-+-x x=()()205010050105+-+-x x .∵x -50≥0， ∴（x -50）+()50105-x ≥20.∴S ≤2020105+＝2500，当且仅当（x -50）＝()5010-x ，即x =60或x =40（不合题意舍去）时取=. 解法二：由题意知利润 S =（x -50）·()254010-x令x －50＝t ，x =t +50（t >0）， 则S =()251010+t t=100201025++t t t=20100105++tt ≤2020105+＝2500.当且仅当t =t100，即t =10时取等号，此时x =60.答：当销售价格定为60元时，每天获得的利润最多. ［说明］ 1.解实际应用问题要遵循以下几点：（1）在理解题意的基础上设变量，设变量时一定要把求最大值或最小值的变量定义为函数； （2）建立相应的函数解析式，将实际应用问题转化，抽象为函数的最大值或最小值问题（纯数学问题）；（3）在定义域内（使实际问题有意义的自变量取值范围）求出函数的最大值、最小值； （4）回到实际问题中，写出正确答案.2.本题为分式函数模型，可将其转化为基本不等式的形式求解.若分子次数高时，可把分子拼凑成分母的形式，用分母除开；若分母次数高时，可把分母拼凑成分子的形式，反过来相除，此外，也可以先使用换元法，再拼凑上基本不等式的形式，去求最值. 变式应用4某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为Q ＝xx 23- (x >0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每年生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150％”与“年广告费的50％”之和，而当年产销量相等.(1)试将年利润P （万元）表示为年广告费x (万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ ［解析］ （1）P =(32Q +3)·150％＋x ·50%-(32Q +3)-x =-2x -x32+49.5(x >0)；（2）P ＝- (2x ＋x32)+49.5≤-2×4+49.5=41.5,当且仅当21x =x32时，即x =8时，P 有最大值41.5万元.答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元.名师辨误做答［例5］ 已知a >0,b >0,且a1+b9=1,求a+b 的最小值.［误解］ ∵a >0,b >0 ∴a1+b9≥2ab9=6ab1,∴6ab1≤1，∴ab1≤361，∴ab ≥36.∴a+b ≥2ab ≥12. ∴a+b 的最小值为12.［辨析］ 上述解法错误的原因是两次使用均值不等式时，两个等号成立的条件不同，即第一次等号成立的条件为a1+b9,即b =9a ,第二次等号成立的条件为a=b ，故a+b 取不到最小值12.［正解］ ∵a >0,b >0，a1+b9＝1，∴a+b =(a 1+b9)(a+b )=1+9+ba ab 9+≥10+2ba ab 9⋅=10+2×3＝16. 当且仅当ba ab 9=，即b 2=9a 2时等号成立.解得a =4,b =12.故当a =4,b =12时，a+b 取最小值16.课堂巩固训练一、选择题 1.已知ab >0，则ba ab +的取值范围是（ ）A.（2，+∞）B.［2，+∞)C.(4，+∞)D.［4，+∞) ［答案］ B［解析］ ∵ab >0, ∴a b >0,ba >0,∴ba ab +≥2b aa b ⋅=2. 当且仅当ba ab =，即a=b 时，等号成立.2.不等式a 2+4≥4a 中等号成立的条件是（ ） A.a =±2 B.a =2 C.a =-2 D.a =4 ［答案］ B［解析］ 因为a 2-4a +4=(a -2) 2≥0, 当且仅当a =2时取“＝”，所以a =2. 3.如果a,b 满足0<a<b ,a+b =1,则21,b ,2ab ,a 2+b 2中值最大的是（ ）A. 21 B.aC.2abD.a 2+b 2 ［答案］ D［解析］ 解法一：∵0<a<b , ∴1=a+b >2a , ∴a <21,又a 2+b 2≥2ab ,∴最大数一定不是a 和2ab , 又a 2+b 2=(a+b ) 2-2ab =1-2ab , ∵1=a+b >2ab ,∴ab <41,∴1-2ab >1-21=21,即a 2+b 2>21.解法二：特值检验法：取a =31,b =32,则2ab =94,a 2+b 2=95,∵95>21>94>31,∴a 2+b 2最大.二、填空题 4.若x >0,则x +x2的最小值为 .［答案］ 22 ［解析］ ∵x >0,∴x +x2≥2xx 2⋅=22,当且仅当x =x2,即x =2时，等号成立.5.x,y ∈R ,x+y =5,则3x +3y 的最小值是 . ［答案］ 183［解析］ 3x >0,3y >0.∴3x +3y ≥2y x 33⋅=2yx +3=2·（3）5＝183,当且仅当x=y =25时等号成立.课后强化作业一、选择题1.下列函数中，最小值为2的是（ ） A.y=x +x1 B.y =sin x +xsin 1,x ∈ (0,2π)C.y =2322++x x D.y =x +x1［答案］ D［解析］ A 中，不满足正数这一条件； B 中，∵x ∈ (0,2π),∴sin x ∈(0,1),∴等号不成立； C 中，y =2322++x x =21222+++x x =22+x +212+x ,当22+x =212+x 时，x 2+2=1,x 2=-1(不成立)； D 中x >0, y =x +x1≥2,当且仅当x =x1,即x =1时，取最小值2. 2.a,b ∈R +，则2b a +,ab ，ba ab +2三个数的大小顺序是（ ）A. 2b a +≤ab ≤b a ab +2B. ab ≤2b a +≤b a ab +2C. ba ab +2≤ab ≤2b a +D. ab ≤ba ab +2≤2b a +［答案］ C［解析］ 解法一：取a =2,b =8,则2b a +=5，ab =4，ba ab +2=3.2,∴选C.解法二：已知2b a +≥ab ，又ab -ba ab +2=()ba abb a ab +-+2=()2ba ba ab+-≥0∴ab ≥ba ab +2. 也可作商比较abb a ba ab ab22+=+≥1.3.(2011·上海理，15)若a,b ∈R ，且ab >0,则下列不等式中，恒成立的是（ ） A.a 2+b 2>2ab B.a+b ≥2abC.ba 11+ >ab2 D.ba ab +≥2［答案］ D［解析］ 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断. 用排除法： A:a=b 时不满足； B:a<0,b <0时不满足； C:a <0,b <0时不满足； D:ab >0,ba >0,ab +ba ≥2baa b ⋅=2. 4.设x +3y =2,则函数z =3x +27y 的最小值是（ ） A.32 B.22C.3D.6 ［答案］ D ［解析］ ∵x +3y =2, ∴x =2-3y . ∴z =3x+27y=32-3y+27y＝y279+27y≥2yy27279⋅＝6，当且仅当y279=27y,即27y =3,∴33y=3, ∴3y =1, ∴y =31.即x =1,y =31时，z =3x +27y 取最小值6.5.某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为a , 第三年的增长率为b ,这两年的平均增长率为x ,则（ ） A.x =2b a + B.x ≤2b a +C.x ＞2b a + D.x ≥2b a +［答案］ B［解析］ ∵这两年的平均增长率为x ， ∴A (1+x ) 2=A (1+a )(1+b )，∴(1+x ) 2=(1+a )(1+b ),由题设a ＞0,b ＞0. ∴1+x =()()b a ++11≤()()211b a ++=1+2b a +，∴x ≤2b a +.等号在1+a =1+b 即a=b 时成立. 6.若x >4，则函数y=x +41-x （ ）A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2 ［答案］ B［解析］ ∵x >4,∴x -4>0,∴y=x -4+41-x +4≥2()414-⋅-x x +4＝6.当且仅当x -4=41-x ，即x -4=1，x =5时，取等号.7.若a>b >1,P =b a lg lg ⋅,Q =21 (lg a +lg b ),R =lg (2b a +),则（ ）A.R<P<QB.P<Q<RC.Q<P<RD.P<R<Q ［答案］ B［解析］ 由a ＞b ＞1,得lg a ＞lg b ＞0， Q =21 (lg a +lg b )＞b a lg lg ⋅=P ，R =lg(2b a +)＞lg ab =21 (lg a +lg b )=Q ，∴R ＞Q ＞P .8.设正数x,y 满足x +4y =40,则lg x +lg y 的最大值是（ ） A.40 B.10C.4D.2 ［答案］ B ［解析］ ∵x +4y ≥2y x 4⋅＝4xy ,∴xy ≤44y x + =440=10,当且仅当x =4y 即x =20,y =5时取“＝”， ∴xy ≤100,即（xy ）max =100, ∴lg x +lg y =lg(xy )的最大值为lg100=2. 二、填空题9.周长为l 的矩形对角线长的最小值为 . ［答案］42 l［解析］ 设矩形长为a ,宽为b ,则a+b =21,∵(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab ≤2a 2+2b 2，∴a 2+b 2≥()22b a +，∴对角线长22b a +≥()22b a + =42l .当且仅当a=b 时，取"＝".10.若a >0,b>0,a+b =2，则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）. ①ab ≤1； ②b a +≤2;③a 2+b 2≥2; ④a 3+b 3≥3; ⑤ba 11+≥2.［答案］ ①③⑤ ［解析］ ①ab ≤(2b a +)2=(22)2=1,成立.②欲证b a +≤2,即证a+b +2ab ≤2，即2ab ≤0,显然不成立. ③欲证a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ≥2, 即证4-2ab ≥2,即ab ≤1,由①知成立. ④a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2)≥3⇔a 2-ab+b 2≥23⇔ (a+b ) 2-3ab ≥23⇔4-23≥3ab ⇔ab ≤65,由①知，ab ≤65不恒成立.⑤欲证a1+b1≥2,即证abb a +≥2,即证ab ≤1,由①知成立.11.(2010·山东·文)已知x ，y ∈R +，且满足43y x +=1，则xy 的最大值为 .［答案］ 3［解析］ ∵x >0,y >0,且1=43y x +≥212xy ,∴xy ≤3,当且仅当43y x =,即x =23,y =2时，等号成立.12.(2011·浙江文，16)若实数x,y 满足x 2+y 2+xy =1,则x+y 的最大值是 ［答案］332［解析］ 题考查了均值不等式及学生灵活运用该知识的能力. 由x 2+y 2+xy =1可得，（x+y ）2=xy +1 而由均值不等式得xy ≤（2y x +）2∴（x+y ）2≤（2y x +）2+1整理得，43（x+y ）2≤1∴x+y ∈［-332，332］∴x+y 的最大值为332.三、解答题13.设实数a 使a 2+a -2>0成立，t >0，比较21log a t 与log a21+t 的大小.［解析］ ∵a 2+a -2＞0,∴a ＜-2或a ＞1， 又a ＞0且a ≠1,∴a ＞1， ∵t ＞0,∴21+t ≥t ,∴log a21+t ≥log a t =21log a t ,∴21log a t ≤log a 21+t .14.已知a >0,b >0,a,b 的等差中项是21,且α=a +a1，β=b +b1,求α+β的最小值.［解析］ 因为a,b 的等差中项是21,所以a+b =1, α+β= (a +a1)+ (b +b1)=(a+b )+ (a1+b1)=1+abb a +=1+ab1,∵ab ≤ (2b a +)2=41,∴ab1≥4,α+β≥5(当且仅当a=b =21时取等号)，故α+β的最小值为5.15.已知x >0,y >0,lg x +lg y =1,求x2+y5的最小值.［解析］ 方法一：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10.则x2+y5=1052x y +≥10102xy =2，所以 (x2+y5)min =2,方法二：由已知条件lg x +lg y =1可得： x >0,y >0,且xy =10,x2+y5≥2yx 52⋅=21010=216.(2012·济南高二检测)要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm ），能使矩形广告面积最小？［分析］ 本题是一道较为典型的求最值的实际应用题，考查了均值不等式的应用，同时考查了学生分析问题和解决问题的能力.［解析］ 设矩形栏目的高为a cm,宽为b cm, 则ab =9000. ①广告的高为a +20,宽为2b +25,其中a >0,b >0.广告的面积S ＝(a +20)(2b +25)=2ab +40b +25a +500=18500+25a +40b ≥18500+2b a 4025 =18500+2ab 1000=24500.当且仅当25a =40b 时等号成立，此时b =85a,代入①式得a =120,从而b =75,即当a =120,b =75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm,宽为175cm 时，可使广告的面积最小.。
基本不等式导学案
精心整理基本不等式（一）【学习目标】（1）学会推导并掌握基本不等式2a bab +≤，理解此不等式的几何意义； （2）了解熟悉算术平均数、几何平均数的概念 （3）会应用不等式及其变形求一些简单的最值问题 【课前预习】如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。
在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。
你知道这其中含有哪些数学因素吗？设小直角三角形的两条直角边为、a b ，则正方形的边长为，正方形的面积为。
四个直角三角形的面积和为。
4正方形三角形S S ⨯<⇒<。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是,(4正方形三角形S S ⨯=) 概念:一般的,对于任意的实数a,b ,我们有，当且仅当时,等号成立.特别的,如果00a ,b >>,我们用、a b 分别代替a,b ,可得。
我们通常把上式写成2a bab +≤(00a ,b >>) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢? 证明过程:要证2a bab +≥① 只需证≥②(同时平方)要证②只需证≥0③(右边的项移到左侧) 要证③只需证2(__________)0-≥④ 显然④成立.当且仅当a b =时,等号成立.a,b ,概念扩展:回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。
若两个数a,b ,且00a ,b >>,2a b+是a,b 的，叫做a,b 的算术平均数， ab 是叫做a,b 的，叫做a,b 的几何平均数，由基本不等式可得：a,b 的等差中项a,b 的等比中项（,≥≤），特别的，当a b =时，a,b 的等差中项等于a,b 的等比中项。
【预习自测】习题一：若0a >，则1a a+≥ 若0ab >，则a b ba+≥思考： 习题二：（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？设菜园的长为x ，宽为y ，则xy =，篱笆的总长度表示为， 由2a bab +≥可得x y +≥， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时___,___.x y ==（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x ，宽为y ，则x y +=，篱笆的面积表示为，由2a bab +≥可得xy ≤， 当等号成立时，面积最大，此时_____,_____.x y ==总结：两个实数0,0,a b >>若它们的积为定值，则它们的和有最值，当且仅当a b =成立。
基本不等式(导学案)
基本不等式：2ba ab +≤（导学案）一、【学习内容】能利用基本不等式求代数式的最值。
二、【学习目标】1、理解并掌握基本不等式及其推导过程，明确基本不等式成立的条件；2、能利用基本不等式求代数式的最值；3、培养学生举一反三的逻辑推理能力，丰富学生数形结合的想象力。
三、重点、难点：两个不等式的证明和区别，“当且仅当ba=时取等号”的数学内涵。
四、【学习过程】（一）问题情境（见教材P97的图3.4-1)：这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?【探究】：1、正方形ABCD的面积为S多少？2、四个直角三角形的面积和S'为多少？3、S和S’有什么样的不等关系？（二）知能自主1、重要不等式：一般地，对于任意实数ba,，我们有___________，当且仅当____时，等号成立。
2、基本不等式：当ba,是任意正实数时，ba,的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤ab_____，当且仅当_____时，等号成立。
【思考】你能否对两个不等式进行证明吗？能用几何意义进行解释吗？3、最值定理（已知0,>y x ），○1如果p xy =（积为定值），则p y x 2≥+，当且仅当y x =时，和y x +取得最小值p 2；○2如果S y x =+（和为定值），则42S xy ≤，当且仅当y x =时，和xy 取得最大值42S 。
【注】：用均值不等式求最值的条件:一、正；二、定；三、相等。
用均值不等式求最值的规则：和定积最大，积定和最小。
4、小试牛刀（1）设y x ,满足40=+y x ，且y x ,都是正数，则xy 的最大值是（ ）A 、400B 、100C 、40D 、20（2）已知正数b a ,满足10=ab ，则b a +的最小值是（ ）A 、10B 、25C 、5D 、102（三）小组合作1、已知0>x ，求xx 1+的最小值2、已知0,>y x ，且14=+y x ，求xy 的最大值3、已知R n m ∈,，10022=+n m ，求mn 的最大值小结：利用基本不等式求最值时注意三点：○1各项为正；○2寻求定值：○1求和式最小值时应使积为定值；○2求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆分项或配凑因式、“1”的代换是常用的解题技巧)；○3考虑等号成立的条件。
《基本不等式》导学案
ab a b 》导学案
2
【学习目标】 1. 掌握基本不等式的推导，理解基本不等式的几何意义，掌握基本不等式取等
号的条件； 2. 运用基本不等式求函数的最值，能够解决一些简单的实际问题； 3. 通过对基本不等式的不同解释，领悟“转化”的数学思想。
【学习重点】用基本不等式求函数的最大 ( 小) 值
（ 2）用篱笆围一个面积为 100 平方米的矩形花园，问这个矩形的长宽分别为多 少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？
小结：
拓展延伸 例 3：已知 x>1, 求函数 y x 2 ，的最小值？
x1
变式 1、 已知 x>1，求函数 y= x 2 -x+2 的最小值？ x-1
变式
2、 已知 x>1，求函数
x
（ 2）已知 0 x 1 , 求函数 y x(1 x ) 的最大值？
变式 1、求函数 y=x
1 的值域？
x
变式 2、已知 x 1,2 , 求函数 y x 9 的最小值？ x
实际应用 例题 2： （ 1）我们学校为了加强校园文化建设，打算用一段长为 36m的篱笆围成一矩形 花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大。最大面积是多少？
2．小结： 3．思考：你能给出它的证明吗？
D
C HG
EF
A
a
b
B
想一想：在正方形 ABCD中, 设 AF= a ,BF= b , 类似可以得出什么不等式？
二、新课讲解 1、证明基本不等式
ab a b 2
代数意义： 从数列角度看：
探究 2： 在右图中，AB是圆的直径，点 C是 AB上的一点，AC=a,BC=b。 过点 C 作垂直于 AB的弦 DD ，连接 AD、BD。比较 CD与 OD的大小关系？
基本不等式(优秀经典导学案)
a＋b≥2 ，a，b都是正数，当且仅当时，等号成立．
即时训练：
1．对于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab.()
2．n∈N*时，n＋ >2 .()
3．x≠0时，x＋ ≥2.()
4．若a>0，则a3＋ 的最小值为2 .()
利用基本不等式比较大小
跟踪训练1某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则()
2．下列等式中最小值为4的是()
A．y＝x＋ B．y＝2t＋
C．y＝4t＋ (t>0)D．y＝t＋
3．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是()
A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|D．a2＋b2>2|ab
4．若a，b∈R且ab>0，则下列不等式中恒成立的是()
2.2.1 基本不等式
一、学习目标
1.掌握基本不等式及推导过程
2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.
3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值．
导学
导学检测及课堂展示
阅读教a>0，b>0， ≤ ，当且仅当时，等号成立．
其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数．
A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2
C. ＋ > D. ＋ ≥2
5．已知a>0，b>0，且ab＝2，那么()
A．a＋b≥4B．a＋b≤4
C．a2＋b2≥4D．a2＋b2≤4
五、堂清、日清记录
堂清
日清
今日之事今日毕 日积月累成大器
基本不等式导学案
基本不等式导学案基本不等式导学案均值不等式【使用说明】1.自学课本P69—P71,仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本；AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。
加?为重点内容，加△为次重点内容。
2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。
3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
4.必须掌握的方法：运用均值不等式求函数的最值；数学思想：整体代换思想，数形结合思想.一、学习目标：1.熟练掌握均值不等式，提高运用均值不等式解题的能力；2.自主学习，合作交流，探究均值不等式应用的规律及方法；3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。
二、问题导学：问题1：均值定理是如何叙述的？你会证明吗。
思考1：均值定理的适用范围是什么？成立的条件是什么？思考2：“当且仅当”的含义是什么？思考3：什么是算术平均值？什么是几何平均值？思考4：均值不等式有几个变形？思考5：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？△问题2：重要不等式a2b2?2ab与均值不等式的区别与联系？三、合作探究探究一、运用均值定理证明不等式例1. 已知a,b同号，求证：ab?12，并说明等号成立的条件。
拓展：已知a,b?R?,求证：(a?1a)(b?1b)?4，并说明等号成立的条件。
探究二、利用均值不等式解决实际问题例2. （1）一个矩形的.面积为64m2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m .问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？小结：已知x、y都是正数，(1)若积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值_________;(2)若和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy 有最大值_________即求用均值不等式求函数的最值时要注意成立条件：①____________②_________③_______探究三、求函数的最值例3. 求函数f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最小值，以及此时x的值。
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基本不等式(导学案)
ab，3.4 ab,2
1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等
号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等
a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2
ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2
一些简单的实际问题
ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2
理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。
2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案
中找出一些相等关系或不等关系吗？
1、重要不等式：
22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号)
1
a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2
a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。
1、已知x、y都是正数，求证：
223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy
92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5
283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy
11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值
1,a1,b
1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。
?理解“当且仅当a=b 时取等
号”的数学内涵。
2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值
当两个正数之和为定值时，其积有最大值
3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2。