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梁弯曲问题dwejdwvejqdxdvdwdwdvdwejvqdxvejejdxdxdxdxdx等效积分形式等效积分弱形式1033加权残量余量法基本概念基本概念通过引入权函数试函数将近似解带入微分方程会有值形式中引入通过引入权函数试函数将近似解带入微分方程会有余值在余值形式中引入权函数把这种余值的加权积分称为加权余值法
边界条件：x=0，u=0；x=1，u=0
取近似(jìn sì)解：u=x(1x)(a1+a2x+…)
取一项近似解u1=a1x(1-x)
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2)
第二十一页，共33页。
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liànɡ))法 6 例题(lìtí)
3.3 加权残量(余量(yú
ddx2u2 ux0 0x1
称L*为L的伴随(bàn suí)算子。若L*=L，则称算子 自伴随(bàn suí)。
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3.4 泛函与变分
2 泛函
最速落径问题--质量(zhìliàng)为m的小环从A处自由 滑下，试选择一条曲线使所需时间最短（不计摩擦）
A
Y
X
设路径(lùjìng)为 y=y(x)
ds dx2 dy2
待定系数 试函数(形函数)
2）线性独立。
3）完备性。n 时, u ~ u
第十一页，共33页。
一般选用简单形式的 函数，一旦选定就是 已知的了
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liànɡ))法
1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
假定某一科学问题的控制(kòngzhì)微分方程及边界 条件为：
A(u)f 0 x
B(u)g0 x
u1N1a1a1x(1x) W1N1x(1x)
1
0R1(x)N1dx
01x(1x)xa1(2xx2)dx0
a1
5 18
u1
5 x(1x) 18
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3.4 泛函与变分
1 线性、自伴随微分(wēi fēn)算子
如果微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)具有线 性、自伴随的性质，则： 不仅可以建立它的等效积分形式，并可利用加权余 量法求其近似解；还可建立与之相等效的变分原理 ， 基于它的另一微种分方近程似求L解(u方)法b—0Ritinz法。
R A(u) f R B(u) g
内部残量 边界残量
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liànɡ))法 1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
用以下n个线性无关的函数来代替任意函数v和 v
v W j v W j
(j 1 n )
等效积分
(jīfēn)形
权函数
式
W j T ( A ( u ~ ) f ) d W j T ( B ( u ~ ) g ) d 0 ( j 1 n )
W j T R d W j T R d 0(j 1 n )
强迫残值在某种平均(píngjūn)意义
上为零。
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liànɡ))法 1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
等效积分
得到的是近似解。
加权余量
等效积分形式的近 似方法，得到的是近 似解。
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liànɡ))法
1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
试函数
出现在近似解中。 满足一定的域内条件 或边界条件。
权函数
出现在等效积分表 达式中，不同的权函 数涉及不同的计算格 式。
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liànɡ))法
3.3 加权残量(余量(yú
2 配点法
取： W j W j(x xj) (j 1 n )((xxxxjj))01,,
v T B ( u ) g d ( v 1 B 1 ( u ) g 1 v 2 B 2 ( u ) g 2 ) d 0
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xiào)积分
1 问题(wèntí)的提出
3.1 等效(děnɡ
这里
v
v1 v2
v
=
v v
1 2
为任意函数向量，
关系，泛函是变量(biànliàng)与函数的关系。泛函
是一种广义的函数。
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3.4 泛函与变分
3 变分
y*(x)y(x)y(x)称 y ( x为) y(x)的变分
，它是一个无穷小的任意函数。
A
x x+dx
X 微分与变分运算次序可以(kěyǐ)交换
x A(u)f 0 x B(u)g0
v T A ( u ) fd v B ( u ) g d 0
微分方程的等效(děnɡ xiào) 积分形式
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3.2 等效积分(jīfēn)的 弱形式
将等效积分形式分步积分，得到的形式就称为等效 积分弱形式。因为分步积分后，算子(suàn zǐ)导数 阶次降低，对待求变量的连续性降低，就起到了弱化 作用。
余量R1 (x)=x+a1 (-2+x-x2)
配点法
取x=1/2作为 (zuòwéi)配点
R
1 2
1 2
7 4
a1
0
u1
2 7
x(1
x)
a1
2 7
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liànɡ))法 6 例题(lìtí)
3.3 加权残量(余量(yú
ddx2u2 ux0 0x1
子域法
余量(yú liànɡ)R1 (x)=x+a1 (2+x-x2)
1 Wj 0
(在Dj内） (在Dj外）
则有：
n
D j A (i 1N iai)f) d 0
(j1 n)
这种方法相当于强迫(qiǎng pò)残值在n个子域内的积分等
于零。
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3.3 加权残量(余量(yú liànɡ))法
4 最小二乘法(chéngfǎ)
取权函数：
W
j
R a j
第三页，共33页。
3
xiào)积分 1 问题(wèntí)的提出
3.1 等效(děnɡ
上述方程的简化形式：
x A(u)f 0 x B(u)g0
由于以上微分方程在 和 中每一点(yī diǎn)都成立，因此有 ：
v T A ( u ) f d ( v 1 A 1 ( u ) f 1 v 2 A 2 ( u ) f 2 ) d 0
价的。
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弱形式
例题：梁弯曲(wānqū)问题
3.2 等效(děnɡ xiào)积分的
d4w EJ q0
dx4
x(0,l)
等效积分 (jīfēn)形
式
0 lvEJddx4w 4 qdx0
x(0,l)
等效积分 弱形式
ld 2 v E Jd 2 w lv q d x v E Jd 3 w l d vE Jd 2 w l 0
采用使余量的加权积分为零求得微分方程近似 解的方法，称为加权余量(余值、残量)法。
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liànɡ))法
1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
假定一个(yī ɡè)试函数作为方程的近似 解
u(x)u~(x) n Niai
i1
真正的求解系数
试函数(hánshù)要满 足：
1）一定的连续条件。
有限元法数学(shùxué)基础
第一页，共33页。
(shùzí)
xiào)积分
3.1 等效(děnɡ
有限差分法:求解(qiú jiě)域几何形状规则
的偏
数微
值分
解 法
方 程
有限单元法
以与原偏微 分方程及其
定解条件等 效积分提法 为基础
变分方法：若原方程有某些特定性
质，归结为泛函的驻值问题。
加权余量法：适用于所有的偏微
0d x 2 d x 2 0
d x 3 d x d x 2
0
0
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liànɡ))法 1 基本概念
3.3 加权残量(余量(yú
权，然后知轻重(qīngzhòng)。----《孟子》
通过(tōngguò)引入权函数/试函数 ，将近似解带入微分方程会有余值，在 余值形式中引入权函数，把这种余值的 加权积分，称为加权余值法。
n
aj
[A(
i1
Niai)
f
]
A(Nj )
则有：
n
A (N j) A (i 1N ia i)f) d 0
(j 1 n )
这种方法相当于使域 内每一点的残值的平方 (píngfāng)和最小，或平方(píngfāng)的积分最小。
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liànɡ))法
5 Galerkin法
B
v ds
1 y2 dx
dt
dt
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3.4 泛函与变分
2 泛函
A
Y
v 2gh
1 y2
X
dt
dx
2 gh
B
T[y(x)] a 1 y2 dx
0 2gh
称T为y(x)的泛函，y(x)为自变函数。即以函数作 自变量以积分(jīfēn)形式定义的函数为泛函。
函数是变量(biànliàng)与变量(biànliàng)的
xxj xxj
W j T (A ( u ) f)d 0(j 1n )
n
(x xj) A (i 1N ia i)f) d 0
(j 1 n )
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liànɡ))法
2 配点法
3.3 加权残量(余量(yú
n
(x xj) A (i 1N ia i)f) d 0
并且v和 v 为与微分方程个数相等的函数。对任意
上述积分式均成立。
则表明(biǎomíng)积分形式与微分方程的定解问 题等价
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xiào)积分
1 问题(wèntí)的提出
3.1 等效(děnɡ
v T A ( u ) f d ( v 1 A 1 ( u ) f 1 v 2 A 2 ( u ) f 2 ) d 0
微分算子
L (u 1 u 2 )L ( u 1 )L ( u 2 )
线性微分算子
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3.4 泛函与变分
1 线性、自伴随(bàn suí)微分算子
若 L(u)vd 定义为函数的内积，
对上式分部积分，直至u 的导数(dǎo shù )消 失，得：
L ( u ) v d u L * ( u ) v d b .t.( u ,v )
A (u)f(x,t) A A 1 2((u u)) ff1 2((x x,,tt)) 0 in , u为 未 知 函 数
且，u应满足边界条件:
B (u)g(x,t) B B 1 2((u u)) B g 1 2((x x,,tt)) 0 on , 是 的 边 界
v T B ( u ) g d ( v 1 B 1 ( u ) g 1 v 2 B 2 ( u ) g 2 ) d 0
v T A ( u ) fd v B ( u ) g d 0
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3.1 等效(děnɡ xiào)积分
2 微分方程的等效(děnɡ xiào)积分形式
v T A ( u ) fd v B ( u ) g d 0
C T ( v )D ( u ) d E T ( v )F ( u ) d 0
将微分方程转化为弱形式，弱并不是弱化对方程解
的结果，而是弱化对解方程得要求，是弱化待求变量
的连续性，是以提高(tí gāo)权函数的连续性为代
(j 1 n )
(xxj)0, xxj (xxj)1, xxj
n
A [ (N i(xj)ai)]f(xj)0 (j1 n) i 1
相当于简单(jiǎndān)地强迫残值在域内的n个点上
等于零。
第十七页，共33页。
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liànɡ))法
3 子域法
3.3 加权残量(余量(yú
将求解域分为n个区域 Dj (j1n权) 函数如下确定：
子域取全域 即w=1
01R1(x)dx01xa1(2xx2)dx1 2161a10
a1131 u1131x(1x)
第二十三页，共33页。
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liànɡ))法
6 例题(lìtí)
3.3 加权残量(余量(yú
1 (-2+x-x2)
最小二乘法(chéngfǎ)
R2xx2 a1
1
R
0R1(x)a1dx
01xa1(2xx2)(2xx2)dx0
a10.2723 u10.2723x(1x)
第二十四页，共33页。
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liànɡ))法 6 例题(lìtí)
3.3 加权残量(余量(yú
ddx2u2 ux0 0x1
迦辽金法
余量(yú liànɡ)R1 (x)=x+a1 (2+x-x2)
3.3 加权残量(余量(yú
取权函数： Wj Nj
则有：
n
N j A (i 1N ia i)f) d 0
(j 1 n )
Galerkin法精度(jīnɡ dù)最高！
第二十页，共33页。
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liànɡ))法
6 例题(lìtí)
3.3 加权残量(余量(yú
ddx2u2 ux0 0x1
分方程，不管是否存在进行变分 的泛函
注意：变分法和加权余量法也只能求解几何形状规则的问题，因为它们都是在求解域 上假设近似函数。但已构成了有限元法的理论基础。
第二页，共33页。
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xiào)积分 1 问题(wèntí)的提出
3.1 等效(děnɡ
工程中的许多问题，通常以未知场函数 (hánshù)应满足的微分方程和边界条件的形式提 出。