雨花区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

雨花区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设向量，满足：||=3，
||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2． 执行如图的程序框图，则输出S 的值为（
）
A ．2016
B ．2
C ．
D ．﹣1
3． △的内角，，所对的边分别为，，，已知
，则
ABC A B C a =b =6
A π
∠=
（ ）111]
B ∠=A ．
B ．
或
C ．
或
D ．
4
π
4
π
34
π
3
π
23
π
3
π
4． 将函数f （x ）=3sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）的
图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，），则φ的值不可能是（
）
A ．
B ．π
C ．
D ．
5． 已知直线x+ay ﹣1=0是圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0的对称轴，过点A （﹣4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=（ ）A ．2
B ．6
C ．4
D ．2
6． 已知函数，则（ ）(5)2()e
22()2x
f x x f x x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩
(2016)f -=
A ．
B ．
C ．1
D ．
2
e e 1e
【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．7． 若当时，函数（且）始终满足，则函数的图象大致是R x ∈|
|)(x a x f =0>a 1≠a 1)(≥x f 3
|
|log x x y a =（
）
【命题意图】本题考查了利用函数的基本性质来判断图象，对识图能力及逻辑推理能力有较高要求，难度中等．8． 已知是虚数单位，若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ）22ai
Z i
+=+A ．-2 B ．1
C ．2
D ．3
9． 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（
）
2O O A ．
B ．
C ．
D ．π4π6π8π
1010．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）
A.x
y e -= B.3
y x =
C.ln y x =
D.y x
=11．“”是“”的（ ）2
4
x π
π
-
<≤
tan 1x ≤A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.12．已知双曲线的方程为﹣
=1，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
或D ．
或
二、填空题
13．设m 是实数，若x ∈R 时，不等式|x ﹣m|﹣|x ﹣1|≤1恒成立，则m 的取值范围是 ．　
14．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ．
①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则
的最大值为
；
④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．
⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC
的重心和外心，且•
=5，则△ABC 的形状是直角三角形．
15．设α
为锐角， =（cos α，sin α），=（1，﹣1
）且•=
，则sin （α+
）= ．
16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．
17．已知圆，则其圆心坐标是_________，的取值范围是________．22
240C x y x y m +-++=：m 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
三、解答题
18．（本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为
2
:2(0)C y px p =>11A x y （，）和（）两点，且．22B x y （，）12x x ＜9
2
AB =
（I ）求该抛物线的方程；
C （II ）如图所示，设为坐标原点，取上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，O C O S OS C R 求该圆面积的最小值时点的坐标．
S
19．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
20．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名
观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：场数91011121314
人数10182225205
将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？
非歌迷歌迷合计
男
女
合计
（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
P（K2≥k）0.050.01
k 3.841 6.635
附：K2=．
21．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，
平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，点G是EF的中点．
（Ⅰ）证明：AG⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为，求AG的长．
22．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．
23．如图，正方形ABCD中，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连接CF并延长交AB于点E．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．
24．已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，，，...，，集合
..。

，，，，...，.
（1）当，时，用列举法表示集合；
（2）设、，..。

，..。

，其中、，，，...，.证明：若，则.
雨花区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，
∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，
对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，
但5个以上的交点不能实现．
故选B
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．
2．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=2，k=0
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1
满足条件k＜2016，s=，k=2
满足条件k＜2016，s=2．k=3
满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4
满足条件k＜2016，s=，k=5
…
观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有
满足条件k＜2016，s=2，k=2016
不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
或，故选B.
()
sin0,,
4
B B B
π
π
=∴=∈∴=
3
4
π
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 4．【答案】C
【解析】函数f （x ）=sin （2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P （0，），
所以sin θ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=
，
所以g （x ）=sin （2x+﹣2φ），
sin （﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2k π+，k ∈Z ，此时φ=k π，k ∈Z ，或
﹣2φ=2k π+
，k ∈Z ，此时φ=k π﹣
，k ∈Z ，
故选：C ．
【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，三角函数求值，难度中档　
5． 【答案】B
【解析】解：∵圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y+1=0，即（x ﹣2）2+（y ﹣1）2 =4，表示以C （2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l ：x+ay ﹣1=0经过圆C 的圆心（2，1），故有2+a ﹣1=0，∴a=﹣1，点A （﹣4，﹣1）．∵AC=
=2
，CB=R=2，
∴切线的长|AB|==
=6．
故选：B ．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．　
6． 【答案】B
【解析】，故选B ．(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==7． 【答案】C
【解析】由始终满足可知．由函数是奇函数，排除；当时，|
|)(x a x f =1)(≥x f 1>a 3
|
|log x x y a =
B )1,0(∈x ，此时，排除；当时，，排除，因此选．0||log <x a 0|
|log 3
<=
x x y a A +∞→x 0→y D C
8． 【答案】A 【解析】试题分析：
，对应点在第四象限，故，A 选项正确.()()()()2224(22)2225ai i ai a a i
i i i +-+++-==
++-40220a a +>⎧⎨-<⎩
考点：复数运算．9． 【答案】B 【解析】
考
点：球与几何体10．【答案】B 【解析】
试题分析：对于A ，为增函数，为减函数，故为减函数，对于B ，，故x
y e =y x =-x
y e -=2
'30y x =>3
y x =为增函数，对于C ，函数定义域为，不为，对于D ，函数为偶函数，在上单调递减，0x >R y x =(),0-∞在上单调递增，故选B. ()0,∞考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性.
11．【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当
tan y x =,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”
tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24
x ππ
-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.12．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为
﹣
=1，
焦点坐标在x 轴时，a 2=m ，b 2=2m ，c 2=3m ，离心率e=
．
焦点坐标在y 轴时，a 2=﹣2m ，b 2=﹣m ，c 2=﹣3m ，
离心率e==．
故选：C ．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
二、填空题
13．【答案】　[0，2]　．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
14．【答案】：①②③
【解析】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；
对于②对∀x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；
对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；
对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，
即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，
则cosB＜cos（﹣A），
即cosB＜sinA，故④不正确．
对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，
∵=|，
由
则，
即
则
又BC=5
则有
由余弦定理可得cosC ＜0，
即有C 为钝角．
则三角形ABC 为钝角三角形；⑤不正确．
故答案为：①②③
15．【答案】：．
【解析】解：∵•=cos α﹣sin α=
，∴1﹣sin2α=，得sin2α=，
∵α为锐角，cos α﹣sin α=
⇒α∈（0，），从而cos2α取正值，∴cos2α==，∵α为锐角，sin （α+）＞0，
∴sin （α+）====
．故答案为：．16．【答案】　5　．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
a=1，a=2
不满足条件a 2＞4a+1，a=3
不满足条件a 2＞4a+1，a=4
不满足条件a 2＞4a+1，a=5
满足条件a 2＞4a+1，退出循环，输出a 的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
17．【答案】，.
(1,2)-(,5)-∞
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，，∴圆心坐标，
22
(1)(2)5x y m -++=-(1,2)-而，∴的范围是，故填：，.505m m ->⇒<m (,5)-∞(1,2)-(,5)-∞三、解答题
18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥+=，当且仅当2222
256y y =即22y ＝16，时等号成立. 24y =±圆的直径,因为21y
≥64，所以当21y
＝64即1y =±8时，OS
=
min OS =，所以所求圆的面积的最小时，点的坐标为．S 168±（，）19．【答案】
【解析】解：（
1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得
=1，∴b=4，…由e==，得1﹣
=，∴a=5，…∴椭圆C 的方程为+=1．…（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），…
设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，…
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．…
由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，
∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．…
【点评】本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：非歌迷歌迷合计
男301545
女451055
合计7525100
…
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：
K2==≈3.030
因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…
（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中a i表示男性，i=1，2，3，b i表示女性，i=1，2．
Ω由10个等可能的基本事件组成．…
用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，事件A由7个基本事件组成．
∴P（A）= (12)
【点评】本题考查独立性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为AE=AF，点G是EF的中点，
所以AG⊥EF．
又因为EF∥AD，所以AG⊥AD．…
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
AG⊂平面ADEF，
所以AG⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）解：因为AG⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AG、AD、AB两两垂直．
以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），
设AG=t（t＞0），则E（0，1，t），F（0，﹣1，t），
所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t）．…
设平面ACE的法向量为=（x，y，z），
由=0，=0，得，
令z=1，得=（t，﹣t，1）．
因为BF与平面ACE所成角的正弦值为，
所以|cos＜＞|==，…
即=，解得t2=1或．
所以AG=1或AG=．…
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，
由题设f（x）=k 1x，g（x）=k2，（k1，k2≠0；x≥0）
由图知f（1）=，∴k1=
又g（4）=，∴k2=
从而f（x）=，g（x）=（x≥0）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元
y=f（x）+g（10﹣x）=，（0≤x≤10），
令，∴（0≤t≤）
当t=，y max≈4，此时x=3.75
∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．
【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．
23．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
24．【答案】【解析】。