高三数学模拟考试试题.

铜山区大许中学2021届高三数学模拟考试试题
〔全卷满分是160分，考试时间是是120分钟〕
考前须知：
1． 答卷前，请所有考生必须将自己的、姓名、考试号等信息填写上在答卷规定的地方．
2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共70分，请将答案填写上在答题卷相应位置〕
1．集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，那么A
Z = ▲ ．
2．假设复数z 满足1iz i =+〔i 为虚数单位〕，那么z = ▲ ． 3．命题“2
,10x R x x ∃∈++=〞的否认 ▲ ． 4．ABC ∆中，21,2,3
a b C π
===
，那么边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．假如输出的y 值是20，
那么输入的x 值是 ▲ ．
6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，那么该数为正数的概率是 ▲ ．
7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，那么三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．
〔第5题图〕
8．tan 2α=且α为锐角，那么cos2α= ▲ ．
9．在平面直角坐标系xOy 中，假如直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．
10．等边ABC ∆中，假设1
()3
AP AB AC =+，AQ AP t AB =+，且AP AQ ⊥，那么实数t 的
值是 ▲ ．
11．设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q
两点，假如PQF ∆是等边三角形，那么双曲线的离心率是 ▲ ． 12．设函数2
log ()
(0)()2
(0)
x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，假设关于x 的方程2
()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，那么实数a 的取值范围为 ▲ ．
13．数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且n a =
n *∈Ν〕．假
设不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，那么实数λ的最小值为 ▲ ．
14．函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处获得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线
2sin ([,])33
y x x x ππ
=∈上，那么曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．
二、解答题〔本大题一一共6小题，计90分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕
15．〔本小题满分是14分〕
向量(sin(
),1)2
a x ω
ϕ=+，(1,cos(
))2
b x ω
ϕ=+(0,0)4
π
ωϕ><<
，记函数
()()()f x a b a b =+⋅-．假设函数()y f x =的周期为4，且经过点1
(1,)2
M ．
〔1〕求ω的值；
〔2〕当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．
16．〔本小题满分是14分〕
在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． 〔1〕求证：平面PSB ⊥平面ABCD ； 〔2〕假设平面PAD 平面PBC l =，求证：//l BC ．
P
S
D
C
B
A
17．〔本小题满分是14分〕
某工厂消费某种黑色水笔，每百支水笔的本钱为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元〔其中m 为常数，且36m ≤≤〕．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支〔3540x ≤≤〕，根据场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．
〔1〕当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值． 〔2〕工厂日利润到达1000元才能保证工厂的盈利．假设该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，那么每百支水笔的加工费m 最多为多少元？〔准确到0.1元〕
〔第16题图〕
18．〔本小题满分是16分〕
椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的长轴长为4，
椭圆的离心率为2．设点M 是椭圆上不在
坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足1
3
AM AB =
． 〔1〕求证：线段AB 的长是一定值；
〔2〕假设点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点〔如图〕，求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．
19．〔本小题满分是16分〕
数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为
q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．假设110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =．
〔1〕假设11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．
〔2〕假设11a =，2d =，试比拟2k A 与2m B 的大小，并说明理由；
〔3〕假设2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，假设存在，求出,m k 的值；假设不存
在，说明理由．
20．〔本小题满分是16分〕
函数()f x =
1
ln ,a x a x
+∈R ． 〔1〕求函数()f x 的单调递减区间；
〔2〕当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，务实数a 的值；
〔3〕试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．
数 学 试 题Ⅱ
〔全卷满分是40分，考试时间是是30分钟〕
21〔B 〕．〔本小题满分是10分〕 矩阵21a A b ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，假设矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵的另一个特征值．
21〔C 〕．〔本小题满分是10分〕
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t
y a t =+⎧⎨=-⎩
〔t 为参数〕在极坐标系(与直角
坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合〕中，圆C
的方程为4cos ρθ=．假设直线l 被圆C a 的值．
22．〔本小题满分是10分〕
长时间是上网严重影响着学生的安康，某校为理解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进展调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：
假如学生平均每周上网的时长超过19小时，那么称为“过度上网〞．
〔1〕从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网〞的概率； 〔2〕从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网〞的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ．
23．〔本小题满分是10分〕
*0()()n
k k n n k f x C x n N ==∈∑．
〔1〕假设456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4
x 项的系数；
〔2〕证明：
012
1
2
1231(2)123[
]3
n m m
m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+．
参 考 答 案
1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠〞 4．2或者6 6．
23 7．1 8．3
5
- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．
12017 14．3
2
二、解答题〔本大题一一共6小题，计90分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕
15．解：〔1〕2
2
22()()()sin (
)cos (
)cos(2)2
2
f x a b a b a b x x x ω
ω
ϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+
………………………4分
由题意得：周期24T π
ω
=
=，故2
π
ω=
……………………6分
〔2〕∵图象过点1(1,)2
M ，1
cos(2)22πϕ∴-+=
即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26
πϕ=，那么()cos()26f x x ππ
=-+． (10)
分
当11x -≤≤时，23
2
6
3x π
π
π
π-
≤
+
≤
1cos()1226
x ππ
∴-≤+≤ ∴当1
3
x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1
()2
f x =
． ……………………14分 16．证：〔1〕 A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD =
3,AB SA ==5CD SD ==
222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分 PA BC ⊥，PA SB A =，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSB
BC ⊂平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分
〔2〕//AD BC ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD
//BC ∴平面PAD ……………………10分
BC ⊂平面PBC ，平面PAD
平面PBC l =
//l BC ∴ ……………………14分
17．解：〔1〕设日销量为
x k e ，那么401000k
e
=401000k e ∴=． 那么日售量为401000x e e ∴日利润40
1000(30)x
e y x m e =--⋅． 即 401000(30)
x
e x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分
令'0y =得31x m =+．
① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．
∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分 ② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上
单调递减． ∴ 当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分
∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元
当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分
〔2〕由题意得：401000(30)1000x
e x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分
那么4030x
e m x e ≤--对[35,40]x ∀∈恒成立
设40()30x e h x x e
=--，[35,40]x ∈ 404040'()1x x
e e e h x e e -∴=-=
那么()h x 在[35,40]上单调增，那么min 51()(35)5h x h e ==-，即51
5m e
≤- 5.0≈
∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元
答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分
18．解：〔1
〕由题意得：24
a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩
，那么2
a c =⎧⎪⎨=⎪⎩
1b ∴= ∴椭圆方程为：2
214
x y += ……………………3分
设00(,)M x y ，那么2
20014
x y +=
13AM AB =且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003
(,0),(0,3)2
A x
B y ∴
22
22
20000999()944
x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分
〔2〕方法〔一〕设11(,)P x y //AB PQ 00
2PQ AB y
k k x ∴==-，220044x y +=
那么直线PQ 的方程为：0
2y y x x =-
…………………9分 ∵00
22214y y x x x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220
122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩
2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的间隔
：00|3|
2
x y d =
=
………12分
003||1
222
2四边形MPQ
MPNQ x y S S PQ d ∆∴==⨯⋅=
=
=2
31,1t y t =+≥，那么24
2
002011
(
)14133(5)31
99
t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018
,33
y x =
=
4
MN k ∴=±
………16分 方法〔二〕设直线MN 的斜率为k ，那么0
03232
PQ AB y k k k x -==
=-，
那么直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分
解方程组22,
1,
4
y kx x y =⎧⎪
⎨+=⎪
⎩ M x =，用2k -代
k 得，P x =，
由椭圆的对称性知2|M MN OM x ===， 点P 到直线MN 的间隔
|||(2)|
3||kx y kx kx kx d ---=
=
=
………12分
由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1
226||||2
PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅
⋅=⋅＝
4, ==≤=
当且仅当2
2
1
64k
k
=
，即
4
k=±时取等号，
所以，四边形MPNQ的面积的最大值为4，此时直线MN
的斜率k=．………16分
19．解：〔1〕3
4
327
k
a b
===，即2127
k-=，14
k=，
14
196
A=．………3分
〔2〕依题意，2
2
4
k
A k
=，且121
m
q k
-=-，显然1
q>．
又
2
22
2
11
[(21)1]
11
m
m
q
B k q
q q
-
==--
--
，
所以222
22
1
[(21)1]4
1
m k
B A k q k
q
-=---
-
2222
1
[(21)4(41)]
1
k q k q k
q
=--+-
-
，………6分
设2222
()(21)4(41)
f x k x k x k
=--+-，2
(1)(21)10
f k
=-->
它是关于x的二次函数，它的图象的开口向上，
它的对称轴方程
2
2
4
1
2(21)
k
x
k
=<
-
，故()
f x是(1,)
+∞上的增函数，
所以当1
x>时()(1)0
f x f
>>，即
22
m k
B A
->，所以
22
k m
A B
<．………9分
〔3〕依题意：1
1
2m
k m
a b a-
==⋅，
由86
k m
A B
=得：11
86
21
k m
a a a qa
k
q
+-
⨯=⨯
-
，
即1
1
1
11
2
2
86
212
m
m a a
a a
k
--
+⋅
⨯=⨯
-
，
48621286
22
486486
m
k
k k
⨯+⨯
==-
⨯-⨯-
，………12分
所以
1
516
344
21
m
k
-
-=
+
，
因为92512
=，故19
m-≤，且51641294343
=⨯=⨯⨯，且1
21
m-+为奇数
那么其中1
21129
m-+=时，
1
516
21
m-+
是整数，
故17
m-=，8
m=且340
k=．………16分
20．解：〔1〕2211
'()a ax f x x x x
-=-
+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，那么()f x 的单调递减区间(0,)+∞，
0a >时，令10ax -<那么1x a <
，即1
0x a
<<时，'()0f x <，那么()f x 的单调递减区间1
(0,)a
． ………3分 〔2〕①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1
()(2)ln 202
f x f a ∴==+=，解得：11
2ln 22
a =-
≤，合适题意； ②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解； ③
1
12
a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a
上单调递增，
min 11
()()ln 0f x f a a a a
∴==+=，解得：a e =，舍去；
综上可得：1
2ln 2
a =-
． ………8分 〔3〕0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．
设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：
002
00
()21
0f x ax x x --=- 即
00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：00
2
ln 20a x a x +--= 设2
()ln 2F x a x a x
=
+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分 22
22
'()a ax F x x x x -=-
+=
①当0a =时，2
()2F x x
=
-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分 ③ 当0a <时，2
2
'()0ax F x x -=
<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2
()20F e e
=
-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，
当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分
③
0a >时，()F x 在2
(0,)a
上递减，在2(,)a +∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02
ln a x a
+>
，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a
+=
+--=+-> 由于
2
1a a
+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分
1
11(1)
1121
()2(1)22(23)a a a a
a
a F e
e
a a a e a a a
-++++
++=-++--=-++
先证明当0a >时，112(2)a a
e
a ++
≥+，即证1
12ln(2)a a a
++
≥+ 假设(0,2)a ∈，1
13a a
++
≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 假设[2,)a ∈+∞，构建函数
1
()12ln(2)x x x x ϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--
==>+++ ()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1
()(2)32ln 402
a ϕϕ≥=+->
综上0a >时，112(2)a a
e
a ++
≥+，所以
11222222(2)23(25)23a a
e
a a a a a a a ++
≥+=+++++>++，故1
(1)
()0a a
F e
-++>
又1
(1)
(1)0,1a a
F e -++<<，所以在1
(1)
(,1)a a
e
-++必有一零点．
∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点
∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分
数 学 试 题Ⅱ参考答案
21〔B 〕．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，那么2313a b +=⎧⎨+=⎩
，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由21
2
()(1)4021
f λλλλ--=
=--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分
21〔C 〕．解：直线l 的参数方程为12x t
y a t =+⎧⎨=-⎩
〔t 为参数〕
所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分
圆的直角坐标系方程是：2
224x y -+=（），圆心〔2，0〕，半径2r =……………………4分
设圆心到直线的间隔 为d
，2
24d +=⎝⎭
，所以d = ……………………………7分
又d =
=
=
91
22
a =-或 ………………………………10分 22．解：〔1〕设“恰有一个数据为过度上网〞为事件A ，那么2
1
3
124
()()339
P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ (3)
分
〔2〕甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，那么
224222666(0)225C C P X C C === 112112
42224422
6656
(1)225
C C C C C C P X C C +=== 11112222424244222266101
(2)225
C C C C C C C C P X C C ++===
211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 22
2422
666
(4)225
C C P X C C === ……………8分
56101566
()2342225225225225
E X ∴=
+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分
23．解：〔1〕0011
0()(1)n
k k n n
n n n n n n k f x C x C x C x C x x ===++
+=+∑…………………………1分
456
456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++
()g x 中4x 项的系数为4
444
562356C C C ++=； …………………………3分 〔2〕
0121111
1
1231232323n m m m m m m m m n m m m m n
C C C nC C C C nC -++++++++++++++++=+++
+
设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++ ①
那么函数()h x 中含1m x +项的系数为111
1
12323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++ ……5分
由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+
②
11
(1)1(1)()(1)1(1)
m n
m n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦
-=
-+-+
2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，
()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为
32
11m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分
3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-
++-22
11
13
m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3
m m n m n n C m ++++--=
+2
1(2)13m m n m n C m +++++=
+ 所以012
1
2
1231
(2)123[
]3
n m m
m m m n m n m n C C C nC C m -++++++++++++
+=+
………………10分。