广西省钦州市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析

广西省钦州市2021届新高考第三次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2
ln e x f x x =，若关于x 的方程2
1[()]()08
f x mf x -+=有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3
(0,)4
B
．(0,
2
C
．3(
)24
D
．2
【答案】C 【解析】 【分析】
求导，先求出()f x
在(x ∈
单增，在)
x ∈+∞
单减，且max 1
()2
f x f ==
知设()f x t =，则方程2
1
[()]()08
f x mf x -+
=有4个不同的实数根等价于方程 2108
t mt -+=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，2
43
2ln (12ln )()e x xe x
e x x
f x x x '⋅--==
， 令()0f x '=，解得1
ln 2
x =
，x =
x ∈时，()0f x '>，
当)x ∈+∞，()0f x '<
，且1
2
f =
=， 故方程2
108
t mt -+
=在1
(0,)2上有两个不同的实数根，
故121212011()()022010t t t t t t ∆>⎧⎪⎪-->⎪⎨⎪<+<⎪>⎪⎩，210211
082401m m m ⎧->⎪⎪⎪-+>⎨⎪<<⎪⎪
⎩
解得3,)24
m ∈. 故选：C. 【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数()g x (()g x '易求，()=0g x '可解)，转化为确定()g x 的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出()g x 的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
2．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，1C 和2C 的离心率之
2C 的渐近线方程为（ ）
A ．0x ±=
B ．0y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
【答案】A 【解析】 【分析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合1C 和2C ,a b 的关系，进而得双曲线的离心率方程. 【详解】
椭圆1C 的方程22
221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b
-=，
则椭圆离心率1e a
=
，双曲线的离心率2e a
=，
由1C 和2C
即12
2
e e a a ==，
解得
2
b a =±
，
所以渐近线方程为2
y x =±，
化简可得0x ±=， 故选：A.
【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.
3．已知函数f(x)＝
223,1
ln,1
x x x
x x
⎧--+≤
⎨
>
⎩
,若关于x的方程f(x)＝kx－
1
2
恰有4个不相等的实数根，则实数k
的取值范围是()
A
．
1
,e
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
B．
1
,
2
e
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
C．
1
,
2
e
e
⎛⎤
⎥
⎝⎦
D．
1
,
2
e
e
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【答案】D 【解析】【分析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－1
2
有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须
在直线y＝kx－1
2
的下方，即可求得：k＞
1
2
；再求得直线y＝kx－
1
2
和y＝ln x相切时，k＝
e
；结合
图象即可得解. 【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－1
2
恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－1
2
有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，
故点(1,0)在直线y＝kx－1
2
的下方．
∴k×1－1
2
＞0，解得k＞
1
2
.
当直线y＝kx－1
2
和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝
1
ln
2
m
m
+
＝
1
m
，∴m e
此时，k ＝
1m ＝e e
，f(x)的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件， 故所求k 的取值范围是1,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
故选D.. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题． 4．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y = D ．x y =或1y =
【答案】C 【解析】
0,0x y >>，
∴222x y xy +≥2x y = 时取等号.
故“2,x =且1y = ”是“222x y xy +=的充分不必要条件.选C ． 5．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12
x π
=
，将函数()f x 的图象向右平行移动
4
π
个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()2sin(2)12
g x x π
=- B ．()2sin(2)12
g x x π
=+
C ．()2sin(2)6
g x x π
=-
D ．()2sin(2)6
g x x π
=+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据辅助角公式化简三角函数式，结合12
x π
=
为函数()f x 的一条对称轴可求得a ，代入辅助角公式得
()f x 的解析式.根据三角函数图像平移变换，即可求得函数()g x 的解析式.
【详解】
函数()sin 2cos 2f x x a x =+，
由辅助角公式化简可得()2()12,tan f x a x a θθ=++=， 因为12
x π
=
为函数()sin 2cos 2f x x a x =+图象的一条对称轴，
代入可得2
sin 2cos 211212a a ππ⎛⎫
⎛⎫⨯
+⨯=±+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 即213
12a a +=±+，化简可解得()
2
30a -=，
即3a =，
所以()sin 23cos 2f x x x =+
2sin 23x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
将函数()f x 的图象向右平行移动
4
π
个单位长度可得()g x ， 则()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 故选：C. 【点睛】
本题考查了辅助角化简三角函数式的应用，三角函数对称轴的应用，三角函数图像平移变换的应用，属于中档题.
6．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）
A ．250cm
B ．260cm
C ．295cm
D ．305cm
【答案】B 【解析】 【分析】
»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧AB 所在圆的半径为r ，从而可得弧所对的圆
心角，再利用弧长公式即可求解. 【详解】
如图所示，»AB 为弯管，AB 为6个座位的宽度，
则643258AB cm =⨯=
15CD cm =
设弧AB 所在圆的半径为r ，则
222()r r CD AC =-+
22(15)129r =-+
解得562r cm ≈
129
sin 0.23562
AOD ∠=
≈ 可以近似地认为sin x x ≈，即0.23AOD ∠≈ 于是0.46AOB ∠≈，»AB 长5620.46258.5≈⨯≈
所以260cm 是最接近的，其中选项A 的长度比AB 还小，不可能， 因此只能选B ，260或者由cos 0.97x ≈，sin 20.4526
x x π
≈⇒<
所以弧长5622946
π
<⨯≈.
故选：B 【点睛】
本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.
7．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种
C ．75种
D ．150种
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有2
615
C=种取法，
从5名女干部中选出1名女干部，有1
55
C=种取法，
则有15575
⨯=种不同的选法；
故选：C．
【点睛】
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理问题，属于基础题．
8．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x的值为1，输出的x的值为（）
A．64
81
B．
32
27
C．
8
9
D．16
27
【答案】B
【解析】
【分析】
根据循环语句，输入1
x=，执行循环语句即可计算出结果. 【详解】
输入1
x=，由题意执行循环结构程序框图，可得：
第1次循环：
2
3
x=，24
i=<，不满足判断条件；
第2次循环：8
9x =，34i =<，不满足判断条件； 第4次循环：3227x =，44i =≥，满足判断条件；输出结果32
27
x =
. 故选：B 【点睛】
本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判定语句，本题较为基础.
9．如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A ．2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C ．2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D ．2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格 【答案】D 【解析】 【分析】
先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可 【详解】
由折线图易知A 、C 正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的，所以B 错误；设2018年12月份，2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为,,a b c ，由题意可知，b a =，
1.9%a c c -=，则有1 1.9%
a
c a b =<=+，所以D 正确. 故选：D 【点睛】
此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.
10．已知非零向量a r 、b r ，若2b a =r r 且2a b -=r r ，则向量b r 在向量a r
方向上的投影为（ ）
A
B ．12
b r
C ．
D ．12
b -r
【答案】D 【解析】 【分析】
设非零向量a r 与b r 的夹角为θ，在等式2a b -=r r 两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b r
在向量a r
方向上的投影为cos b θr ，即可得解.
【详解】
2b a =r r Q ，由2a b b -=r r 得2223a b b -=r r r ，整理得22220a a b b -⋅-=r r r r
，
22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=r r r r ，解得1cos 2
θ=-，
因此，向量b r 在向量a r 方向上的投影为1cos 2
b b θ=-r r
.
故选：D. 【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
11．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线
C 的一条渐近线交于点O 及点3,22A ⎛ ⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．2
2
13
y x -=
B ．22
126x y -=
C ．2
213x y -=
D ．22
162
x y -=
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线方程求出渐近线方程：b y x a =
，再将点3,22A ⎛ ⎝⎭
代入可得b =，连接FA ，根据圆的
=
c ，再由222c a b =+即可求解. 【详解】
由双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>，
则渐近线方程：b
y x a
=±
， 3
3
b a ∴=
，
连接FA ，则23333
FA
c b AO a -===，解得2c =， 所以2224c a b =+=，解得2
2
3,1a b ==.
故双曲线方程为2
213
x y -=.
故选：C 【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.
12．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）
A ．42p +
B ．41p +
C ．64p -
D ．43p +
【答案】A 【解析】 【分析】
计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】。