22数列的极限2

1、数列极限的直观描述性定义；
一般地，如果当项数n无限增大时，
无2、穷利数用列定an义的求项数an列无极限限地；趋近于某个常数a，
（即an a 无限地接近0），
那3、么常就用说数数列列的a极n 限以.a为 极 限 ， 或 者 说a是 数 列an 的 极 限
lim
n
an

a
1 (1) lim 0
n
一般地，任何一个常数数列的极限都是这个常数本身，即 limC C （C 是常数）
n
例3、用计算器计算 0.991000 , 0.995000 , 0.9910000 , 0.9920000 , 由此猜想数列 {0.99n }的极限（保留两位有效数字）．
解：由计算器可算得 0.991000 4.3 105 0.995000 1.5 1022 0.9910000 2.2 1044 0.9920000 5.1 1088
a 1或a 1
3、 若lim(1 x )n 0， 则x的 取 值 范 围 是( B ) n x
A.
x

1 2
B.
x

1 2
C. x 1
D. x 0
4、给出下列命题： （1）有穷数列没有极限； （2）无穷数列不一定有极限； （3）无穷递减数列一定有极限； （4）无穷递增数列一定没有极限； （5）左右摆动的数列一定没有极限。 其中是真命题的序号有（1）、（2）
为，极(即限a，n或者a 无说限a地
是数列 an 的极限
读作 “当n 趋向于无穷大时，
lim
n
an

a
an的极限等于a ” 或 “limitan 当n 趋向于
注意:（1）an 是无穷数列；
无穷大时等于a ”
（2）a 是唯一常数（不能是 ）；
（3）数列的极限 a 与数列前面的有限项无关；

A，则下面几个结论中，正确的是（ D）
A. 数 列an A一 定 是 递 减 数 列
B. 数 列an A一 定 是 递 增 数 列
C. 数列 an A一定 是递减 数列
D. 数 列an A的 极 限 是0
1
2、lim
an


0
n
不存在

a 1 a 1
2.2 数列的极限(2)
2.2 数列的极限(2)
1 1 2 33
0.333 0.666 0.999 有矛盾吗？
数列极限的描述性定义
一般地，如果当项数 n 无限增大时，无穷数列 an
的项 an无限地趋近于某个常数 a
接近0), 那么就说数列 an 以 a
an

a
1
4
n
0
数列的极限是唯一的
－2
0
0
lim C C (C为常数)
n
有穷数列没有极限
0
0.99n
0
数列
是否存 在极限
an

5

( 1 )n 3
存在
(1)n an 3n
存在
an n
不存在
若存在极限
lim
n
an
an a
lim
n
an

a
5
( 1 )n
0
3
0
1
0
3n
an “无限”地趋近于一个常数a
n n
(2)limC C (C是常数) n
(3)当 a 1时, lim a n 0 n
（4）数值变化趋势有：递减、递增、摆动；
（5） an “无限”地趋近于a 指的a是n 与a 需
要有多近就能有多近.
二、例题讲解：
例2、求常数数列-1，-1，-1，···，-1，···的极限．
解：这个无穷数列的各项都是-1，当项数n 无限增大时，
数列的项 an
始终保持同一个值-1，因此
lim(1) 1.
1 2
4 3
3 4
6 5
5 6
1+（-1)n+1 1 n
(1)写出这个数列的各项与1的差的绝对值; (2)第几项后面的所有项与1的差的绝对值都小于0.1?都小于0.001? 都小于0.0003? (3) 1是不是这个数列的极限?
解：（1）这个数列的各项与1的差的绝对值依次是 1， 1 , 1 ,, 1 ,.
23
n
（2） 1 (1)n1 1 1 1
n
n
令 1 0.1 解 得n 10. n
令 1 0.001解得n 1000. 令 1 0.0003解 得n 33331 .
n
n
3
（3） 1是这个数列的.极限
1
3
1 64
24
53
x
2
[课堂练习2]：
1、若
lim
n
an
1 an n
存在
0
1 n
0
an 0.9999n 存在
0 0.9999n
0
1 (1) lim
n n
0
如果 |
a
|
(2)limC
1，那么nlim
aCn
(C是常数)
0
(3)当 a 1时, lim a n 0
n
n
, , , , , , ,, 例4、已知数列 2
由此猜想 lim0.99n 0 n
一般地，如果
|
a
|
1，那么
lim an
n

0.
数列
是否存 在极限
an

4n 1 n
an (1)n
存在 不存在
an 2 存在anΒιβλιοθήκη 1 n不存在
(n 100)
an 0.99n 存在
若存在极限
lim
n
an
an a
lim
n