2024届河北省邯郸市高三下学期高考保温数学试卷

2024届河北省邯郸市高三下学期高考保温数学试卷
一、单选题
(★) 1. 已知，为第一象限角，则的值为（）
A．B．C．D．
(★) 2. 命题“，”的否定是（）
A．，B．，
C．，D．，
(★★) 3. 的展开式中，常数项为（）
A．60B．-60C．120D．-120
(★★★) 4. 中国地震台网测定：2024年4月3日，中国台湾花莲县海域发生里
氏7.3级地震.已知地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之
间的关系为，2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0
级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏7.3级地震
的多少倍？（）
A．98B．105C．355D．463
(★★) 5. 已知M，N是圆C：上的两个点，且，P
为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（）
A．B．C．D．
(★★) 6. 某疾病全球发病率为0.03%，该疾病检测的漏诊率（患病者判定为阴性的概率）为5%，检测的误诊率（未患病者判定为阳性的概率）为1%，则某人检测成阳性的概率约为（）
A．0.03%B．0.99%C．1.03%D．2.85%
(★★) 7. 若函数的部分图象如图所示，，为图象上的两个顶点.设，其中O为坐标原点，，则的值为（）
A．B．C．D．
(★★★★) 8. 已知双曲线：，O为坐标原点，、
分别为的左、右焦点，点P在双曲线上，且轴，M在外角平分线上，且.若，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．2D．
二、多选题
(★★) 9. 已知复数，是其共轭复数，则下列命题正确的是（）
A．
B．若，则的最小值为1
C．
D．若是关于的方程的一个根，则
(★★★) 10. 如图，将一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）
A．当时，正四棱锥的侧面积为
B．当时，正四棱锥的体积为
C．当时，正四棱锥外接球的体积为
D．正四棱锥的体积最大值为
(★★★★) 11. 定义在上的函数满足：
，且，则下列结论正确的是（）
A．B．是的对称中心
C．是偶函数D．
三、填空题
(★★★) 12. 已知向量，若向量在上的投影向量为，且与不共线，请写出一个符合条件的向量的坐标 ________ .
(★★★) 13. 记为等比数列的前项的和，若，，则 ________ .
(★★★★) 14. 若不等式恒成立，则的取值范围为 ________ .
四、解答题
(★★★) 15. 已知函数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若为增函数，求的取值范围.
(★★) 16. 某人投掷两枚骰子，取其中一枚的点数记为点的横坐标，另一枚的点数记为点的纵坐标，令事件“”，事件“为奇数”.
(1)证明：事件相互独立；
(2)若连续抛掷这两枚骰子三次，求点在圆内的次数的分布列与期望.
(★★★) 17. 如图，已知菱形和菱形的边长均为2，
，，分别为、上的动点，且.
(1)证明：平面；
(2)当的长最小时，求平面与平面的夹角余弦值.
(★★★★) 18. 动点M到定点的距离与它到直线的距离之比为，
记点M的轨迹为曲线.若为上的点，且.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)已知，，直线交曲线于两点，点在轴上方.
①求证：为定值；
②若，直线是否过定点，若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.
(★★★★★) 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则
当且仅当
或存在一个数，使得时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知无穷正数数列满足：①存在，使得；②对任意正整数，均有.求证：对任意，，恒有.。