数学同步导学练全国通用版人教A版选修2-2课件:第二章 推理与证明2.2.1.1
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编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:
一、听要点。
一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。
两式左右分别相减,并整理得(3+m)an+1=2man(m≠-3),
∴
������������+1 ������������
=
2������ ������ + 3.
又 m 为常数,且 m≠-3,∴{an}是等比数列.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)∵(3-m)Sn+2man=m+3,
∴(3-m)a1+2ma1=m+3.
证得了结论,应用了综合法的证明方法.
答案:综合法
重难聚焦
怎样认识综合法的概念及其思维特点? 剖析:1.一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证 明方法叫做综合法. 2.综合法的思维特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐 步推理实际上是寻找它的必要条件. 3.综合法是从原因推导到结果的思维方法. 4.应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争 辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一 系列的命题,其中每一个都是真实的(但它们不一定都是所需求的), 且最后一个必须包含要证明的命题的结论.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练3】 如图,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别 是AB,PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:(1)如图,连接AC,AN,BN,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AC.在 Rt△PAC 中,N 为 PC 的中点,
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD. 又AB∩AE=A,∴PD⊥平面三
第1课时 综合法
-1-
目标导航
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
知识梳理
综合法
定义
利用已知条件和某些 数学定义、公理、定理 等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种 证明方法叫做综合法
推证过程
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论)
又 M 为 AB 的中点,∴MN⊥AB.
又 AB∥CD,∴MN⊥CD.
(2)连接 PM,MC,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,
∴AP=AD.
∵四边形 ABCD 为矩形,
∴AD=BC,∴PA=BC.
又 M 为 AB 的中点,∴AM=BM.
而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.
又 N 为 PC 的中点,∴MN⊥PC.
,
当且仅当a=
1 3
,
������
=
1 3
,
������
=
1 3
时等号成立.
三式相加,得
������ 3
+
������ 3
+
������ 3
≤
1 2
(������
+
������
+
������)
+
1 2
=
1,
∴ ������ + ������ + ������ ≤ 3.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
-
3 2
+
1 2
成立就断定������
������
+
1 2
为偶函数是错误的,函数的奇偶性
是对定义域中任意的 x 定义的.
正解:证明:由函数 f(x+1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称,可知
f(x+1)=f(-x).将
x
换成
x−
1 2
代入上式,
可得������
������-
1 2
+
1
= ������ -
证明:由an+2=2an+1-an+2, 得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 故{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式问题
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1.
求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3. 分析:解答本题的关键是从基本不等式入手,利用同向不等式相
∴a1=1,b1=a1=1.
由(1)可得 q=f(m)= ���2���+������3.
∴当
n∈N*,且
n≥2
时,bn=
3 2
������(������n
−
1)
=
3 2
·������2���������-���1������+-13.
∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴
1 ������������
题型一
题型二
题型三
题型四
证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
������-
1 2
,即
1
1
������ ������ + 2 = ������ -������ + 2 .
由偶函数的定义可知������
������
+
1 2
为偶函数.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思在证明数学命题时,必须通过严格的推理来证明对任意满足题 意的条件,命题的结论都成立,特殊值的检验不能代替一般性的证 明.
加而得证.
证明:(1)∵a2+
1 9
≥
2������ 3
,
������2
+
1 9
≥
2������ 3
,
������2
+
1 9
≥
2������ 3
,
当且仅当a=
1 3
,
������
=
1 3
,
������
=
1 3
时等号成立.
∴
������2
+
1 9
+
������2
+
1 9
+
������2
+
1 9
≥2
3
������
题型四
典例透析
反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点,利用 垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂 直关系的转化.另外,利用一些常见的结论还常常可以将线面间的 垂直与平行进行转化.如两条平行线中的一条垂直于平面α,则另外 一条也垂直于平面α;垂直于同一条直线的两个平面互相平行等.
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明与数列有关的问题
【例 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*),
其中 m 为非零常数,且 m≠-3.
(1)求证:{an}是等比数列;
(2)若数列{an}的公比为 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn=
+
2 3
������
+
2 3
������
=
2 3
(������
+
������
+
������)
=
23.
∴a2+b2+c2≥13.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
(2)∵
������·13
≤
������+13 2
,
������·13
≤
������+13 2
,
������·13
≤
������+13 2
������1,������ = 1,
������������ -������������-1,������ ≥ 2; (4)递推公式与通项公式的关系.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练1】 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列.
证明:因为 a,b,c 是不相等的正数, 所以 a+c>2 ������������. 因为 b2=ac,所以 ac+2(a+c)>b2+4b, 即 ac+2(a+c)+4>b2+4b+4, 从而(a+2)(c+2)>(b+2)2. 因为 y=log2x 在定义域内是增函数, 所以 log2[(a+2)(c+2)]>log2(b+2)2, 即 log2(a+2)+log2(c+2)>2log2(b+2). 故 f(a)+f(c)>2f(b).
3 2
������(������n
−
1)(������∈N*,n≥2),求证:
1 ������������
为等差数列.
分析:解答本题需要利用等比数列、等差数列的定义使用综合法
加以证明,解题的关键是恰当地处理递推关系.
证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3,上面
−
1 ������������-1
=
13.
∴数列
1 ������������
是首项为1,公差为
1 3
的等差数列.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
反思用综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的
相关知识: (1)数列的概念,特别是等差数列、等比数列的定义; (2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前 n 项和的性质; (3)数列的通项公式 an 与数列的前 n 项和 Sn 之间的关系 an=
特点
顺推证 法 或由因 导 果法
知识梳理
【做一做】 命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证
明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln
x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了
的证明
方法.
解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利用综合法证明立体几何问题 【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求 证:
(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE. 分析:解答本题应先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理, 再用定理进行证明.
(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca 这三个式子之间的关系,由
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
【变式训练 2】 已知函数 f(x)=log2(x+2),a,b,c 是两两不相等的 正数,且 a,b,c 成等比数列,试证明 f(a)+f(c)>2f(b).
f(x+1)=f(-x),令 x=1,得 f(2)=f(-1),即������
3 2
+
1 2
= ������
-
3 2
+
1 2
,
所以������
������
+
1 2
为偶函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析:在证明������
������
+
1 2
为偶函数时,以特殊值������
3 2
+
1 2
=
������
������+������ 2
≥
������������,
特别是
������ ������
+
������������≥2.
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).
由不等式 a2+b2≥2ab,易得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca,而此结论是一
个很重要的不等式,许多不等式的证明都可以用到该结论.
反思综合法证明不等式所依赖的主要依据是不等式的基本性质和
已知的重要不等式,其中常用的有如下几个:
(1)a2≥0(a∈R).
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有
a2+b2≥2ab,
������+������ 2
2≥ab,a2+b2≥(������+2������)2.
(3)若
a,b∈(0,+∞),则
∴AN=
1 2
������������.
∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC.
又 BC⊥AB,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB.
从而在 Rt△PBC 中,BN 为斜边 PC 上的中线,
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
∴BN=
1 2
������������.
∴AN=BN,∴△ABN 为等腰三角形.
由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,
∴MN⊥平面 PCD.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析