23、2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题六 第3讲 复数 Word版含解析

1．(2019·扬州模拟)已知i 是虚数单位，则1－i
（1＋i ）2的实部为________．
[解析] 因为1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以1－i （1＋i ）2的实部为－1
2． [答案] －12
2．(2019·泰州模拟)复数z 满足i z ＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________． [解析] 因为i z ＝3＋4i ，所以z ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ．
[答案] 4－3i
3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z ＝a ＋i
i (其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝
________．
[解析] 因为z ＝a ＋i
i ＝1－a i ，它的实部与虚部相等，
故－a ＝1，即a ＝－1． [答案] －1
4．若复数z 满足z
－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________．
[解析] 由已知得z －
＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ． [答案] 1－i
5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i
为纯虚数”的________条件．
[解析] 若复数a ＋b
i ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，
a ＋
b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋b
i
为纯虚数”的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．
[解析] 由题意知A (1，1)，B (－1，3)，故|AB →
|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22．
[答案] 2 2
7．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1，2)，B (－1，3)，则z 2
z 1
＝________．
[解析] 由复数的几何意义可知，z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ， 所以z 2z 1＝－1＋3i 1＋2i ＝（－1＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋5i 5＝1＋i ．
[答案] 1＋i
8．设复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．
[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝|z －1|＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2
＝1，两式相减得2a ＝1，
a ＝1
2
． [答案] 1
2
9．(2019·徐州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是________．
[解析] |x ＋i|＝x 2＋1<2，即x 2＋1<4，解得－3<x <3，所以B ＝(－3，3)，而A ＝[－
2，2]，所以B
A ． [答案] B
A
10．已知m ∈R ，复数1－m
i 在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是
________．
[解析] 1－m
i ＝1＋m i ，该复数对应的点为(1，m )，
所以1－m ＝0，m ＝1． [答案] 1
11．(2019·南京调研)定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．
[解析] 设(x ＋y i)2
＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2．
故x ＋y i ＝1＋2i 或x ＋y i ＝－1－2i ． [答案] 1＋2i 或－1－2i
12．(2019·泰州期末)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
[解析] |z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3． 由图可知⎝⎛⎭
⎫
y x max
＝
3
1
＝3．
[答案] 3
13．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． [解析] |z |＝
（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当
|z |≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－1
2×1×1＝π－24
．
又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－1
2π．
[答案] 14－1
2π
14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________． ①若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －
2； ②若z 1＝z －2，则z －
1＝z 2； ③若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －
2;
④若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2
2．
[解析] 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2， 所以z －1＝z －
2，故①为真命题； 由于z 1＝z －2，则z －1＝z =
2＝z 2，
故②为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z －1＝z 2·z －
2，故③为真命题，④为假命题．
[答案] ①②③。