2021版北师大版文科数学一轮复习核心考点·精准研析 6.1不等式的性质及一元二次不等式含解析

2021版高考北师大版文科数学一轮复习核心考点·精准研析6.1不等式的性质及一元二次不等
式含解析
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核心考点·精准研析
考点一比较大小与不等式的性质
1。

(2019·泉州模拟）若a>b>c，ac<0,则下列不等式一定成立的是（）
A。

ab〉0 B.bc<0
C。

ab>ac D。

b（a-c)>0
2.若a=2 0192 022×2 0222 019,b=2 0192 019×20222 022,则a b(用“>，〈"填空）。

3。

设m=，n=，则m n（用“〉，<”填空）. 【解析】1。

选C。

因为a〉b>c,ac<0，所以a>0，c〈0,b的符号不确定，故A，B，D不正确，C中,a〉0，故ab>ac，正确。

2.==〈1，所以a<b.
答案:<
3.m—n=-=<0,所以m<n。

答案:<
1。

用同向不等式求差范围的技巧
⇒⇒a—d〈x—y<b-c.
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
2。

比较大小的三种常用方法
（1）作差法：直接作差判断正负即可。

（2)作商法：直接作商与1的大小比较,注意两式的符号。

（3）函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较。

【秒杀绝招】
1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项，即可得出正确选项.
2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性，根据不等式的
特点构造函数f(x)=解题.
考点二一元二次不等式的解法
【典例】1。

(2020·牡丹江模拟）不等式x（2-x）<0的解集是(）
A.(2，+∞)B。

（-∞,2)
C.(0,2)
D.（-∞，0）∪(2，+∞)
2.若不等式ax2+2x+c<0的解集是∪，则不等式cx2-2x+a≤0的解集是(）
A.B.
C.［-2，3］
D.［-3,2]
3。

设a>1，则关于x的不等式(1-a）（x—a）<0的解集是。

世纪金榜导学号
【解题导思】
序号联想解题
1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式
2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数
3由不等式想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1。

选D。

因为x(2-x)<0,
所以x(x-2）>0,所以x〉2或x<0，
所以不等式的解集为（-∞，0)∪(2，+∞）。

2.选C。

不等式的解集是∪,
所以—和是方程ax2+2x+c=0的两个实数根,
由，解得:a=-12，c=2,
故不等式cx2—2x+a≤0，即2x2—2x-12≤0,
即x2—x-6≤0,解得-2≤x≤3,
所以所求不等式的解集是［-2，3］。

3.因为a〉1时，1—a〈0,且a>，
则关于x的不等式可化为(x—a）>0，
解得x<或x〉a，
所以不等式的解集为∪（a,+∞）。

答案：∪(a,+∞）
1.解不含参数的一元二次不等式
首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集.
2。

解含参数的一元二次不等式
(1)先讨论二次项系数为0的情况，二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式，易得不等式的解集；
(2)再讨论二次项系数不为0的情况，利用“Δ”或“十字相乘法”求根，
若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集；
若无根，则根据图像写解集。

1。

（2019·西安模拟）不等式ax2+bx+c>0的解集为（—4，1）,则不等式b（x2+1）-
a(x+3)+c>0的解集为(）
A.
B。

C。

∪(1，+∞)
D。

(-∞，-1）∪
【解析】选B。

因为不等式的解集为（—4,1)，
则不等式对应方程的实数根为—4和1，且a〈0；
由根与系数的关系知，，所以，
所以不等式化为3a(x2+1)-a(x+3）-4a〉0，
化为3(x2+1）—（x+3）—4<0,即3x2—x-4〈0,
解得-1<x〈,
所以该不等式的解集为.
0。

6，n=log20.6，则
2。

（2020·抚州模拟)设m=log0。

3
（）
A.m-n〉mn〉m+n
B.m—n〉m+n〉mn
C。

mn>m—n〉m+n D.m+n〉m-n>mn
【解析】选B.因为m=log0.30.6>log0。

31=0，n=log20。

6〈log21=0,所以mn〈0，m—n>0,
因为—=-2log0.62=log0.60.25〉0,=log0。

60.3〉0,
而log0。

60.25〉log0。

60。

3，
所以-〉〉0，即m+n>0,
因为(m-n)—（m+n）=—2n>0,所以m—n〉m+n，所以m—n〉m+n>mn。

考点三一元二次不等式恒成立问题
命题精解读1.考什么:（1）求恒成立问题中的参数范围。

(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养，以及数形结合、分类与整合等数学思想.
2。

怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.
学霸好方法1。

恒成立问题的解题思路
（1)利用等价条件直接求范围
（2)分离参数后转化为最值问题
（3）转化为相应的函数，利用函数的图像解题
（4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题
2.交汇问题：与基本初等函数的定义域、值域交汇时，借助函数的性质解题。

在R上的恒成立问题
【典例】若关于x的不等式x2-ax-a〉0的解集为（—∞,+∞)，则实数a的取值范围为. 世纪金榜导学号
【解析】设f（x)=x2—ax—a，则关于x的不等式x2-ax—a〉0的解集为（—∞,+∞)⇔f（x)>0在（—∞,+∞）上恒成立⇔Δ=(—a）
2-4×1×(—a）=a2+4a〈0,解得-4<a〈0.
答案：(-4,0）
在R上的恒成立问题列不等式组的依据是什么?
提示：在R上的恒成立，可以依据对应的二次函数的图像,列出等价条件求解。

给定区间上的恒成立问题
【典例】若不等式x2≥m+4x在[0，1］上恒成立，则实数m的取值范围是世纪金榜导学号()
A.（—∞，—3]∪［0，+∞)
B.［—3,+∞)
C.［—3，0] D。

（-∞,—3]
【解析】选D。

因为不等式x2≥m+4x,x∈[0，1］恒成立,
所以只需m≤(x2-4x)min，x∈［0，1］,
令f（x)=x2—4x=(x-2）2-4,x∈[0，1］，
所以f（x)min=f（1）=—3,
所以m≤—3。

定区间上的恒成立问题如何解？
提示:将参数分离出来后,转化为求另一侧函数的最值，是求参数范围的常用方法.
给定参数范围的恒成立问题
【典例】（2020·六安模拟）若不等式x2+px>4x+p-3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是（)
世纪金榜导学号
A.[-1，3]
B.（-∞，—1］
C.［3,+∞）D。

（—∞，—1）∪(3，+∞)
【解析】选D。

方法一：特殊值法:当x=-1时,由x2+px〉4x+p-3,
得p<4，故x=—1不符合条件，排除A，B；
当x=3时，由x2+px>4x+p-3，得p〉0,故x=3不符合条件，排除C；方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+3〉0,当0≤p≤4时恒成立,
所以即
解得x〈-1或x>3.
1。

在R上定义运算a※b=（a+1）b,若存在x∈［1,2]使不等式（m-x)※（m+x）〈4成立，则实数m的取值范围为（）
A.(—3,2) B。

(-1，2）
C.（—2,2）
D.(1,2)
2。

已知关于x的不等式x2-x+a—1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.
【解析】1。

选A.由题意知,不等式(m-x）※（m+x）〈4化为(m—x+1)(m+x)〈4,
即m2+m-4<x2—x；
设f（x）=x2-x,x∈[1，2],
则f（x)的最大值是f（2)=4—2=2;
令m2+m-4〈2,即m2+m—6<0,
解得—3<m〈2,
所以实数m的取值范围是（-3,2)。

2.关于x的不等式x2—x+a-1≥0在R上恒成立，
所以二次函数的图像与x轴最多有一个交点,
所以判别式Δ=(—1)2-4（a-1）≤0，
解得a≥，所以a的取值范围为.
答案:
1.关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在区间［-2,0］上恒成立，则实数a的取值范围是。

【解析】由题得a≥=(x—1)++2
因为-2≤x≤0，所以-3≤x—1≤-1,
所以(x—1）++2
=-+2≤2—2=-2，
当x=-1时得到等号。

所以a≥-2。

答案:a≥-2
2。

要使不等式x2+（a—6)x+9—3a〉0,|a｜≤1恒成立，则x的取值范围为.
【解析】不等式x2+（a—6)x+9—3a>0
变形为(x-3)a+x2-6x+9〉0,
设f(a)=（x-3)a+x2—6x+9，
由｜a｜≤1,得—1≤a≤1,
则不等式恒成立，只需
即
解得所以x<2或x〉4。

答案：（-∞,2）∪（4，+∞)
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