湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试 数学(文)-含答案

宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考
高三（文科）数学
（全卷满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A={1，2}，B={1，m ，3}，如果A ∩B=A ，那么实数m 等于（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．2
D ．4
2.设θ为第二象限的角，5
3
sin =θ，则=θ2sin ( ) A ．257 B ．2524 C ．257- D ．25
24-
3.设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1
2)，则下列结论中正确的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
4．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )
A ．π6
B ．π3
C ．π2
D ．2π
3
5． “p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．函数y ＝sin(2x ＋π
3
)图象的对称轴方程可能是( )
A ．x ＝－π6
B ．x ＝－π12
C ．x ＝π6
D ．x ＝π
12
7．设全集U ＝R ，A ＝{x |－x 2－3x >0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A ．{x |x >0}
B ．{x |－3<x <－1}
C ．{x |－3<x <0}
D ．{x |x <－1}
8. 要得到函数π
sin(2)3
y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向左平移π6个单位
B ．向右平移π
3个单位
C ．向左平移π3个单位
D ．向右平移π
6
个单位
9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3
10．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
11．函数f (x )＝sin x ＋2xf ′(π3)， f ′(x )为f (x )的导函数，令a ＝－1
2，b ＝log 32，则下列关系正确的是( )
A ．f (a )>f (b )
B ．f (a )<f (b )
C ．f (a )＝f (b )
D ．f (|a |)<f (b )
12．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f (x )的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点(A ，B )是函数f (x )的一个“姊妹点对”．点对(A ，B )与(B ，A )可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＋2x (x <0)2e x (x ≥0)，则f (x )的“姊妹点对”有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上。

13.函数2y x x =-的定义域为 .
14．命题“∀x ∈R ，e x －x ＋1≥0”的否定是
15. 已知ABC △中，角 , ,A B C 对边分别为 , ,a b c ，120 , 2C a b ==o ，则tan A = ．
16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈[a ，a ＋2]， 不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．（10分）已知三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ． （1）求A ； （2）若a ＝3，b ＝1，求c .
18．（12分）已知函数f (x )＝－sin2x －3(1－2sin 2x )＋1. （1）求f (x )的最小正周期及其单调减区间； （2）当x ∈[－π6，π
6]时，求f (x )的值域．
19．（12分）已知函数()3
ln 42
x a f x x x =+--，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线1
2
y x =
（1）求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间及极值．
20．（12分）时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝m x －2＋4(x
－6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套． （1）求m 的值；
（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)
21．（12分）已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，－1
2)，设函数f (x )＝(m ＋n )·m .
（1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）已知a 、b 、c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长，A 为锐角，a ＝1，c ＝3，且f (A )恰是函数f (x )在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值，求A ，b 和三角形ABC 的面积．
22．（12分）已知函数f (x )＝x 2－2ln x . （1）求f (x )的单调区间； （2）若21
()2f x tx x
≥- 在x ∈(0,1]内恒成立，求t 的取值范围．
宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考
高三（文科）数学参考答案
13. []1,0 14． R x ∈∃, e x －x ＋1<0 15. 2
3 16． (－∞，－5] 17． (1)∵2a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，
∴由正弦定理得sin2A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )， ∴B ＋C ＝2A ，∴A ＝60°……………………………………………5分 (2)∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，b ＝1，A ＝60°，
∴3＝1＋c 2－c ，∴c ＝2……………………………………………10分 18． f (x )＝－sin2x －3(1－2sin 2x )＋1
＝－sin2x －3cos2x ＋1
＝－2sin(2x ＋π
3)＋1 …………………………………3分
(1)函数f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π ………………4分 f (x )＝－2sin(2x ＋π3)＋1的单调减区间即是函数y ＝sin(2x ＋π
3)的单调增区间，
由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π
2
，(k ∈Z )
即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数y ＝sin(2x ＋π
3)为单调增函数，……7分
∴函数f (x )的单调减区间为[k π－
5π12，k π＋π
12
]，(k ∈Z )．…………………...8分 (2)∵x ∈[－π6，π6]，∴2x ＋π3∈[0，2π
3
]，
∴sin(2x ＋π3)∈[0,1]，∴－2sin(2x ＋π
3
)＋1∈[－1,1]，
∴f (x )的值域为[－1,1]．………………………………………………….12分
19．（1）对()f x 求导得x
x a x f 1
41)('2--=
，…………..2分 由在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =，知()/3
124
f a =--=- ，
解得5
4
a =，所以，a 的值为54．………………………….5分
（2）由（1）知()53
ln 442
x f x x x =+-- ，则()2245'4x x f x x --=
，…….7分 令()/
0f
x =，解得1x =- 或5x = ，因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞内，故舍去．
当()0,5x ∈时， ()'
0f x <，故()f x 在()0,5内为减函数；
当()5,x ∈+∞时，()'0f x >，故()f x 在()5,+∞内为增函数． 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-
综上得，()f x 的递增区间为()5,+∞，递减区间为()0,5，极小值为()5ln5f =-，无极大值．…12分
20． (1)因为x ＝4时，y ＝21，
代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m
2＋16＝21，解得m ＝10………………5分
(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10
x －2＋4(x －6)2，
所以每日销售套题所获得的利润
f (x )＝(x －2)[10
x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，……7分
从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)． ………..8分 令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，10
3
)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；
在(10
3
，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，………….10分
所以x ＝10
3是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，
所以当x ＝10
3
≈3.3时，函数f (x )取得最大值．
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．……………12分 21．
(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝cos 2x ＋
3sin x cos x ＋32＝1＋cos2x 2＋32sin2x ＋3
2
＝12cos2x ＋32sin2x ＋2＝sin(2x ＋π
6)＋2，…………………….2分 因为ω＝2，所以最小正周期T ＝2π
2＝π……………………...4分
(2)由(1)知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋2，当x ∈[0，π2]时， π6≤2x ＋π6≤7π
6
.
由正弦函数图象可知，当2x ＋π6＝π2时，f (x )取得最大值3，又A 为锐角，所以2A ＋π6＝π2，A ＝π
6 (6)
分
由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得，1＝b 2＋3－2×3×b ×cos π
6，所以b ＝1或b ＝2， (8)
分
经检验均符合题意．
从而当b ＝1时，△ABC 的面积S ＝12×3×1×sin π6＝3
4；………….10分
当b ＝2时，S ＝12×3×2×sin π6＝3
2
……………………………..…..12分
22． (1)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)
x
，……………….2分
由f ′(x )>0，得x >1，………………………………………….3分 由f ′(x )<0，得0<x <1，………………………………………4分
所以，函数f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．…..5分 (2)由f (x )≥2tx －1x 2对x ∈(0,1]恒成立，得2t ≤x ＋1x 3－2ln x
x ……………..6分
令h (x )＝x ＋1x 3－2ln x
x ，……………………………………………….7分
则h ′(x )＝x 4－2x 2－3＋2x 2ln x
x 4，…………………………………….8分
∵x ∈(0,1]，
∴x 4－3<0，－2x 2<0,2x 2ln x <0，x 4>0，
∴h ′(x )<0，………………………………………………………..10分 ∴h (x )在(0,1)上为减函数．
∴当x ＝1时，h (x )＝x ＋1x 3－2ln x
x 有最小值2，…………………11分
得2t ≤2，∴t ≤1，
故t 的取值范围是(－∞，1]． ………………………………….12分。