广东省茂名市2024届高三一模数学试题(教师版)

2024年茂名市高三年级第一次综合测试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.
一、单选题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
0,1,2,3A =，
{}
1,0,1B =-，C A B = ，则集合C 的子集个数为（
）
A.2
B.3
C.4
D.8
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，求出集合C 即可得解.
【详解】集合{}0,1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则{0,1}C A B == ，所以集合C 的子集个数为224=.故选：C
2.“1x <”是“2430x x -+>”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充
分也不必要条件【答案】A 【解析】
【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.【详解】解不等式2430x x -+>得3x >或1x <，记()()(),13,,,1A B ∞∞∞=-⋃+=-，
因为A B ，所以“1x <”是“2430x x -+>”的充分不必要条件．故选：A
3.从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）A.33 B.45 C.84
D.90
【答案】B 【解析】
【分析】利用组合数公式直接计算.【详解】2
1
63C C 45=.故选：B
4.曲线()e x
f x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行，则=a （
）A.2- B.1- C.1
D.2
【答案】C 【解析】
【分析】确定曲线()e x
f x ax =+在点()0,1处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数
的几何意义，即可求得答案.
【详解】因为曲线()e x
f x ax =+在点()0,1处的切线与直线2y x =平行，
故曲线()e x
f x ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2，
因为()e x
f x a '=+，所以()0
0e 12f a a =+=+='，
所以1a =，故选：C.
5.椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直于x 轴
的直线l ，交C 于A ，B 两点，若12AB F F =，则C 的离心率为（
）
A.
B.
1
- C.
12
- D.
2
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意可知直线l ：x c =-，结合方程可得22b
AB a
=，进而求离心率.
【详解】因为()1,0F c -，且直线l 垂直于x 轴，可知直线l ：x c =-，
将x c =-代入椭圆方程可得
()2
2
2
21c y a b
-+=，解得2b y a =±，所以22b AB a =
，又因为12AB F F =，则222b c a =，即22
a c c a
-=，
可得220c ac a +-=，则210e e +-=，解得1551
222
e -=-+=
.故选：A.
6.函数()y f x =和()2y f x =-均为R 上的奇函数，若()12f =，则()2023f =（）
A.2-
B.1
- C.0
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】由奇函数性质推导出()y f x =的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.【详解】因为()2y f x =-为奇函数，所以()y f x =关于()2,0-对称，即
()(4)0f x f x -+-=，
又()y f x =关于原点对称，则()()f x f x -=-，有()(4)(4)()f x f x f x f x =-⇒+=，所以()y f x =的周期为4，故()()()()202312024112f f f f =-+=-=-=-.故选：A 7.若π3π,44α⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，ππ6tan 4cos 5cos 244ααα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 2α=（
）
A.
2425
B.
1225
C.
725
D.
15
【答案】C 【解析】
【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.【详解】令π4t α=
+，π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π4t α=-，则ππ6tan 4cos 5cos 222t t t ⎛⎫⎛
⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
即6tan 4sin 5sin 210sin cos t t t t t +==，整理得()()5cos 3cos 10t t +-=，且cos 0<t ，那么3
cos 5
t =-，则2
π7sin 2sin 2cos 212cos 225
t t t α⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝
⎭.故选：C.
8.数列{}n a 满足18a =，1
1
n
n n a a na +=+（*n ∈N ），112n
n n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，若数列{}n b 是递减数列，则实数λ的取值范围是（）
A.8,7⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
B.7,8⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭ C.8,7⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
D.
7,8⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】【分析】将1
1n n n a a na +=+取倒数结合累加法求得()2
2118
n n a -=，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，
11n
n n a a na +=+，两边取倒数可化为1111n n n n
na n a a a ++==+，所以
21111a a -=，32112a a -=，1111--=-n n n a a ，由累加法可得，()()1111
1212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，因为18a =，所以()()2
12111288
n n n n a --=+=
，
所以()
221111282n
n n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为数列{}n b 是递减数列，故1n n b b -<，即
()()221
2123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢
⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理可得，
2
254842017288
n n n λ⎛
⎫--+ ⎪-+-⎝
⎭
>=，因为
2
n ≥，
*
n ∈N ，所以
22
max
5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-⨯-+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，故7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.
故选:D.
二、多选题：本题共4小题，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.若()32
112132
f x x x x =-+++是区间()1,4m m -+上的单调函数，则实数m 的值可以是（）
A.4-
B.3
- C.3
D.4
【答案】CD 【解析】
【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于m 的不等式组，解出即可．
【详解】由题意，()()()2
221f x x x x x =-++=--+'，
令()0f x '>，解得12x -<<，令()0f x '<，解得1x <-或2x >，所以()f x 在()1,2-上单调递减，在(),1∞--，()2,∞+上单调递减，若函数()32
112132
f x x x x =-
+++在区间()1,4m m -+上单调，则41m +≤-或12m -≥或11
42m m -≥-⎧⎨+≤⎩
，解得5m ≤-或3m ≥或m ∈∅，
即5m ≤-或3m ≥.故选：CD.
10.过抛物线C ：24y x =的焦点F 作直线l 交C 于,A B 两点，则（）
A.C 的准线方程为2
x =-B.以AB 为直径的圆与C 的准线相切C.若5AB =，则线段AB 中点的横坐标为32
D.若AB 4=，则直线l 有且只有一条【答案】BCD 【解析】
【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证2
AB MM '=是否成立；对于
选项C ，D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可.
【详解】对于选项A:由抛物线C ：24y x =，可得24,p =解得2p =，故准线方程为
12
p
x =-
=-，故选项A 错误；对于选项B:设AB 的中点为M ,且,,A B M 在准线上的投影为,,A B M '''，由抛物线的定义可知：,AA AF BB BF =''=,
易知四边形ABA B ''为直角梯形，所以2
2
2
AA BB AF BF
AB MM ++=
=
=
''
',
故以AB 为直径的圆与C 的准线相切，故选项B 正确；对于选项C:设()()1122,,,A x y B x y ，因为1212522
p p
AB AF BF AA BB x x x x p =+=+=+
++=++'='，所以123x x +=，所以线段AB 中点的横坐标为
123
22
x x +=，故选项C 正确；对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得24AB p ≥=，要使AB 4=，则线段AB 为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条,故选项D 正确.故选：BCD.
11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，则（）
A.直线EF 与1BC 所成的角为60°
B.过空间中一点有且仅有两条直线与1111,A B A D 所成的角都是60°
C.过1A ，E ，F 三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为25+
D.过直线EF 的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形【答案】ACD 【解析】
【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.【详解】对于A ，如图所示，连接111,,AC AC A B ，
因为E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，所以//EF AC ，由1111//,AA CC AA CC =可知，四边形11AA C C 是平行四边形，所以11//AC AC ，所以11//EF A
C ，所以EF 与1BC 所成的角即为11A C 与1BC 所成的角，即11AC B ∠或其补角，因为11A BC V 是等边三角形，所以1160A C B ∠=︒，所以EF 与1BC 所成的角为60°，故A 正确；
对于B ，因为直线11A B ，11A D 所成角是90°，且两条直线相交于1A ，所以过点1A 与两直线所成角为60°的直线有4条，故B 错误；
对于C ，易知平面11A EFC 为过1A ，E ，F 三点的截面，该截面为梯形，
显然1111A C A E C F EF ====
=
所以截面图形的周长为1111A C A E EF C F +++=+=，故C 正确；
对于D ，如图所示，分别取1AA ，1CC 的靠近A ，C 的三等分点G ，H ，连接1GD ，GE ，1HD ，HF ，易知1//GE HD ，1//HF GD ，
故点1D ，G ，E ，F ，H 共面，该截面图形为五边形，故D 正确.故选：ACD
12.从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字a ，b ，记点(),A a b ，()1,1B -，()0,0O ，则（）
A.
AOB ∠是锐角的概率为
9
20
B.BAO ∠是锐角的概率为
9100
C.AOB 是锐角三角形的概率为
9100
D.AOB 的面积不大于5的概率为
920
【解析】
【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A ，B 选项，根据数量积为正得出锐角判断C 选项，结合面积公式判断D 选项.
【详解】对A ，易知OA ，OB
不共线，
若AOB ∠是锐角，()(),·1,10OA OB a b a b ⋅=-=-> ，易知(),A a b 共有100种情况，其中a b =共有10种，a b >与a b <有相同种情况，即45种，所以AOB ∠是锐角的概率为
459
10020
=，A 正确；对B ，若BAO ∠是锐角，220AB AO a a b b ⋅=-++>
恒成立，所以BAO ∠是锐角的概率为1，B 错误；
对C ，若AOB 是锐角三角形，则000OA OB BO BA AO AB ⎧⋅>⎪⎪⋅>⎨⎪⋅>⎪⎩
，
即()()()(
)()()22,·1,10,
1,1·1,12,,·1,10,a b a b a b a b a b a b a a b b ⎧-=->⎪
--+=-<⎨⎪-----=-++>⎩
所以1a b -=，共有9种情况，所以AOB 是锐角三角形的概率为9
100
，C 正确；对
D
，
若
1sin 2
AOB
S OA OB AOB =∠
11522
OA a b =+≤ ，
10a b +≤，
该不等式共有2
10109C ==4512⨯⨯组正整数解，所以AOB 的面积不大于5的概率为9
20
，D 正确.故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题.
13.已知复数2
1i
z =
+，其中i 为虚数单位，则z =______.
【解析】
【分析】应用复数除法化简，结合共轭复数的概念即可得答案.
【详解】∵()()()
21i 21i 1i 1i 1i z -=
==-++-，∴1i z =+.故答案为：1i
+14.如图，
茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半径都为a ，则上层的最高点离平台的距离为______.
【答案】266
3
a +【解析】
【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.
【详解】依次连接四个球的球心1234,,,O O O O ，则四面体1234O O O O -为正四面体，且边长为2a ，
正234O O O 外接圆半径232sin 6033
r O O a =
= ，则1O 到底面234O O O 的距离
3
h a ==
，
所以最高点到平台的距离为
6
233
a a a ++=.
故答案为：2663
a +15.动点P 与两个定点()0,0O ，()0,3A 满足2PA PO =，则点P 到直线l ：430mx y m -+-=的距离的最大值为______.
【答案】234
+【解析】
【分析】利用两点距离公式及已知求得P 的轨迹是圆心为(0,1)-，半径为2的圆上，再确定直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在直线与直线l 垂直，进而求最大值.
【详解】令(,)P x y 2222(3)2x y x y +-=+，整理得22(1)4x y ++=，所以P 的轨迹是圆心为(0,1)-，半径为2的圆上，
又直线l ：430mx y m -+-=可化为(3)(4)0m x y ---=，易知过定点(3,4)，由223(41)4++>，故点(3,4)在圆22(1)4x y ++=外，
则圆心与定点所在直线与直线l 垂直，圆心与直线l 距离最大，
所以点P 到直线l 223(41)2234++=+.故答案为：234
16.函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+
⎪⎝⎭（0ω>）在区间ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围是______.
【答案】111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于()f x 在区间ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭上有且只有两个零点，所以π3232T T <≤，即ππ3π393ωωω<≤⇒<≤，由()0f x =得，ππ6
x k ω+=，k ∈Z ，∵ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴πππππ,66626x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，∴πππ66ππ2π3π26ωω⎧+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩或πππ2π66ππ3π4π26ωω⎧≤+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，解得1153ω<<或172333ω<≤，所以ω的取值范围是111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
.故答案为：111723,5,333⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到πππππ,66626x ωωω⎛⎫+
∈++ ⎪⎝⎭，再根据零点个数得到不等式组，解出即可.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.在ABC 中，
角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 0a B b A a c --+=.（1）求B 的值；
（2）若M 为AC 的中点，且4a c +=，求BM 的最小值.
【答案】（1）
π3（2
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简cos cos 0a B b A a c --+=，可得cos B 的值，即可求得答案.
（2）由题意可得1122
BM BA BC =+ ，平方后结合数量积的运算以及基本不等式，即可求
【小问1详解】
由正弦定理及cos cos 0a B b A a c --+=，
得sin cos sin cos sin sin 0A B B A A C --+=，
又()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，
所以2sin cos sin 0A B A -=，
又()0,πA ∈，∴sin 0A ≠，∴2cos 10B -=，即1cos 2
B =
，又()0,πB ∈，∴π3B =
.【小问2详解】由M 为AC 的中点，得1122
BM BA BC =+ ，而4a c +=
，所以22221111122442BM BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭
()2221111cos 4424c a ac B a c ac ⎡⎤=++=+-⎣⎦()()2221334216
a c a c a c ⎡⎤+⎛⎫≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c a c =⎧⎨+=⎩
，即2a c ==时等号成立，所以BM
18.已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g ）将它们分成5组：[)360,380，[)380,400，[)400,420，[
)420,440，[]440,460得到如下频率分布直方图.
（1）用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[)380,400，[)400,420，[)420,440内的石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.
（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间[)420,440内的个数为X ，求X 的分布列与数学期望.
【答案】（1）416g
（2）（ⅰ）
617，（ⅱ）分布列见解析，()97
E X =【解析】
【分析】（1）根据题意，用每组的频率乘以该组区间的中点值再求和得解；
（2）根据条件概率计算公式运算，求出X 的所有可能取值及对应的概率得解.
【小问1详解】该品种石榴的平均质量为()203700.0053904104500.0104300.015x =⨯⨯+++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦416=，
所以该品种石榴的平均质量为416g .
【小问2详解】
由题可知，这7个石榴中，质量在[)380,400，[)400,420，[
)420,440上的频率比为0.010:0.010:0.0152:2:3=，
所以抽取质量在[)380,400，[)400,420，[
)420,440上的石榴个数分别为2，2，3.（ⅰ）记A =“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，B =“这3个石榴恰好来自不同区间”，
则()337337C C 34C 35P A -==，()11122337
C C C 12C 35P AB ==，所以()()()12635341735
P AB P B A P A ===，即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为617
.（ⅱ）由题意X 的所有可能取值为0，1，2，3，
则()3437C 40C 35P X ===，()214337
C C 181C 35P X ===，()124337C C 122C 35P X ===，()3337C 13C 35
P X ===，所以X 的分布列为X
0123P 43518351235135
所以()41812190123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭是首项为12、公差为13的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；
（2）令()21n n n
n a b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项积，证明：1615n n i i T =-≤∑.【答案】（1）2n a n
=（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由等差数列定义可得n S ，由n S 与n a 的关系即可得n a ；
（2）由n S 与n a 可得n b ，即可得n T ，由()()2116n n ++≥，可得16
n n T -≤，借助等比数
列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
由()1n S n n ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为1
3的等差数列，
故()()1
1
1
112336n S n
n n n =+-=++，即()()()
21111366n n n n n S n n ++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，
当2n ≥时，()()
12116n n
n n S ---=，
故()()()()
121121166
n n n n
n n n n n S S a -++---==-()
2222312316n n n n n n ++-+-==，
当1n =时，1132
16a S ⨯===，符合上式，
故2n a n =；
【小问2详解】
由2n a n =，()()
2116n n n n S ++=，
故()()()()(
)()()266211211212121n n n n a n n b S n n
n n n n n ++-==+-=+-，
则()()()()()()()()()
12121412666211141121221n n n
T b n b b n n -
-⨯=-⋅⋅⋅=++++++ ()
()()()()6216211211n n
n n n n -==++++，
由()()211326n n ++≥⨯=，故1666n
n n T -≤=，
则()11111661
6165n n
i i n n i n T ==-⨯--≤==-∑∑.
20.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，
//AB CD ，AB BC ⊥，
22PD AB CD ===，BC =
120PDC ∠=︒.
（1）证明：PB AD ⊥；
（2）点E 在线段PC 上，当直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为
5时，求平面ABE 与平面PBC 的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）4154
77
【解析】
【分析】（1）要证AD PB ⊥，需要证过PB 的平面与AD 垂直即可，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理结合条件即得；
（2）建立空间直角坐标系，先根据条件确定E 点的坐标，再求二面角.
【小问1详解】如图：
由于平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD CD =，
过点P 作CD 的垂线交CD 的延长线于点O ，则PO ⊥平面ABCD .
连接OB 交AD 于Q ，连接OA ，
∵2PD =，120PDC ∠=︒，
∴1OD =，∴2==OC AB ，
又//AB CD ，90ABC ∠=︒，
∴四边形ABCO 为矩形，
∴OA BC ==，∴22
OD OA OA AB ==，∴Rt Rt ODA AOB ∽△△，∴OAD ABO ∠=∠，
又∵90OAD DAB ∠+∠=︒，
∴90AQB ∠=︒，即AD OB ⊥，
又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
∴PO AD ⊥，又,,PO BO O PO BO ⋂=⊂平面POB ，
∴AD ⊥平面POB ，又∵PB ⊂平面POB ，
∴AD PB ⊥.
【小问2详解】
以O 为坐标原点，OA ，OC ，OP 所在直线分別为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，
则(P ，()0,2,0C
，)A
，)
2,0B ，由于E 在PC 上，设PE PC λ=uur uuu r
，
则()0,2E λ
，∴()
2AE λ= ，又平面ABCD 的法向量()0,0,1n =
，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，∴
sin cos ,5AE n θ== ，解得12
λ=或52λ=（舍去），∴30,1,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴()0,2,0BA =
- ，31,2BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，()
BC = ，
设平面ABE 的法向共()1111,,n x y z = ，平而PBC 的法向共()2222,,n x y z = ，
则110,0,BA n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 220,0,BC n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即111120,0,2y y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩
，22220,0,2y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩
取1x =
2y =
1n =
，()
22n = ，
∴124154cos ,77
n n = ，故平面ABE 与平面PBC 夹角的余弦值为
415477.21.已知双曲线E ：22213
x y a -=（0a >）的左焦点为F ，A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为
32
.（1）求E 的标准方程；
（2）过点B 的直线与双曲线左支交于点P （异于点A ），直线BP 与直线l ：=1x -交于点M ，PFA ∠的角平分线交直线l 于点N ，证明：N 是MA 的中点.【答案】（1）2
2
13y x -=（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分析条件，求解方程即可.
（2）找到斜率不存在的情况，容易证明，再求证斜率存在的情况即可.
【小问1详解】因为22
213
x y a -=
，所以b =，
0ay -=，因为双曲线的右顶点为(),0a ，设右顶点到浙近线的距离为d ，
由题意得22,23,
d c a c ⎧⎪===⎨⎪+=⎩解得1,2,a c =⎧⎨=⎩则E 的标准方程为2
2
13y x -=.【小问2
详解】
①当90PFA ∠=︒，即PF AF ⊥时，设点()
2,p P y -，
代入双曲线方程得，()22213P y --=，解得3p y =±，取第二象限的点，则()2,3P -，因为()1,0B ，所以直线BP 的斜率为30121
BP k -==---，所以直线BP 的方程为=1y x +，令=1x -，解得2y =，即()1,2M -，
因为直线FN 是PFA ∠的角平分线，且.90PFA ∠=︒，所以直线FN 的斜率为1FN k =，直线FN 的方程为2y x =+，令=1x -，解得1y =，即()1,1N -，此时12
AN AM =，即N 是MA 的中点；②当90PFA ∠≠︒时，设直线BP 的斜率为k ，则直线BP 的方程为()1y k x =-，
联立方程()221,1,3y k x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得()()
22223230k x k x k -+-+=，由韦达定理得，2233
B P k x x k +=-，
又因为1B x =，所以2233
P k x k +=-，()2613P P k y k x k =-=-，点22236,33k k P k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭
，又因为()2,0F -，所以222226623333123
PF k k k k k k k k k -===+--+-，由题意可知，直线NF 的斜率存在，设为k '，则直线NF ：()2y k x ='+，
因为FN 是PFA ∠的角平分线，所以2PFB NFB ∠=∠，所以tan tan 2PFB NFB ∠=∠，又因为22tan 1
PF k PFB k k ∠==-，2'22tan 2tan 21tan 1NFB k NFB NFB k ∠∠='=-∠-，所以2'22211k k k k
'=--，即()2210k k k k k +--''='，即()()10k k kk ''+-=，得k k '=-或1k k =
'，由题意知k 和k '异号，所以k k '=-，所以直线FN 的方程为()2y k x =-+，令=1x -，可得y k =-，即()1,N k --，所以AN k =-，
直线PB 的方程为()1y k x =-，令=1x -，可得2y k =-，
即()1,2M k --，所以2AM k =-，所以122
AN k
AM k -==-，即N 是MA 的中点.综上，N 是MA 的中点.
22.若函数()f x 在[],a b 上有定义，且对于任意不同的[]12,,x x a b ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-，则称()f x 为[],a b 上的“k 类函数”.
（1）若()2
2
x f x x =+，判断()f x 是否为[]1,2上的“3类函数”；（2）若()()2
1e ln 2x
x f x a x x x =---为[]1,e 上的“2类函数”，求实数a 的取值范围；
（3）若()f x 为[]1,2上的“2类函数”，且()()12f f =，证明：1x ∀，[]21,2x ∈，()()121f x f x -<.
【答案】（1）()2
2
x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”，理由见详解.（2）2e 1
14e e e a ++≤≤（3）证明过程见详解.
【解析】
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明()()12123f x f x x x -<-即可；
（2）由已知条件转化为对于任意[]1,e x ∈，都有()22f x '-<<，()e ln 1x f x ax x x '=---，只需ln 3e x x x a x ++<且ln 1e x x x a x +->，利用导函数研究函数的单调性和最值即可.
（3）分1212x x -<和12112
x x ≤-<两种情况进行证明，()()12f f =，用放缩法()()()()()()()()()()1212121212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-进行证明即可.
【小问1详解】
对于任意不同的[]12,1,2x x ∈，
有1212x x ≤<≤，1224x x <+<，所以122232
x x ++<<，()()()2212121212121223222x x x x f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+-+=-<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以()2
2
x f x x =+是[]1,2上的“3类函数”.【小问2详解】
因为()e ln 1x f x ax x x '=---，
由题意知，对于任意不同的[]12,1,e x x ∈，都有()()12122f x f x x x -<-，
不妨设12x x <，则()()()()21122122x x f x f x x x --<-<-，
故()()112222f x x f x x +<+且()()112222f x x f x x ->-，
故()2f x x +为[]1,e 上的增函数，()2f x x -为[]1,e 上的减函数，故任意[]1,e x ∈，都有()22f x '-≤≤，
由()2f x '≤可转化为ln 3e x x x a x ++≤，令()ln 3e
x x x g x x ++=，只需()min a g x <()()()212ln e x
x x x g x x +---'=，令()2ln u x x x =---，()u x 在[]1,e 单调递减，所以()()130u x u ≤=-<，()0g x '<，故()g x 在[]1,e 单调递减，()()e 1
min 4e e e g x g ++==，由()2f x '≥-可转化为ln 1e x x x a x +-≥，令()ln 1e
x x x h x x +-=，只需()max a h x ≥()()()212ln e x
x x x h x x +--'=，令()2ln m x x x =--，()m x 在[]1,e 单调递减，且()110m =>，()e 1e<0m =-，所以[]01,e x ∃∈使()00m x =，即002ln 0x x --=，即02000ln 2,e x x x x -=-=，
当[)01,x x ∈时，()0m x >，()0h x '>，故()h x 在[)01,x 单调递增，当(]0,e x x ∈时，()0m x <，()0h x '<，故()h x 在(]
0,e x 单调递减，()()000e 12max 0ln 11e e x x h x h x x ++-==
=，故2e 1
14e e e a ++≤≤.【小问3详解】
因为()f x 为[]1,2上的“2类函数”，所以()()12122f x f x x x -<-，不妨设1212x x ≤<≤，当1212
x x -<
时，()()121221f x f x x x -<-<；当12112x x ≤-<时，因为()()12f f =，12112
x x -<-≤-
()()()()()()()()()()
121212
1212f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()()121212122212112x x x x ⎛⎫<-+-=-+≤-+= ⎪⎝⎭
，综上所述，1x ∀，[]21,2x ∈，()()121f x f x -<.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立()()max a f x ≥或()a f x ≤恒成立()()min a f x ≤；②数形结合（()y f x =的图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值()max 0f x ≤或()min 0f x ≥恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围
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