广东省江门一中高考数学(文)二模考试试卷

广东省江门一中2008年高考数学(文)二模考试试卷
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P(A ＋B)＝P(A)＋
P(B)
1()3V h S S =下正四棱台上 1
(')'
2S c c h =+侧
2
2
()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=
++++
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合},,{c b a M =中元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形 2．等比数列{a n }中，a 4=4，则62a a ⋅等于
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
3. 如图，甲、乙、丙是三个立方体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 A ．④③② B ． ②①③ C ． ①②③ D ． ③②④ 4.已知命题012,:2
>+∈∀x R x P 则P ⌝是
A ． 2
,210x R x ∀∈+≤ B ．2
,210x R x ∃∈+≤ C ．2
,210x R x ∃∈+< D ．2
,210x R x ∃∈+>
5．已知复数z 1＝3＋i , z 2＝2－i , 则z 1z 2在复平面内对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知函数y =x 3
－3x ，则它的单调增区间是
A ．(－∞，0)
B ．(0，+∞)
C ．(－1，1)
D ．(－∞，－1)及(1，+∞)
7．已知P 是1F 、2F 以为焦点的椭圆22
22
x y a b
+＝１（a ＞b ＞０）上一点，021=⋅PF PF ， 2tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为
A ．
12 B ．23 C ．1
3
D 8. 已知)0,0(135>>=+y x y x ，则xy 的最小值
A ．15
B ．6
C ．60
D ．1
9．若函数c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，则其导函数）
（x f '
的图象可能是
10.北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出
租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14
=1．46，1.15
=1．61)
A.10%
B. 16．4%
C.16．8%
D.20%
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11.曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程是 。

12.抛物线2
4y x =与直线240x y +-=交于两点,A B ，设抛物线的焦点为F ，则
||||F A F B +=______.
13. 在约束条件012210x y x y >⎧⎪
≤⎨⎪-+≤⎩
下，目标函数y x z +=2的最大值为_________.
以下两题选做一题：(两题都做的只计第一题得分)
14. 已知抛物线2
2:2x t C y t
⎧=⎨=⎩C ，（t 为参数）设O 为坐标原点，点00(,)M x y 在C 上运动，
点(,
)P x y 是线段OM 的中点，则点P 的轨迹普通方程为 。

15.如图所示，在ABC ∆中，AD 是高线，CE 是中线，,DC BE DG CE =⊥于,G EC 长为8，则EG 长为 。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题12分已知向量(
)3sin ,cos a x x
=
，()cos ,cos b x x =，()2
3,1
c =.
（1）若//a c ，求sin cos x x ⋅的值；（2）若03
x π
≤
<
，求函数
()f x a b =⋅的值域.
17.（本小题12分）如图是一个几何体的三视图，其中正视图与左视图都是全等的腰为3的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，
（1）画出该几何体；（2）求此几何体的表面积与体积．
正视图 左视图
俯视图
18.(本小题满分14分)
某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系,随机抽测了20人,得到如下数据:
(Ⅰ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据 联列表: (3分)
完成下面的22
(Ⅱ)根据题(1)中表格的数据,若按99%的可靠性要求,能否认为脚的大小与身高之间有关系? (5分)
(Ⅲ)若按下面的方法从这20人中抽取1人来核查测量数据的误差:将一个标有数字1,2,3,4,5,6的正六面体骰子连续投掷两次,记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号.试求:
①抽到12号的概率；②抽到“无效序号(超过20号)”的概率. (6分)
19.（本小题满分14分）
a个伙伴；第二天，它又飞出去，找一个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了
1
回了2a 个伙伴……，第n 天，它又飞出去，找回了n a 个伙伴，已知这只蜜蜂在这n 天中它找到的伙伴总数n S 满足：4
321412-+=
n n n a a S ； （Ⅰ）求这只蜜蜂第1天中它找的伙伴数1a 及这只蜜蜂在第n 天中它找的伙伴数n a 。

（Ⅱ）从第一天起，若这只蜜蜂找回的伙伴在家（蜂巢）建造小蜂房，已知第一天建造了1b 个小蜂房，第二天建造了2b 个小蜂房……，第n 天建造了n b 个小蜂房；问数列}{n b 是否是等比数列，使得2)12(21332211+-=+++++n b a b a b a b a n n n 成立（n N *
∈），若是，
请求出数列}{n b ；若不是，请说明理由。

20.（本小题满分14分）已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于A 、B 两
点.
（1）若椭圆的离心率为
3
3
，焦距为2，求线段AB 的长； （2）在（1）的椭圆中，设椭圆的左焦点为F 1，求△ABF 1的面积。

21.已知2)(23+++=cx bx x x f
(1)若)(x f 在1=x 时有极值－1，求b 、c 的值
（2）当b 为非零实数时，证明)(x f 的图像不存在与直线01)(2=++-y x c b 平行的切线；
（3）记函数)11(|
)('|≤≤-x x f 的最大值为M ，求证：2
3≥
M
参考答案
一、选择题： DCABD DDCCB
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11、410x y ++= 12、7 13、2 14、2y x = 15、4 三、解答题：本大题共6小题。

16.(1)
//a c ，
0x x -=,……………………………………………………………2分
即sin 2cos x x = 又2
2sin
cos 1x x +=
21
cos 5
x ∴=
……………………………………………… ……………………………4分 2
2
sin cos 2cos 5
x x x ∴⋅== ………………………… …………………………… 6分
(2)
2()cos cos f x x x x =⋅+
112cos2222
x x =
++ 1
sin(2)6
2x π
=+
+
. …………………………………………………………8 分 03
x π
<≤
, 526
6
6
x π
π
π∴
<+
≤
,
1sin(2)126
x π
∴≤+≤,
3
()[1,]2
f x ∴∈ .…………………………………… ……………………………12 分
17. 答案：此几何体是正四棱锥，它的底为边长为2的正方形，侧面斜高为3………4分
表面积为4+34………………8分
体积为
3
2
4.………………12分 18.
…………… (3分)
(说明:黑框内的三个数据每个1分,黑框外合计数据有错误的暂不扣分)
(Ⅱ)提出假设H 0: 人的脚的大小与身高之间没有关系. …………………………… (4分)
根据上述列联表可以求得2
2
20(51212)8.802614713
χ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯.…………………… (7分) 当H 0成立时,2
7.879χ>的概率约为0.005,而这里8.802>7.879,
所以我们有99.5%的把握认为: 人的脚的大小与身高之间有关系. ……………… (8分) (Ⅲ) ①抽到12号的概率为141
369
P =
=………………………………………… (11分)
②抽到“无效序号(超过20号)”的概率为261
366
P =
=…………………… (14分) 19.解：（Ⅰ）∵4
3
214112111-+=
=a a a S ，31=a 或11-=a （舍去）， 故31=a ；………………2分
∵43
21412-+=
n n n a a S ……………………………① ∴4
3214112
11-+=---n n n a a S …………………………………②
①式减②式得： 12122
1412141----+=n n n n n a a a a a ，02212
12=---⇒--n n n n a a a a
0)2)((11=--+⇒--n n n n a a a a ，
∵01>+-n n a a ，∴021=---n n a a ，即21=--n n a a (2≥n 且N n ∈) ∴)1(21-+=n a a n 又31=a
∴21()n a n n N *==+∈
∴这只蜜蜂在第n 天中它找的伙伴数是12+n .………………………………………7分 （Ⅱ）假设存在等比数列}{n b
使2)12(21332211+-=++++=+n b a b a b a b a T n n n n 成立 ∴当1=n 时，21=b ；……10分
当2≥n 时，1--=n n n n T T b a ，即(21)2(21)n n n b n +=⋅+，所以，n n b 2=……12分 ∴存在等比数列}{n b 为}2{n ，使得2)12(21
332211+-=+++++n b a b a b a b a n n n 成立
（n N *
∈））…14分 20．解：（1）3
3,22,33===
a c c e 即
2,322=-==∴c a b a 则 （3分）
∴椭圆的方程为12
32
2=+y x （4分）
联立0365:112
322
2=--⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+
x x y x y y x 得消去 （5分）
2
12212221221212122114)(])1(1[)()(||5
3,56)
,(),,(x x x x y y x x AB x x x x y x B y x A -+-+=-+-=∴-==
+则设 （8分）
5
3
8512)56(22=
+= （10分）
（2）由（1）可知椭圆的左焦点坐标为F 1（-1，0），直线AB 的方程为x+y-1=0,
所以点F 1到直线AB 的距离
=, （12分）
又
∴△ABF 1的面积S=1||2AB d ∙
=12=
（14分） 21解：（1）∵2
f )32x x bx c '=++（
由1
()11,5
()(35)(1),b f x x c f x x x =⎧=-⎨=-⎩'=+-在时有极值， 从而可得此时
当x>1时，()f x '>0 当5
3
－< x <1时，()f x '< 0 从而符合在x=1时，f(x)有极值。

∴1
5
b c =⎧⎨
=-⎩ （4分）
（2）假设f(x)图像在x=t 处的切线与直线(b 2
－c)x+y+1=0平行， ∵2f )32t t bt c '=++（，直线(b 2
－c)x+y+1=0的斜率为c －b 2
，
∴3t 2+2bt+c=c-b 2，即3t 2+2bt+b 2
=0 ∵△=4(b 2
-3b 2
)=-8b 2
，又∵b ≠0，，
∴△< 0，从而方程3t 2+2bt+b 2
=0无解，
因此不存在t ，使'()f t ＝c-b 2
，
即f(x)的图像不存在与直线(b 2
－c)x+y+1=0平行的切线； （8分）
（3）2
2'()3()33
b b f x x
c =++-
①若3
b
-
≥1，则M 应是'(1)'(1)f f -和中最大的一个，
∴2M>'(1)'(1)f f -＋=3232412b c b c b -++++≥>∴M > 6，从而M ≥
32。

②当－3≤b ≤0时，由不等式的性质可得2M ≥2
'(1)'()|32||()|33
b b f f b
c c --=-++-＋
221
|23|(3)333
b b b ≥-+=-≥，∴M ≥32
③当0< b ≤3时，由不等式的性质可得2M ≥3，∴M ≥3
2
综上所述， M ≥3
2
（14分）。