云南省2017年1月学业水平考试数学试卷

云南省2017年1月学业水平考试
数学试卷
[考生注意]：考试用时100分钟，必须在答题卡上指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无
效.
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+.
球的表面积公式：24S R π=,体积公式：34
3
V R π=,其中R 表示球的体积. 柱体的体积公式：V
Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1
3
V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高.
选择题（共51分）
一、选择题：本大题共17个小题，每小题3分，共51分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请在答题卡相应的位置上填涂.
1.已知集合{}21
，=S ，集合{}321，，=T ，则=T S ( ) A . {}1 B . {}2 C . {}21
， D . {}321，， 2.一个空间几何体的正视图、侧视图(注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图)、俯视图都是 半径为3的圆，那么这个几何体的体积为 ( )
A .π36
B .π27
C .π18
D .π9 3.在四边形ABCD 中，=→
-→AC AB ( )
A .→BC
B .→BD
C .→DB
D .→CB 4.=+5log 54
log 22 ( )
A .21
B .2
C .2910
D .10
29 5.要得到函数
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=6πsin x y 的图象，只需要将函数sin y x =的图象( ) A .向左平平移6π B .向右平移6π
C .向左平移3π
D .向右平移3
π
6.一盒中装有除颜色外大小相同的红球5个和黑球4个，从中任意
取出一个球，那么取出的球是红球的概率是( )
A .91
B .95
C .94
D .5
4 7.若运行如图所示的程序，则输出n 的值是( )
A .61
B .51
C .41
D .31 8.=︒︒-︒︒26sin 56cos 26cos 56sin ( ) A .
21 B .23 C .2
1
- D .23-
9.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且2=a ，3=c ，4
1cos =B ， 则b 等于( )
A .10
B .10
C .13
D .4
10.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则P 到点N M 、的距离都大 于2的概率为( )
A .
21 B .31
C .32
D .4
3
11.过点)21(，P ，且与直线032=+-y x 平行的直线的方程为( )
A .02=-y x
B .012=+-y x
C .012=--y x
D .02=+y x 12.下列函数是偶函数的是( )
A .x
y 2= B .x y ln = C .x y 3log = D .x y 4log =
13.已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，则y x z 2+=的最大值是( )
A .6
B .5
C .4
D .2 14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53=a ，则5S 的值为( )
A .15
B .20
C .25
D .30
15.某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况,现采用分层抽样 的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为( ) A .60 B .50 C .40 D .30
16.过点)33
(，P ，且与圆C ：1)2()3(2
2=-+-y x 相切的直线方程为( ) A .0343=+-y x B .021-43=+y x C .3=x D .3=y
17.设1x ，2x 是常数，2017))(()(21---=x x x x x f ，3x ，4x 是)(x f 的零点.若21x x <，
43x x <，则下列不等式,正确的是( )
A .4231x x x x <<<
B .4321x x x x <<<
C .4213x x x x <<<
D .2431x x x x <<<
非选择题（共49分）
二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请把答案写在答题卡相应的位置上.
题
第7
18.函数)0(1
)(>+
=x x
x x f 的最小值是 . 19.已知a 、b 是平面向量，若)31
(，=a ，)32(-=，x b ， b a ⊥，则=x .
20.在某五场篮球比赛中，甲乙两名运动员得分的茎叶图如下，则 在这五场比赛中，平均得分比较好的运动员是 . 21.在十进制方面，中国古代数学对人类文明有特殊的贡献,若将 二进制）（21101表示为十进制数，结果为 . 22.设21
51lg )(++-
=x
x x f ，则关于x 的不等式611
)]1([<+x x f 的解集为 .
三、解答题：本大题共4小题，共29分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23.（本小题满分5分）已知圆C ：01422
2
=+-++y x y x . （1）求圆心C 的坐标和半径的值；
（2）若直线l ：2=+y x 与圆C 相交于B A 、两点，求AB .
24.（本小题满分7分）已知函数1cos sin 2)(+=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的最大值.
25.（本小题满分6分）如图2所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，
E 为PA 的中点.
（1）求证：//PC 平面EBD ；
（2）若⊥PA 底面ABCD ，且32=PA ，1=AD ，5=
AB ，2=BD ，求点A
到平面EBD 的距离.
26.（本小题满分11分）已知C 是常数，在数列{}n a 中，21=a ，2
832
1+++=+n n n
n a c
a a a . （1）若0=c ，求2a 的值;；
（2）设{}n a 是递增数列，求c 的取值范围； （3）若4=c ，数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，求证：n
n n S 31
132132-<≤⨯-.
P
A
B
C
E
D 甲
乙 2 1 0 0 1 1 2 2 3 4 8 9 3 0
题
第20
参考答案
一.选择题（每题3分，共51分）
三.解答题
23.（1）圆心为)21(，-C ，半径为2=r ， （2） 14=AB .
24.（1）12sin )(+=x x f ，最小正周期是π=T ，（2）)(x f 的最大值是2. 25.（1）略， （2）2
3
=
d . 26.（1）72=a ，
（2）{}n a 递增，则0>n a ，且n n a a >+1
，则n n n n a a c
a a >+++2
832
，
n n a a c 622
-->，又20626212
12
-=--≤--a a a a n n ，
所以c 的取值范围是)20(∞+-，
， （3）231+=+n n a a ，13-=n
n a ，
所以
n
n n
n a 32131131<-=<. 当1=n 时，211=S ，n n n S 3
1
132132-<≤⨯-，不等式显然成立， 当2≥n 时，
n n n S 3
2323231313121232+++<<++++ ， 即n
n
n S 31
132132-<<⨯-， 综上，
n
n
n S 31
132132-<≤⨯-.。