江西省临川一中,南昌二中,九江一中,新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学(文)试题

江西省重点中学协作体2019届高三第一次联考
数学试卷（文）
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

满分：150分
时间：120分钟
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z 满足()1z i i =-=，则z =（ ）
A.
2
B.1
D.2
2.已知p ：()(){}
120A x x x =-->，q ：{}
0B x x a =-≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（ ） A.[)2,+∞
B.()2,+∞
C.(],1-∞
D.(),1-∞
3.双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为（ ）
B.2
4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池宽两丈，池正中央生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）
A.
910
B.
1213
C.
1314
D.
1415
5.《道路交通安全法》规定：机动车行经人形横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人形横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”为了研究不“礼让斑马线”的驾驶人数y 与x 月份的关系，工作人员提取了某十字路口监控设备所抓拍的一月份到五月份的数据，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y a bx =+.已知5
1
500i
i y
==∑，8b =-.据此估计该路口十二月份的不“礼
让斑马线”的驾驶人数为（ ） A.27
B.28
C.29
D.30
6.下列结论中正确．．
的有（ ）个 ①若函数()f x 的定义域为[]1,2，则函数()2cos f x 的定义域为2,233k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；
②函数tan 14y x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭的一个对称中心为3,14π⎛⎫
⎪⎝⎭
；
③函数2
1
sin sin 4
y x x =-+
64x π
π⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为3,142⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
； A.0 B.1
C.2
D.3
7.函数sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向右平移θ个单位得到偶函数()g x ，将满足条件的θ输入如图所示的程序框图中，则输出y =（ ）
A.
B.2
-
C.12
-
或8.直三棱柱111ABC A B C -
的体积为16AA =，60ABC ∠=︒，则该直三棱柱的外接球的表面积的最小值为（ ） A.10π
B.25π
C.
125
3
π D.100π
9.当a b ⨯（a b ≤且,a b N *
∈）是正整数n 的最小分解时，我们定义函数()f n b a =-，例如正整数20表示成两个正整数的乘积有120,210,45⨯⨯⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最小分解，()20541f =-=，则数列(){}5n
f 的前101项和为（ ）
A.52
51-
B.51
51-
C.50
51-
D.49
51-
10.若不等式组360
x y x y ππ+≤⎧⎪⎪
≥⎨⎪≥⎪⎩表示的平面区域内存在点(),x y 使()sin 0x y x y a +-+-<成立，则a 的取值
范围为（ ） A.1,62π⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
B.3π⎛⎫-+∞
⎪ ⎪⎝⎭
C.1,2π⎛⎫
-+∞
⎪⎝⎭
D.23π⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
11.已知a ，
b ，
c 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为4
π，向量b 满足22650b e b e -⋅+=，则a b -的最小值是（ ）
2
B.2
C.
2 D
.
22
-
12.设函数()32
23,0
1,0
x
x x x f x axe x ⎧-+>⎪=⎨-+≤⎪⎩，其中0a >，若()f x a ≤对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为
（ ） A.(]0,1
B.0,
1e e ⎛⎤
⎥-⎝⎦
C.[)1,+∞
D.,1e e ⎡⎫
+∞⎪⎢
-⎣⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知ABC ∆中，c =1b =，30B =︒，则C 等于________.
14.已知点)
A
及抛物线24x y =上一动点(),B x y ，则y AB +的最小值为________.
15.如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为________.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥底面
ABCD ，2PD DC ==，E ，F ，G 分别是AB ，PB ，CD 的中点.
（1）求证：AC PB ⊥；
（2）求证；GF
平面PAD ；
（3）求点G 到平面PAB 的距离.
20.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>的左、右焦点
分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结1PF 并延长交椭圆于另一点Q ，设11PF FQ λ=.
（1）若点P 的坐标为(，且12PF F ∆的周长为6，求椭圆C 的方程； （2）若2PF 垂直于x 轴，且[]3,5λ∈，求椭圆离心率e 的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x x a x =-++，其中0a > （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x 且12x x <，证明：
()2212133
ln 14242
f x x x +>-+-.
选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时填写清题号）22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线1C
的参数方程1cos sin x a y b ϕ
ϕ
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴
为极轴的坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知1C
上的点3,2M ⎛
⎝对应的参数3
π
ϕ=
，射线3
π
θ=
()0ρ>与曲线2C 交于点1,
3D π⎛⎫
⎪⎝⎭
（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；
（2）将曲线1C 向左平移1
个单位得到曲线3C ，若点()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
在曲线3C 上，求
22
12
1
ρρ+的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()44f x x x =+--
（1）解不等式()3f x <；（2）当x R ∈，01a <<时，证明：()221f x a a
≤
+-.
江西省重点中学协作体2019届高三第一次联考文数试卷答案 一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
13.60︒或120︒
14.3
15.28+
16.1
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）.
17.解：（1）化简得233n
n S =+所以，1233a =+，故13a =， 当1n >时，1
1233n n S --=+，
此时，1122233n n n n n a S S --=-=-，即1
3n n a -=，
所以，13,1
3,1
n n n a n -=⎧=⎨>⎩
……………………4分
（2）因为3log n n n a b a =，所以113
b = 当1n >时，()11133
log 313n
n n n b n ---==-所以111
3
T b ==
……………………5分
当1n >时，()12112311323133n
n n T b b b b n ---⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=
+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯⎣
⎦.………6分 所以()01231132313n
n T n --⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯⎣⎦
两式相减得()()101211122131363233313133313623n n n n
n n
n T n n -------+⎡⎤=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--=+--=-⎣⎦-⨯ 所以11321
1243
n n n T -+=
-⋅ ……………………12分
18.（1）由题意，实体店销量低于45件共有()0.0120.0140.0240.034510042+++⨯⨯=（天），网点销售量低于45件的天数为()0.0040.02510012+⨯⨯=（天），实体店和网点销售量都低于45件的天数为
1000.110⨯=（天），故实体店和网点至少有一边销售量低于45的天数为42121044+-=（天）…4分
（2）由题意，设该门市一天售出x 件，则获利为501200130050x x -≥⇒≥ 设该门市一天获利不低于1300元为事件A ，
则()()()500.0680.0460.010.00850.66P A P x =≥=+++⨯= 故该网点一天获利不低于1300元的概率为0.66.
……………………8分
（3）因为实体店销售量频率分布直方图中，销售量低于45的直方图面积为
()0.0120.0140.0240.03450.420.5+++⨯=<
销售量低于50的直方图面积为()0.0120.0140.0240.0340.0450.620.5++++⨯=>，销售量的中位数的估计值为0.50.42
45470.04
-+
=（件）
……………………12分
19.（1）∵ABCD 是菱形∴AC BD ⊥ ∵PD ⊥面ABCD ∴PD AC ⊥
又∵BD PD D ⋂=∴AC PBD ⊥∴AC PB ⊥
……………………4分
（2）∵EF PA ，EF ⊄面PAD ∴EF 面PAD
∵EG
DA ，EG ⊄面PAD ∴EG 面PAD
又∵EF EG E ⋂=∴面EFG 面APD ∴GF 面PAD
……………………8分
（3）设点G 到平面PAB 的距离为h ∵DC
AB ，DC ⊄面PAB ∴DC 面PAB
∴11
33
G PAB D PAB ABD PAB v v S PD h S --∆∆==⋅=⋅
∴12222ABD S ∆=
⨯⨯⨯=
1
22
PAB S ∆=⨯=
∴7
h =
……………………12分
20.解：（1）因为1F ，2F 为椭圆C 的两焦点，且P 为椭圆上的点， 所以1C 的直角坐标方程为(
)
(2
2
114
y x --+
=
……………………2分
设2C 的直角坐标方程为()22
2
x m y m -+=，3
π
θ=
即射线y =()0x >，1,
3D π⎛⎫
⎪⎝⎭
的直角坐标12⎛ ⎝⎭，代入2C 可解得：1m =，所以2C 的直角坐标方程为()22
11x y -+=， ………4分
（2）依题意可知3C ：2
2
14
y x +=. ………5分
因为点()1,A ρθ，2,4B πρθ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
在曲线3C 上. 而A ，B 的直角坐标分别为()11cos ,sin ρθρθ，()22sin ,cos ρθρθ- 所以：
2222
11
sin cos 14
ρθ
ρθ+=①
222
222cos sin 14
ρθ
ρθ+=②
得到22
211
sin cos 4θθρ=+，22221cos sin 4
θθρ=+相加得到22121154ρρ+=……………………10分
23.解析：（1）解：由已知可得：()8,4
2,448,4x f x x x x ≥⎧⎪
=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
所()3f x <的解集为32x x ⎧⎫<
⎨⎬⎩⎭
……………………4分 （2）证明：由（Ⅰ）知，448x x +-+≤，
……………………5分
由于01a <<，则()()21222
2214111a a a a a a a a a a
-⎛⎫+=++-=++⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭ 448≥+=， 则有22441x x a a
+--≤
+
- ……………………10分
从而12PF F ∆的周长为22a c +. 由题意，得226a c +=，即3a c +=. 又点P
的坐标为(所以，得2
3b =. 且2
2
2
a b c =+，故2
4a =，2
1c =
所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=. ……………………4分
（2）因为2PF x ⊥轴，且P 在x 轴上方，故设()0,P c y ，00y >.设()11,Q x y .
因为P 在椭圆上，所以2
20221y c a b +=，解得2
0b y a =，即2,b P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
因为()1,0F c -，所以212,b PF
c a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，()111,FQ x c y =+. 由11PF FQ λ=，得()12c x c λ-=+，2
1b y a λ-=， 解得12
x c λλ
+=-，21b y a λ=-，
所以22,b Q c a λλλ⎛⎫
+-- ⎪⎝
⎭. ……………………8分
因为点Q 在椭圆上，所以2
22
2221b e a λλλ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
即()()2
22221e e λλ++-=，()222431e λλλ++=-.
因为10λ+≠，所以()231e λλ+=-，从而21
3
e λλ-=
+ ……………………10分
因为[]3,5λ∈，所以2
11,32e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 所以e
的取值范围是,32⎣⎦
……………………12分
21.解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，()()2212111
x x a a
f x x x x ++-'=-+=++. …………1分 令()221
g x x x a =++-，()18198a a ∆=--=-
①0∆≤即98a ≥
，即()0g x ≥，即()0f x '>，当且仅当98a =，1
4
x =-时()0f x '= 所以()f x 在()1,-+∞单调递增
……………………2分
②当9
08
a <<
时0∆>且()10g ->，()0g x =
的两根11x =
>-
，21x =>-，()11,x x ∈-，()0g x >，
即()0f x '>，()f x 在()11,x -单调递增，()12,x x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()12,x x 单调递减，()2,x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()2,x +∞单调递增
综合上述①9
8
a ≥
时，()f x 的单调增区间为()1,-+∞ ②908a <<
时，()f x
的单调增区间为⎛- ⎝⎭
，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
，单调减区间为⎝⎭
. ……………………4分
（2）由（1）可知，()f x 有两个极值点1x ，2x ，则908a <<，且12112211124
111
242
x x x a x x x ⎧
⎧+=--<<-⎪⎪⎪⎪⎨⎨
-⎪⎪=-<<⎪⎪⎩⎩则1
2222
1221x x a x x ⎧
=--⎪⎨
⎪=--+⎩ ……………………6分
()()()()
222
2222222222221221ln 12ln 121111222x x x x x f x x x x a x x x x x ++--+++-+++==
+⎛⎫---- ⎪⎝⎭
()()22221ln 1x x x =--+
令()()()1
121ln 14
2t x x x x x ⎛⎫=--+-
<< ⎪⎝⎭
……………………8分.
()()()21312ln 112ln 111x t x x x x x -⎛
⎫'=-++=-+-+ ⎪
++⎝⎭
()()
2
3
2011t x x x ''=-
-
<++，则()t x '在11,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
单调递减 ……………………10分.
()1312ln 12ln 22ln 3022t x t ⎛⎫⎛⎫''>=-=+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()t x 在11,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递减
()()1133ln 4424t t x t x ⎛⎫
-<⇒-+< ⎪⎝⎭
则()22
12133ln 14242
f x x x +-+<-.
……………………12分
22.（1
）把3,2M ⎛ ⎝与对应的参数=3πϕ代入1C 的参数方程中得到12a b =⎧⎨=⎩
，。