综合复习 第3章函数的概念和性质(2)-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册

第三章综合二
一．选择题
1.已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，且满足f （x +4）＝f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）＝2x 2，则f （3）＝（ ）
A ．﹣18
B ．18
C ．﹣2
D ．2
2.下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．y ＝x +1
B ．y ＝﹣x 2
C ．y ＝x 3
D ．y ＝﹣
3.已知函数()5
48
2
+-=
x x x f ，则下列说法正确的是（ ） A.最小值为0，最大值为8 B.不存在最小值，最大值为8 C.最小值为0，不存在最大值 D.不存在最大值，也不存在最小值
4.若函数()3++=x a x x x f 在区间[)∞+，
3和(]1-∞-，上均为增函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A.[]13，
- B.[]26，- C.[]23，- D.[]16，- 5.定义在R 上的偶函数()x f ，对[)2121,,0,x x x x ≠+∞∈∀，有
()()02
121<--x x x f x f ，则（ ）
A.()()()123f f f <-<
B.()()()321f f f <-<
C.()()()312f f f <<-
D.()()()213-<<f f f
6.设()()⎩⎨
⎧≥-<<=1
,1210,x x x x x f ，若f （a ）＝f （a +1），则a ＝（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．
7.函数()x
x x f 2
3-=的图象关于（ ）
A ．x 轴对称
B ．原点对称
C ．y 轴对称
D ．直线y ＝x 对称
8.已知f （x ）＝ax 2+bx 是定义在[a ﹣1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9．（多选）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A ．定义域为（﹣1，4）
B ．定义域为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
C ．值域为[﹣2，+∞）
D ．递增区间为
10．（多选）已知，则下列结论错误的是（ ）
A ．f （1）＝1
B ．f （x ）＝2x 2﹣1
高一年级 数学学科 假期作业
使用日期：
寒假 编辑： 校对： 审核：
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）有唯一零点
11．（多选）已知函数f （x ）＝f （x +2）是偶函数，且y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，则下列结论中一定正确的有（ ） A ．函数y ＝f （x ﹣2）是偶函数 B ．y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝2对称
C ．
D ．y ＝f （2x ）在（1，2）上单调递减
12．（多选）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．y ＝f （﹣x ）
B ．y ＝f （x ）+x 3
C ．
D ．
二．填空题
13.设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为____________.
14.已知偶函数()x f 在[)∞+，
0上为增函数，且()()x f x f 231->-，则x 的取值范围为_______. 15.已知函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （x ﹣1）＜0，则x 的取值范围是 _______ ．
16.函数f （x ）＝x |x ﹣2|的单调减区间为 ． 三．解答题
17.已知()x f 是定义域为R 的偶函数，当0≤x 时，()x x x f 42
+=，求函数()x f 在R 上的函数解
析式.
18.已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ），对任意a ，b ∈（0，+∞），都有()()()b f a f b a f +=⋅ 恒成立，当x ＞1时，满足f （x ）＞0．
（1）判断f （x ）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明； （2）若()44=f ，解关于实数m 的不等式()
2122
<--m m f ．
19.已知函数f （x ）＝，x ∈（2，+∞）．
（1）若a ＝4，判断函数f （x ）在定义域上的单调性，并利用单调性定义证明你的结论． （2）若函数f （x ）在区间（2，+∞）上单调递减，写出a 的取值范围（无需证明）．
20.已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有()()11+=-+x x f x f 成立．
（1）求f （x ）的解析式；
（2）若()()mx x f x g -=在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围．
21.已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．
（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．
（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．
第三章综合二答案
1.C
2.C 解析：A . y ＝x +1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；
B . y ＝﹣x 2是偶函数；∴该选项错误；
C . y ＝x 3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；
D . y ＝﹣为反比例函数，
在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；
3.B 因为
,1542≥+-x x 所以154102≤+-<
x x 即85
48
02≤+-<x x ，因此函数有最大值为8，无最小值.
4.B 当
3≥x 时，()32++=ax x x f 为二次函数，开口向上，对称轴为2
a
x -
=，要保证()x f 在[)∞+，
3单调递增，则32≤-a 即6-≥a ；当1-≤x 时，()32+--=ax x x f 为二次函数，开口向下，对称轴为2
a
x -=，要保证()x f 在(]1-∞-，
单调递增，则12
-≥-a
即2≤a ，因此，要满足()x f 在区间[)∞+，3和(]1-∞-，上均为增函数，a 的取值范围为
[]26，-.
5.A 因为
()x f 为偶函数，因此()()22f f =-；由题意得，()x f 在[)∞+，0上单调递减，因此()()()123f f f <-<.
6.C ∵函数f （x ）＝，函数在各自定义域内，都是增函数，
实数a 满足f （a ）＝f （a +1），可得：，解得a ＝．
7.B 因为
，所以3﹣x 2≥0，且 x ≠0，故函数f （x ）的定义域为
，定义域关于原点对
称．又因为，所以函数f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称．
8.B 依题意得：f （﹣x ）＝f （x ），∴b ＝0，又 a ﹣1＝﹣2a ，∴a ＝
，∴a +b ＝
．
9.解：令t（x）＝﹣x2+3x+4，由t（x）＞0，得﹣x2+3x+4＞0，
则x2﹣3x﹣4＜0，解得﹣1＜x＜4，
∴函数的定义域为（﹣1，4），故A正确，B错误；
函数t（x）＝﹣x2+3x+4的图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝，
当x＝时，，则原函数有最小值为＝﹣2，函数的值域为[﹣2，+∞），故C正确；
函数y＝log0.4t为减函数，则原函数的递增区间为（，4），故D正确．
故选：ACD．
10.【解答】解：根据题意，，
令，则t≥0，则有f（t）＝2t2﹣1（t≥0），则f（x）＝2x2﹣1（x≥0），
对于A，f（1）＝2﹣1＝1，A正确，对于B，f（x）＝2x2﹣1（x≥0），B错误，
对于C，f（x）＝2x2﹣1（x≥0），其定义域为{x|x≥0}，不是偶函数，C错误，
对于D，f（x）＝2x2﹣1（x≥0），若f（x）＝0，则x＝，有唯一的零点，D正确，
故选：BC．
11.【解答】解：根据题意，函数y＝f（x+2）是偶函数，即f（x﹣2）＝f（x+2），则f（x）的对称轴为x＝2，B正确，A错误，
f（）＝f（），f（）＝f（），
y＝f（x）在（0，2）上是增函数，则f（）＜f（1）＜f（），故有f（）＜f（1）＜f（），C正确，
对于y＝f（2x），y＝f（x）在（0，2）上是增函数，而f（x）的对称轴为x＝2，则y＝f（x）在（2，4）上是减函数，设t＝2x，y＝f（t），在区间（1，2）上，t＝2x为增函数，且2＜t＜4，y＝f（t）在2，4）上是减函数，
则y＝f（2x）在（1，2）上单调递减，D正确；
故选：BCD．
12.【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设F（x）＝f（﹣x），其定义域为R，则有F（﹣x）＝f[﹣（﹣x）]＝f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣F（﹣x），函数y＝f（﹣x）为奇函数，
对于B，设F（x）＝f（x）+x3，其定义域为R，则有F（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）3＝﹣[f（x）+x3]＝﹣F（x），函数y＝f（x）+x3为奇函数，
对于C，设F（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，则有F（﹣x）＝＝＝F（x），是偶函数，
对于D，y＝f（x），其定义域为[0，+∞），其定义域不关于原点对称，不是奇函数，
故选：AB．
二．填空题
13.【解答】解：由奇函数的性质可知，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，
故﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax，
整理可得，（a﹣1）x2＝0即a﹣1＝0，
所以a＝1．
故选：B．
14.【答案】⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
3
4
，
15.【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）在R上为奇函数，则f（0）＝0，
又由函数y＝f（x）在R单调递减，则f（x﹣1）＜0⇒f（x﹣1）＜f（0）⇒x﹣1＞0，
解可得x＞1，
即x的取值范围为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）．
16.【解答】解：当x＞2时，f（x）＝x2﹣2x，
当x≤2时，f（x）＝﹣x2+2x，
这样就得到一个分段函数f（x）＝．
f（x）＝x2﹣2x的对称轴为：x＝1，开口向上，x＞2时是增函数；
f（x）＝﹣x2+2x，开口向下，对称轴为x＝1，
则x ＜1时函数是增函数，1＜x ＜2时函数是减函数．
即有函数的单调减区间是[1，2]． 故答案为：[1，2]． 三．解答题
17.【答案】
()⎩⎨⎧>-≤+=0
,40
,42
2x x x x x x x f 18.【解答】解：（1）f （x ）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：
设x 1，x 2是（0，+∞）上任意两个数，且x 1＜x 2，
则f （x 2）＝f （
•x 1）＝f （
）+f （x 1），
∴f （x 2）﹣f （x 1）＝f （），
∵0＜x 1＜x 2，∴
＞1，∴f （
）＞0，
∴f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1）， ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f （4）＝f （2×2）＝f （2）+f （2）＝4，
∴f （2）＝2，
∴f （m 2﹣2m ﹣1）＜2⇔f （m 2﹣2m ﹣1）＜f （2），
由（1）知f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数， ∴0＜m 2﹣2m ﹣1＜2，
解得：﹣1＜m ＜1﹣或1+＜m ＜3．
19.（1）根据题意，若a ＝4，则f （x ）＝＝＝1+，在定义域上为减函数，
设2＜x 1＜x 2，
则f （x 1）﹣f （x 2）＝（1+
）﹣（1+
）＝
，
又由2＜x 1＜x 2，则（x 1﹣2）＞0，（x 2﹣2）＞0，（x 2﹣x 1）＞0， 则f （x 1）﹣f （x 2）＞0，
f （x ）在定义域上为减函数，
（2）f （x ）＝
＝＝1+，
若函数f （x ）在区间（2，+∞）上单调递减，必有a +2＞0，即a ＞﹣2，
a 的取值范围是（﹣2，+∞）．
20.【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，
即f （0）＝c ＝1，
又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1，
则有
，解可得a ＝b ＝，c ＝1，
则函数f （x ）的解析式为：
，
（2）由（1）知，则，
函数g （x ）的对称轴
，
若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有
，解可得，
即m 的取值范围为{m |
}． 21.解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3＝
﹣
，
故当x ＝﹣时，函数取得最小值为﹣，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[﹣，15]．
（2）若函数f（x）在[﹣1，3]上单调递增，则≤﹣1，∴a≥，即实数a的范围为[，+∞）。