北京市平谷区2019届高三第二学期3月质量监控试题数学(理)试题(含精品解析)

北京市平谷区2019届高三质量监控数学理试题
一、选择题
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用交集定义直接求解．
【详解】∵集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2}．
故选：D．
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，y，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，y＝lnx，为对数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于C，y＝sin x，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；
对于D，y＝2﹣x＝（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．
3.若实数，满足，则的最小值为（）
A. －2
B. 2
C. －4
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求最小值．
【详解】实数x，y满足表示的区域如图：
设z＝y﹣x，则y＝x+z，其中z表示的是与直线y＝x平行的直线在y轴的截距，所以当直线y＝x+z过A（4，0）时，z的值最小为0﹣4＝﹣4．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单线性规划的问题，首先正确画出平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．
4. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A. －
B.
C. －
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由已知可得，故选D.
考点：程序框图.
5.在极坐标系中，点到直线的距离为（）
A. 1
B.
C.
D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．
【详解】点P（2，）化为：P，即P．
直线ρ（cosθsinθ）＝6化为直角坐标方程：x y﹣6＝0，
∴点P到直线的距离d1．
故选：A．
【点睛】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
6.设，是非零向量，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量模长与数量积的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由“||＝||+||”平方得||2﹣2•||2＝||2+2||•||+||2，
即•||•||，
则||•||cos，||•||，
即cos，1，即，180°，此时∥成立，充分性成立，
若，0°时，满足∥，但•||•||不成立，即必要性不成立，
即“||＝||+||”是“∥”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可分析出该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数．
【详解】由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的P-ABCD：
由图得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形，
故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个，
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
8.放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性
物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（）
A. 10 小时
B. 8 小时
C. 12 小时
D. 15 小时
【答案】B
【解析】
【分析】
由16．设m B＝1．则m A＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t．
【详解】由题意得16．
又不妨设m B＝1．则m A＝2．
设物质B的半衰期为t．
由题意可得：2，解得t＝8．
故选：B．
【点睛】本题考查了指数函数的实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题：（本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分.）
9.复数____________
【答案】
【解析】
【分析】
将分子和分母同乘以i，化简即可得到结果．
【详解】复数
故答案为：1﹣2i
【点睛】本题考查复数的除法运算，解题的关键是熟练应用复数除法的法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，本题是一个基础题．
10.的展开式中含项的系数是___________；
【答案】405
【解析】
【分析】
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4项的系数．
【详解】的展开式的通项公式为T r+1•3r•x10﹣3r，令10﹣3r＝4，可得r＝2，故展开式中含x4项的系数为•32＝405，
故答案为：405．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式，属于基础题．
11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
【答案】192
【解析】
【分析】
根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比为的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．
【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比为的等比数列，
又由6天走完378里，
则S6378，
解可得：a1＝192，
即该人第一天走的路程为192里．
故答案为：192里．
【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属
于基础题．
12.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；离心率为________.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
由已知设双曲线C的方程为λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．然后求解双曲线的离心率即可．
【详解】∵双曲线C经过点（4，3），且与1具有相同渐近线，
∴设双曲线C的方程为λ，（λ≠0），
把点（4，3）代入，得：4﹣1＝λ，解得λ＝3，
∴双曲线C的方程为：．双曲线的离心率为：．
故答案为：；．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
13.已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为
______________(写出满足条件的一个值即可)
【答案】答案不唯一，如：
【解析】
【分析】
根据f（x）≤|f（）|，可得x时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；
【详解】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．
若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z
若x时，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题
14.如图，在菱形中，，.
（1）若为的中点，则______
（2）点在线段上运动，则||的最小值为___________
【答案】(1). 0，(2).
【解析】
【分析】
（1）菱形ABCD中，∠B，AB＝4，P为BC的中点，可判断AP⊥BP可求
（2）可设BP＝x，M为AB中点，结合向量加法的平行四边形法则可知||＝2||，然后结合余弦定理及二次函数的性质可求.
【详解】（1）菱形ABCD中，∠B，AB＝4，P为BC的中点，
∴BP＝2，AP＝2，
∴AP2+BP2＝AB2，即AP⊥BP
则•0
（2）∵点P在线段BC上运动，
可设BP＝x，M为AB中点
则||＝2||
△BPM中，PM2x2-2x+4，
∵0≤x≤4，
当x＝1时，PM有最小值，即||＝2||的最小值为
故答案为：0，
【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质及向量的基本运算，二次函数性质的应用，属于中档试题
三、解答题
15.已知，、、为的三个内角，，
（1）求角；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）化简f（x），根据f（A）＝0．即可求A角；
（2）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．
【详解】（1）由f（x）＝sin x cos x＝2sin（x﹣60°），
∵f（A）＝0．即2sin（A﹣60°）＝0，
∵0＜A＜180°，
可得：A＝60°；
（2）由（1）可得A＝60°，BC＝a＝2，
根据余弦定理cos A，
可得bc＝b2+c2﹣4，
∵b2+c2≥2bc（当且仅当b＝c时取等号），
∴bc+4≥2bc，
可得bc≤4．
那么△ABC面积S bc sin A，
故得△ABC面积的最大值为．
【点睛】本题考查了三角函数的化简，考查了余弦定理与不等式的结合求解最值问题．属于基础题．
16.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越来越多，随之而来的交通事故也增多.据有关部门调查，
发生车祸的驾驶员中尤其是21 岁以下年轻人所占比例居高，因此交通管理有关部门，对2018 年参加驾
照考试的21 岁以下学员随机抽取10 名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾
驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学员的抽测成绩．记录的数据如下：
(1)从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于
90分的概率；
(2)根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90）才算测试合格.
（i）从抽测的1号至5号学员中任取两名学员，记为学员测试合格的人数，求的分布列和数学期望
；
(ii) 记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的方差分别为，，试比较与的大小.
【答案】（1）；（2）（i）见解析；(ii)
【解析】
【分析】
（1）求出这10名学员的抽测成绩，其中大于等于90分的有7人，由此能求出样本中学员的抽测成绩大
于或等于90分的频率，从而得到概率．
（2）（i）记X为学员测试合格的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．
（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，从而s1＜s2．
【详解】（1）计算表中科目三与科目四的平均成绩，得到这10名学员的抽测成绩（单位：分）分别为：93，89，89，90.5，91，88.5，91.5，91，90.5，91，
其中大于90分的有1号、4号、5号、7号、8号、9号、10号，共7人．
所以样本中学员的抽测成绩大于或等于90分的频率为：P0.7．
所以估计学员抽测成绩大于或等于90分的概率为：P0.7．
（2）（i）从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，
记X为学员测试合格的人数，则X的可能取值为0，1，2，
P（X＝0）0.1，
P（X＝1）0.6，
P（X＝2）0.3，
∴X的分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
数学期望E（X）＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．
（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，
∴s1＜s2．
【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方差的比较，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为上的一点，平面；
（1）求证：为的中点;
（2）求证：
（3）设二面角为60°，，，求长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）连接BD交AC于O，连接EO．由线面平行的性质可得PB∥OE，故而得出E为PD的中点；（2）证明CD⊥平面PAD,则可得出CD⊥AE；
（3）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，利用法向量的夹角公式运算得出AB的长．
【详解】（1）连交于点，连结，
因为平面，PB⊂平面PBD，平面平面，
∴，
∵为中点，∴为中点.
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD．
∴CD⊥AE．
（3）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设AB＝a，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），∴（a，，0），（0，，），（0，0，1），
显然（1，0，0）为平面AED的一个法向量，
设平面ACE的法向量为（x，y，z），则，即，
令z得（，﹣1，），
∵二面角D﹣AE﹣C为60°，
∴|cos|＝||，
解得a，即AB．
【点睛】本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定与性质的应用，考查了空间向量与空间角的计算，属于中档题．
18.已知函数
（1）若函数在点处切线斜率为0，求的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若在处取得极大值，求的取值范围．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）f′（x）＝1，由题意可得：f′（3）＝0，解得a．
（2）f′（x）＝1，（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性．
（3）由f（x）在x＝1处取得极大值，可得f′（1）＝0．由（2）可得：a＞1时满足条件．
【详解】（1）f′（x）＝1，
由题意可得：f′（3）＝10，解得a＝3．
（2）f′（x）＝1，（x＞0）．
①当a＞1时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调
递增．
②当a＝1时，可得：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
③当0＜a＜1时，可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增；在（a，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
④当a≤0时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．
（3）∵f（x）在x＝1处取得极大值，∴f′（1）＝1+a﹣（a+1）＝0．
由（2）可得：只有a＞1时满足条件，
∴a的取值范围是（1，+∞）．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，考查了分类讨论方法，属于中档题．
19.已知椭圆的离心率为，短轴长为2；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上顶点，左、右顶点分别为、.直线且交椭圆于、两点，点E 关于轴的对称点为点，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（2）求出AB的斜率，得到直线l的斜率，设直线l的方程为y x+m，E（x1，y1），F（x2，y2），则
G（﹣x1，y1），联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系结合斜率公式证明CF∥AG．
【详解】（1）由题意可得，解得a2＝4，b2＝1，c2＝3，
∴椭圆的标准方程为y2＝1，
（2）由（1）可得A（0，1），B（﹣2，0），C（2，0），
∵直线l∥AB，∴k l＝k AB，
不妨设直线l的方程为y x+m，
设，，则，
，，
由，得：，得：，
因为（）
=
所以，，
即，
所以，．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
20.给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为3，4，7，5，2，写出，，，的值；
（2）设是，公比的等比数列，证明：成等比数列；
（3）设，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）可根据题意来逐步代入计算；（2）根据a1＞0，公比q＞1，可判断出数列{a n}是一个单调递增的等
比数列，则可逐步代入A i与B i的值进行计算，再证明出d1，d2，d3，…d n﹣1成等比数列．（3）先证充分性：因为m>0可得单增，则，可得；再证必要性，先利用反证法说明数列中不存在使，则可说明，，则得，从而证得结论.
【详解】（1）由题意，可知：
①当i＝1时，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；
②当i＝2时，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；
③当i＝3时，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；
④当i＝4时，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．
（2）由题意，可知：
∵a1＞0，公比q＞1，
∴数列{a n}是一个单调递增的等比数列．
∴①当i＝1时，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；
②当i＝2时，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；
③当i＝3时，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；
…
∴对，
.
因此且，
∴为首项为a1（1﹣q），公比为q的等比数列．
（3）充分性：若是公差为的等差数列，则，
因为，，，
，.
必要性：若，．
假设是第一个使的项，
则，这与相矛盾，故∴
，即，故是公差为的等差数列．
【点睛】本题主要考查对新定义的理解应用能力，考查了等比数列单调性与等差数列的判断，考查了充分必要条件的证明，属于中档题．。