(完整)2019年高中数学虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用含解析答案

谈虚设零点消元法在导数压轴大题中的应用
------以2019年几道模拟题为例
在高考的导数压轴题中，经常会遇到导函数具有零点但求解又相对比较复杂甚至是无法求解的问题，这个时候，从正面去强求函数的零点值是很困难的，我们不妨只须设出函数的零点，然后利用其满足的关系式，谋求一种整体的替换和过渡，往往会给我们带来意向不到的效果，最后再结合题目的其他条件，就可以很快解决这类问题。

对于最近的几道地市模拟题的导数压轴题，我们发现它们
用的好像都是同一个方法--虚设零点消元法，只分析第一道，其他同理，顺便再看看之前曾经出现过的两道经典题•
一、【2019合肥一模理科21】
二、【2019顺德三模理科21】
三、【2019佛山3月统考(北京燕博园)理科21】
四、【2019广州一模理科21】
五、【2019广东模拟理科21】
六、【2018广州二模理科21】
七、【2013全国二卷理科21】
【2019合肥一模理科21】
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x) e x ln(x 1) ( e为自然对数的底数).
(I )求函数f (x)的单调区间；
(n )若g(x) f (x) ax，a R，试求函数g(x)极小值的最大值.
解析：(I)易知x 1，且f (x) e x-------------------- .
x 1 【求一阶导数发现是超越函数，无法确定导数的零点】
1 1
令h(x) e x，则h (x) e x2 0，
x 1 (x 1)2
【进一步求二阶导数，发现二阶导数恒大于0,说明一阶导数递增】
1
•••函数h(x) e x—在x (1,)上单调递增，且h(0) f (0) 0.
x 1
【找到一阶导数的一个零点，而且是唯一的由负变正的零点，从而确定单调区间】可知，当x ( 1,0)时，h(x) f (x) 0，f (x) e x ln(x 1)单调递减；
当x (0,)时，h(x) f (x) 0，f (x) e x ln(x 1)单调递增.
•函数f (x)的单调递减区间是(1,0)，单调递增区间是(0,).
(n ) I g(x) f (x) ax e x ln(x 1) ax ，••• g (x) f (x) a . 由(I )知，g (x)在x (1,)上单调递增， 当x 1时，g (x)
；当x
时，g (x)
，则g (x)
0有唯一解x o .
【对于导函数g (x) f (X )a ，我们无法求解其零点，但由于导函数在定义域两 端可以取到正无穷和负无穷，所以导函数在定义域内有唯一的零点，这时可以 设这个唯一的零点为x o 】
可知，当 x ( 1, x ,)时，g (x)
0， g(x) e x ln(x 1) ax 单调递减；
当 x (x o ，)时，g (x) 0，g(x) e x ln(x 1) ax 单调递增， 二函数g(x)在x X o 处取得极小值g(x o ) e xo
In(x o 1) ax 。

，
【设完零点x 。

后，我们可以进一步确定这个零点的性质，发现它恰好是 g (x )的 极小值，而这时候我们又需要求这个极小值 g(xo )
的最大值，这时可以利用
大值】
可知，当X (1, O)时, (x) O ， (x)单调递增； 当 x (O, )时，(x)
O ， (x)单调递减，
(x)
max (O) 1.
•函数g(x)极小值的最大值为
【最后要求的最大值就转变为只含有一个变量的函数，从而把问题转化为求函数的最 1.
g'(x o ) o 的代换，也就是 e x o
1 a
X 。

1
，从而可以消去字母a 】
且x o 满足e'
令(x) (1
1
X o
x)e x a . •-
g(x ° ) 1 ln(x 1) 1
*
(1
1 T X o )e xo In(X o 1) 则(x) x x e
二、【2019顺德三模理科21】
1 2
21.(本小题满分12分) 已知函数f (x) x (a 1)x a In x .
2
(1 )当a 1时，求f (x)的单调递增区间;
1
(2 )证明：当 a 0时，f (x)有两个零点；
2
x o处取得最小值，证明：
(3 )若a 1,函数g(x) 卫^在x
2 x
0 f ( x) (e 1)(e a).
21.( 1)解析：f (x) x (a 1) (x 1)(x 1 (x 0).故a 1 时，由f (x) 0 ,
x x
得0 x 1或x a .故f (x)的单调递增区间为(0,1), (a,).
(2 )当la 0时，f(x)在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减.
2
1
则f (x)min f (1) a 2" 0，且当x 0 时，f (x) ；当x 时，f (x) 所以f (x)有两个零点.
【2019佛山市3月统考(北京燕博园)理科 21】
---- “函数连锁反应”、虚设零点 21.(本小题满分12分)已知函数f (x) . 1 3
sinax ax x .
6
(1 )求证：当a < 0时，f (x)
无极值点；
1 2
21.证明：(1)证明：f (x) a(cos ax 1) x ,当 a < 0 时，f (x) > 0 ,
2
所以函数f (x)在(，)上单调递增，
所以当a < 0时，f (x)无极值点.
(n)由(i)可知当 a < 0时，函数f (x)在［0,)上是单调增函数，f (0)
0，当
3
3
x ［0,)时，f (x) > 0，不符合题意；当 a (0,1 ］时，a (0,1］, a cosax < 1 设 1 2 2 g(x) f (x) a(cos ax 1) x ，贝V g (x) x a sin ax ，
2
2
3
设 h(x) g (x) x a sin ax ，贝U h (x) 1 a cos ax > 0，
所以h(x)在(，)上单调递增.又因为 h(0)
0，所以在［0,
) 上, h(x) > 0，即
g (x) > 0，所以g(x)在［0,)上单调递增. 又因为g(0) 0，所以在［0,
) 上,
g(x) > 0,即卩f (x) > 0，所以函数f (x)在[0,)上是单调增函数，
f (0) 0，当x [0,)时，f (x) > 0,不符合题意； .................. 7分 1
当 a 1 时，飞(0,1)，由 h(x)
a
所以存在X o 0,，使h (x )
2a
又因为h(0) 0,所以当x (0, x 0 )时，h(x) 0,即卩g(x) 0 ,
0,所以函数f (x)在(0, x °)上是单调减函数，又因为f (0)
3
a cos ax 1
0 可得 cos ax -
8.分
所以函数g(x)在(0, x 0 )上是单调减函数，又因为g(0)
0，所以当 x (0, x )时，g(x) 0,
即 f (x)
所以当x (0, x 0 )时, f (x) 0
(0,
)，对 x (m, n), f (x) 0 .
四、【2019广州一模理科21]
2）. 小壯満分12分J 已知|加联 = t?2¥ tn\u€ R •
（1J 若/（X ）上调逸ttL 求tr 的取但范曲’
（2）Xi /（x ）^（O b +®）上存在根丸 ISA/.址期：.W < —.
4 21. (D mi ： i
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五、【2019广东模拟理科21】
ZL (12 分｝
已知函数口｝用山毛鮒.
<1)M沦八工)的单凋性j
(2)^u-2吋,HQ*几J 』十b斗记函數y-FG)在(:“)上的最大債为miT明:
TG<_N
六、【2018广州二模理科21】
21.(本小题满分12分)
已知函数f x e x x2ax.
(1)若函数f x在R上单调递增，求a的取值范围；
In 2 In 2 2 (2 )若a 1 ,证明：当x 0时，f x 1 .
2 2
参考数据：e 2.71828 , In 2 0.69 .
零点是困难的，这时我们只需虚设一个零点X。

，但是我们设而不求，只需要进行整体的替
换即可，然后在处理超越型原函数的过程中把指数函数替换掉，化繁为简，把原函数转化为一个简单的二次函数，从而可以简单的处理后面的最值比较大小的问题。

这样的处理方式在
沖0
高考压轴题当中是经常可以看到的。

仝-町为乂2 - F S X -* 7 i 卫幻二£具_
5
［二
七、【2013全国二卷理科21】
21.(本小题满分12分)
已知函数f(X = e viii ix x-ln(灶m.
(1)设x=o是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；⑵当me 2时，证明f (x) >0.
解：(1)f '(x)二e x.
x m
由x = 0是f(x)的极值点得f ' (0) = 0,所以m= 1.
于是f(x = e x-In(灶1)，定义域为(—1,+^), f'()) = e x
函数f '(x) = e x1在(—1,+x)单调递增，且f' (0) —0.
x 1
因此当x€ ( —1,0)时，f '(x) <0；当x€ (0,+x)时，f '(x) > 0.
所以f(x)在(一1,0)单调递减，在(0，+^)单调递增.
⑵当m e2, x€ ( —m +x)时，in( x+ m e In(x+ 2)，故只需证明当m=2 时,
f(x) >0. 当m=2 时，函数f '(x) = e x
又f ' ( —1) <0, f ' (0) > 0,
故f'(x = 0在(一2,+x)有唯一实根x,且x € (—
1,0).当x€ ( —2, x)时，f'(x <0;
当《(x,+x)时，f(x >0,从而当x= x时，f(x取得最小值.
--- ,ln( x+ 2) = —x,
2
x 1 2
0> 0.
X0 2
由 f'(x)尸 0 得 e x 。

=
1
故 f (x >f (x )= —
—
x 0
1综上，当me2时，f (x ) >0.
X。

—+x = 2。